Kezdőlap


Cím:	Kassza Blanka ismét Magyarországon járt
Szerző(k):	Kós Géza
Füzet:	2017/április, 194 - 200. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hősünkről éppen öt éve, a KöMaL B. 4419. feladatában hallottunk utoljára [K]:

Kassza Blanka, szenvedélyes szerencsejátékos tegnap 20 000 forintot dobált bele egy félkarú rabló gépbe, amit ráadásul a családja tudta nélkül, a kosztpénzből vett kölcsön. Hogy a dolog ne tudódjon ki, ma a családi kasszából magához veszi a maradék 40 000 forintot is, és ismét meglátogatja a kaszinót, ahol leül az egyik rulettasztalhoz. Mivel nem akar túl sokat kockáztatni, minden menetben a pirosra vagy a feketére tesz 1000 forintot. Ha nyer, aminek

18 / 37

az esélye, akkor 1000 forinttal gazdagodik, különben elveszíti a feltett pénzt. Akkor hagyja abba a játékot, ha sikerül összesen 60 000 forintot összegyűjtenie ‐ ebben az esetben otthon hiánytalanul visszateheti a pénzt a helyére ‐ vagy pedig mindenét elveszíti. Mekkora a valószínűsége, hogy Kassza Blankának sikerül a 60 000 forintot összegyűjtenie? (KöMaL B. 4419. feladat, 2012. január)

Kassza Blanka sorsát azóta sűrű csönd övezte ‐ talán átmenetileg jó útra tért ‐ de idén, év elején újra febukkant, nem is akárhol, hanem a police.hu híreiben [P]:

A Bács-Kiskun Megyei Rendőr-főkapitányság Gazdaságvédelmi Osztálya csalás bűntett elkövetésének megalapozott gyanúja miatt 2017. január 5-én őrizetbe vett egy 35 éves kecskeméti lakost. A férfi a rendelkezésre álló bizonyítékok alapján megalapozottan gyanúsítható azzal, hogy 2016 szeptemberében és októberében az egyik bank tanácsadójaként előre eltervezve, a bank információs rendszerébe valótlan adatokat vitt be, illetve egyéb műveletek elvégzésével az információs rendszer működését befolyásolta. Pénztárosként a nap elején fiktív befizetéseket könyvelt le az ügyfelek számláira, ezeket a nap folyamán az ügyfelek nevében külföldi számlákra utalta. Az így megszerzett pénz felhasználásával online szerencsejáték-oldalakon fogadott, majd a nap végén ‐ mivel nem nyert és nem tudta visszatenni az ellopott pénzt ‐ sztornózta a reggeli befizetéseket, így több mint 58 millió forint kárt okozott a banknak.

A híradásokból sajnos nem derül ki, hogy az illető milyen szerencsejátékot játszott milyen tétekkel, mint ahogy az sem, sikerült-e még időben a felesége nevére íratnia a hűtőszekrényt. Volt portál, amely a hírt egy rulettkerék képével illusztrálta, azt sugallva, hogy rulettezett [I], egy másik portál egy pókerasztal képével próbálta színesíteni [N]. A továbbiakban feltételezzük, hogy Kassza Blanka ezúttal is rulettezett, és minden menetben a feketére vagy a pirosra téve próbált valamilyen előre meghatározott összeget összegyűjteni.

Tippeljünk!

Mielőtt elkezdenénk valószínűségeket számítani, álljunk meg, és tippeljünk:

1.	Hány százalék esélye van Kassza Blankának a B. 4419. feladatban elérnie a 60 000 ezer forintot?

Tegyük fel, hogy leülünk rulettezni

k

egység pénzzel, minden körben felteszünk

1

egységet a pirosra vagy a feketére, és egészen addig játszunk, míg vagy elfogy minden pénzünk, vagy elérjük a

100

egységnyi pénzt. Melyik az a legkisebb

0 \leq k \leq 100

egész szám, amellyel már

50

százaléknál magasabb az esélyünk arra, hogy hamarabb érjük el a

100

egységet, mint hogy elfogy a pénzünk?

A 2. kérdést Keleti Tamás tette fel egy Facebook-posztban, azzal a kikötéssel, hogy csak tippelni szabad, legfeljebb fejben szabad számolni [F]. A hallgatóság, amelyben matematikusok is rész vettek, a következő tippeket adta:

2, 35, 51, 53, 55, 56, 60, 61, 65, 67, 71, 72, 74, 75, 78, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 95, 96, 97, 100, 101.

