Kezdőlap


Cím:	Csebisev algebrai egyenlőtlensége és egy új közgazdasági alkalmazása
Szerző(k):	Simonovits András
Füzet:	2017/február, 72 - 75. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Bevezetés

Csebisev a 19. század egyik legnagyobb orosz matematikusa volt, nevéhez több tétel is fűződik. Például ha

n > 1

egy természetes szám, akkor

n

és

2 n

között mindig található legalább egy prímszám. Ebben a cikkben Csebisev algebrai egyenlőtlenségét járjuk körül (amellyel a magyar középiskolai szakköri oktatás is többször foglalkozott). Az egyenlőtlenség érdekes alkalmazásaként több közgazdaságtani egyenlőtlenség is adódik. Itt egy új nyugdíjgazdaságtani egyenlőtlenséget mutatunk be, s a két oldal közti különbséget konkrét magyar adatokkal szemléltetjük.

2. Csebisev algebrai egyenlőtlensége

Kiindulópontunk a következő elemi megfigyelés.

1. segédtétel. Ha

0 < x_{1} < x_{2}

és

0 < y_{1} < y_{2}

két valós számpár, akkor

\begin{matrix} x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2} > x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} . \end{matrix}

Bizonyítás. Valóban, rendezéssel adódik

(x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) > 0

, s ez a feltevés szerint teljesül.

□

Ebből a segédtételből levezethető cikkünk központi egyenlőtlensége.

1. tétel (Csebisev algebrai egyenlőtlensége, 1882). Legyen

n > 1

egy természetes szám, valamint

0 < a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n}

és

0 < b_{1} \leq b_{2} \leq ... \leq b_{n}

két valós számsorozat. Ekkor fennáll a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} n (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}) \geq (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}) . \end{matrix}

Megjegyzés. Ha van olyan

i

index, amelyre

a_{i} < a_{i + 1}

és

b_{i} < b_{i + 1}

egyszerre teljesül, akkor az egyenlőtlenség is szigorú.

Bizonyítás. Írjuk föl az első sorban álló egyenlőség mellé a segédtételből következő

n - 1

egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} & = & a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}, \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} & \geq & a_{1} b_{2} + a_{2} b_{3} + ... + a_{n} b_{1}, \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n} & \geq & a_{1} b_{n} + a_{2} b_{1} + ... + a_{n} b