Mivel a kérdések nagyon hasonlóak, csak a kiinduló pénz mennyiségében és a célként kitűzött nyeremény nagyságában különböznek, gyorsan betűzzük meg a kiszámítandó mennyiségeinket.

(a)

Jelölje

p (k, n)

annak a valószínűségét, hogy

k

egység pénzzel indulva, előbb érjük el az

n

egységnyi vagyont, mint a

0

egységet;

(b)

Jelölje

ℓ (k, n)

a várható lépésszámot addig, amíg elérjük az

n

vagy a

0

egység valamelyikét.

A B. 4419. feladatban 1000 forint az egység, tehát

p (40,60)

értéke a kérdés, a 2. kérdésben pedig a legkisebb olyan

k

, amelyre

p (k,100) > \frac{1}{2}

.
A kérdések életszerűségéhez tartozik, hogy a várható lépésszámok ne legyenek túl magasak ‐ senki nem lenne képes mondjuk

10^{8}

menetet együltében végigjátszani. Ezért az

ℓ (k, n)

értékét is ki fogjuk számítani.

És ha soha nem ér véget a játék?

A játékunk egy véletlen bolyongás. Két forduló között összesen

(n + 1)

-féle állapotunk lehet, és ezeket leírhatjuk egyetlen,

0

és

n

közötti egész számmal: azzal, hogy mennyi pénzünk van. A bolyongás a

k

állapotból indul, a

0

vagy az

n

állapotban véget ér.

0 < m < n

esetén az

m

állapotból vagy

\frac{18}{37}

valószínűséggel az

(m + 1)

állapotba, vagy

\frac{19}{37}

valószínűséggel az

(m - 1)

állapotba lépünk, és ezek az események függetlenek a játék korábbi menetétől.
A bolyongásnak valójában háromféle kimenetele lehetséges. Lehetséges ugyanis, hogy soha nem érjük el sem a

0

, sem az

n

egységet. Megmutatjuk, hogy ennek a valószínűsége

0

.
A bolyongás közben felváltva lépünk páros és páratlan értékekre. Ha

N

lépés után az

m

értékre érkezünk, akkor szükséges, hogy

N + k - m

páros legyen; ehhez összesen

\frac{N - k + m}{2}

alkalommal kell felfelé, és

\frac{N + k - m}{2}

alkalommal kell lefelé lépnünk. Az ilyen lépéssorozatok száma nem lehet nagyobb, mint

(\binom{N}{(N - k + m) / 2})

, de ebbe beleszámolhattunk olyan sorozatokat is, amikor a bolyongás közben elhagyjuk a

[1, n - 1]

intervallumot. Ezzel ne törődjünk; sőt, az is elég lesz, ha az összes

N

hosszú fel/le sorozat számával,

2^{N}

-nel becsülünk felülről. Tehát, annak valószínűségére, hogy a bolyongás soha nem ér véget, bármilyen

N

pozitív egész esetén felírhatjuk a következő becslést:

\begin{matrix} P (a bolyongás soha nem ér véget) \leq \\ \leq & P (a bolyongás nem ér végetNlépés alatt) \leq \\ \leq & \sum_{0 < m < n N + k - m páros} (\binom{N}{\frac{N - k + m}{2}}) {(\frac{19}{37})}^{\frac{N - k + m}{2}} {(\frac{18}{37})}^{\frac{N + k - m}{2}} < \\ < & n \cdot 2^{N} \cdot {(\frac{19}{37})}^{\frac{N - n}{2}} {(\frac{18}{37})}^{\frac{N - n}{2}} = 2^{n} n \cdot {(4 \cdot \frac{18}{37} \cdot \frac{19}{37})}^{\frac{N - n}{2}} = \\ = & 2^{n} n \cdot {(\frac{1368}{1369})}^{\frac{N - n}{2}} . \end{matrix}

2^{n} n

szám rögzített, és az utolsó hatványkitevő

\infty

-hez tart, ha

N \to \infty

. Ezért

\begin{matrix} 0 \leq P (a bolyongás soha nem ér véget) \leq {lim}_{N \to \infty}^{} (2^{n} n \cdot {(\frac{1368}{1369})}^{\frac{N - n}{2}}) = 0. \end{matrix}

Tehát tényleg

0

a valószínűsége annak, hogy a játék soha nem ér véget.

1. megoldás ‐ egyenletrendszerrel

Amikor a játék során éppen

0 < m < n

egységünk van, a következő játékban ez

\frac{18}{37}

valószínűséggel

(m + 1)

-re növekszik, illetve

\frac{19}{37}

valószínűséggel

(m - 1)

-re csökken. A

m + 1

, illetve

m - 1

egységgel folytatva

p (m + 1, n)

, illetve

p (m - 1, n)

eséllyel érjük el az

n

egységnyi pénzt, tehát

\begin{matrix} p (m, n) = \frac{18}{37} p (m + 1, n) + \frac{19}{37} p (m - 1, n), ham = 1,2, ..., n - 1. \end{matrix}

(1)

Ezen kívül

0

egységgel semmi esélyünk; ha pedig már

n

egységünk van, akkor játék nélkül, biztosan elértük a célt, így

\begin{matrix} p (0, n) = 0 és p (n, n) = 1. \end{matrix}

(2)

Az (1) egy lineáris egyenletrendszert ad a most még ismeretlen

p (1, n), p (2, n), ..., p (n - 1, n)

számokra; ezt szeretnénk valamilyen barátságos formában megoldani.

Legyen

m = 0,1, ..., n - 1

esetén

d_{m} = p (m + 1, n) - p (m, n)

, avagy

p (m, n) = d_{0} + d_{1} + ... + d_{m - 1}

, és alakítsuk át az (1) egyenletet a következőképpen:

\begin{matrix} (18 + 19) p (m, n) = 18 p (m + 1, n) + 19 p (m - 1, n), & (1') \\ 18 d_{m - 1} = 18 (p (m, n) - p (m - 1, n)) = 19 (p (m + 1, n) - p (m, n)) = 19 d_{m}, \\ d_{m} = \frac{19}{18} d_{m - 1} . \end{matrix}

(1')

egyenlet szerint az

d_{1}, d_{2}, ..., d_{n}

számok egy

\frac{19}{18}

hányadosú mértani sorozatot alkotnak, így

d_{m} = {(\frac{19}{18})}^{m} d_{0}

. A (2) egyenletből és a mértani sorozat összegképletéből

\begin{matrix} p (k, n) = \frac{p (k, n)}{p (n, n)} = \frac{d_{0} + d_{1} + ... + d_{k - 1}}{d_{0} + d_{1} + ... + d_{n - 1}} = \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{n} - 1} . \end{matrix}

A várható lépésszám meghatározásához felírhatunk egy, az (1)-hez hasonló összefüggést:

m

pénzzel indulva,

1

játék után

\frac{18}{37}

eséllyel

m + 1

egységünk lesz, és várhatóan további

ℓ (m + 1, n)

játékot játszunk, vagy pedig

\frac{19}{37}

eséllyel

m - 1

egységünk lesz, és várhatóan további

ℓ (m - 1, n)

játékot játszunk. Ezért

\begin{matrix} ℓ (m, n) = 1 + \frac{18}{37} ℓ (m + 1, n) + \frac{19}{37} ℓ (m - 1, n), ham = 1,2, ..., n - 1. \end{matrix}

(3)

0

vagy

n

egységünk van, akkor többé már nem játszunk, vagyis

\begin{matrix} ℓ (0, n) = ℓ (n, n) = 0. \end{matrix}

(4)

A (3) egyenlet hasonlít az (1)-re; a plusz

1

taggal úgy bánunk el, hogy

ℓ (m, n)

-ből kivonunk egy lineáris kifejezést: valamilyen

c

konstanssal legyen

t (m, n) = ℓ (m, n) - c m

. Ezt behelyettesítve (3)-ba,

\begin{matrix} t (m, n) + c m & = 1 + \frac{18}{37} (t (m + 1, n) + c (m + 1)) + \frac{19}{37} (t (m - 1, n) + c (m - 1)), \\ t (m, n) & = \frac{18}{37} t (m + 1, n) + \frac{19}{37} t (m - 1, n) + (1 - \frac{c}{37}) . \end{matrix}

Kézenfekvő a

c

számot úgy választanunk, hogy az utolsó tag,

1 - \frac{c}{37}

kiessen, ez a

c = 37

választással lehetséges. A (4) egyenletet is átírjuk; az új egyenletrendszerünk:

\begin{matrix} t (m, n) & = \frac{18}{37} t (m + 1, n) + \frac{19}{37} t (m - 1, n), ham = 1,2, ..., n - 1; & (3') \\ t (0, n) & = 0, t (n, n) = - 37 n . & (4') \end{matrix}

Ez viszont pontosan az (1)‐(2) egyenletrendszer

(- 37 n)

-szerese, így

\begin{matrix} t (k, n) = - 37 n \cdot p (k, n) = - 37 n \cdot \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{n} - 1}, \end{matrix}

és végül

\begin{matrix} ℓ (k, n) = p (k, n) + 37 k = 37 k - 37 n \cdot \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{n} - 1} . \end{matrix}

p (k, n)

és

ℓ (k, n)

értéke néhány konkrét esetben:

\begin{matrix} \begin{matrix} k & n & p (k, n) & ℓ (k, n) \\ 40 & 60 & 0,3123 & 786,66 \\ 87 & 100 & 0,4929 & 1395,32 \\ 88 & 100 & 0,5205 & 1330,08 \\ 987 & 1000 & 0,4952 & 18198,07 \\ 988 & 1000 & 0,5227 & 17217,24 \end{matrix} \end{matrix}

Ezek szerint az 1. kérdésre a válasz

p (40,60) \approx 0, 3123

, vagyis Kassza Blankának körülbelül 31,23% esélye van, és várhatóan 786,66 menetet rulettezik. A 2. kérdésben

k = 88

(!!) a legkisebb kezdő pénzmennyiség, amellyel indulva

50 %

-nál nagyobb esélyünk van a

100

egység elérésére, mint a teljes csődre. Figyelemre méltó, hogy tetszőlegesen nagy kezdő pénzzel is

50 %

-nál alacsonyabb az esélyünk arra, hogy még

13

egység pénzt nyerjünk:

\begin{matrix} p (k, k + 13) = \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{k + 13} - 1} < \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{k + 13} - {(\frac{19}{18})}^{13}} = {(\frac{18}{19})}^{13} \approx 0, 4952. \end{matrix}

2. megoldás ‐ invariánsokkal

Van egy

n + 1

mezőből álló ugróiskolapályánk, megszámozva

0

-tól

n

-ig. A pályán

1

kg homokot fogunk ide-oda söprögetni; ez a homok lesz a ,,valószínűségi mezőnk'' a mi ,,Markov-láncunkban''. A homokszemek jelentik a játék egy-egy lehetséges lefolyását. A homokszemek helye

0,1,2, ...

pörgetés után azt fogja jelenteni, hogy éppen hány egység pénzünk van. A

0

-dik mezőn és az

n

-edik mezőn álló homokszemek azokat a játéklefolyásokat jelentik, amikor már elfogyott a pénzünk, illetve már sikerült elérni az

n

egység vagyont.
A játékot

k

egységgel kezdjük, ezért a kezdeti állapotban a teljes 1 kg homok a

k

-adik mezőn áll, a többi mező üres. Mi történik egy rulettpörgetéskor? Minden

m = 1,2, ..., n - 1

esetén az

m

-edik mezőn álló homokkupacot kettéosztjuk: a kupac

\frac{18}{37}

része ,,nyer'', ez átkerül az

(m + 1)

-edik mezőre. A

\frac{19}{37}

rész ,,veszít'', és az

(m - 1)

-edik mezőre kerül át. Azok a homokszemek, amik a

0

-dik vagy az

n

-edik mezőre kerülnek, ott is maradnak.
Ahogy repül az idő, egyre több homokszem kerül végső nyughelyére, a

0

-dik vagy az

n

-edik mezőre. Mint láttuk, az 1.,

...

(n - 1)

-edik mezőkön levő kupacok mérete

0

-hoz konvergál. A játék határeloszlásában

p (k, n)

kg homok lesz az

n

-edik mezőn, és

1 - p (k, n)

kg homok lesz a

0

-dik mezőn.

A homok eloszlásának alakulása

(n = 10,

k = 6)

A homokkupacok méretéből kezdetben és minden pörgetés után is készítsünk egy-egy polinomot: ha a kupacok mérete

a_{0}, a_{1}, ..., a_{n}

, akkor a polinomunk

a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{n} x^{n}

. A kezdeti állapotban a polinom

f_{0} (x) = x^{k}

, a határesetben

f_{\infty} (x) = (1 - p (k, n)) + p (k, n) x^{n}

. Mikor egy pörgetésnél az

m

-edik kupacot kettéosztjuk, a következő csere történik:

\begin{matrix} x^{m} \mapsto \frac{19}{37} x^{m - 1} + \frac{18}{37} x^{m + 1} . \end{matrix}

A változás

\frac{19 - 37 x + 18 x^{2}}{37} x^{m - 1}

; a lényeg, hogy többszöröse a

19 - 37 x + 18 x^{2}

polinomnak. Ennek a polinomnak két gyöke van: az

1

és a

\frac{19}{18}

.
Hogy változik egy pörgetés során a polinom értéke az

x = 1

helyen? Sehogy, mert

x = 1

gyöke a

19 - 37 x + 18 x^{2}

polinomnak. Tehát

f_{r + 1} (1) = f_{r} (1)

; sőt ugyanez a határeloszlásra is igaz:

\begin{matrix} f_{\infty} (1) = f_{0} (1) . \end{matrix}

Persze ezt közvetlenül is megmondhattuk volna, mert a polinom értéke az

x = 1

helyen a teljes homokmennyiség. Sokkal érdekesebb az

x = \frac{19}{18}

helyen vett érték. Mivel

x = \frac{19}{18}

a másik gyöke a

19 - 37 x + 18 x^{2}

polinomnak, ez sem változik:

\begin{matrix} f_{\infty} (\frac{19}{18}) & = f_{0} (\frac{19}{18}), \\ (1 - p (k, n)) + p (k, n) \cdot {(\frac{19}{18})}^{n} & = {(\frac{19}{18})}^{k} . \end{matrix}

Ebből

p (k, n)

-t kifejezhetjük:

\begin{matrix} p (k, n) = \frac{{(\frac{19}{18})}^{k} - 1}{{(\frac{19}{18})}^{n} - 1} . \end{matrix}

A várható lépésszámot a várható nyereményünkből fogjuk kiszámítani. A játék végén

p (k, n)

valószínűséggel

n

egység pénzünk, illetve

1 - p (k, n)

valószínűséggel

0

pénzünk lesz. Így a pénzünk várható értéke

p (k, n) \cdot n

, az összes nyereményünk várható értéke pedig

p (k, n) \cdot n - k

.
Másrészt, a várható

ℓ (k, n)

lépés mindegyikében

\frac{- 1}{37}

a várható nyereményünk, ez összesen

ℓ (k, n) \cdot \frac{- 1}{37}

. Tehát

p (k, n) \cdot n - k = ℓ (k, n) \cdot \frac{- 1}{37}

, rendezve

\begin{matrix} ℓ (k, n) = 37 (k - p (k, n) \cdot n) . \end{matrix}

Tanulság

Az az aprónak látszó előny, hogy a kaszinónak

\frac{1}{37}

-del nagyobb esélye van, mint nekünk, valójában tetemes. Épp csak 52 százalék esélyünk van arra, hogy (valamikor, életünkben egyszer) 12 egység pluszba kerüljünk; a plusz 50 egyszeri elérésére még végtelen nagy hitel esetén is kevesebb, mint

7

százalék. A kaszinó lassan, türelmesen, de

1

valószínűséggel megkopasztja a vendégeket ‐ meglepő, hogy a rendőrségi beszámolóban szereplő banki ,,tanácsadó'' ezt nem tudta.

Felhasznált irodalom

[K]	B. 4419. feladat. KöMaL 2012. január. http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4419&l=hu

[P]	Eljátszotta a bank pénzét. Bács-Kiskun Megyei Rendőr-főkapitányság, 2017. jan. 7. http://www.police.hu/hirek-es-informaciok/legfrissebb-hireink/bunugyek/eljatszotta-a-bank-penzet

[I]	Eljátszotta a bank pénzét: 58 milliót bukott egy kecskeméti férfi. Index, 2017. jan. 7. http://index.hu/gazdasag/2017/01/07/58_milliot_bukott_szerencsejatekon_egy_kecskemeti_bankfiok_dolgozoja/

[N]	Eljátszotta a bank pénzét egy alkalmazott. Nők Lapja Café, 2017. jan. 7. http://www.nlcafe.hu/ezvan/20170107/bank-penze-szerencsejatek-alkalmazott-eljatszotta/

[F]	Keleti Tamás: Tippjáték a rulettezésről. Facebook, 2017. jan. 11. https://www.facebook.com/tamas.keleti.79/posts/10154798837617435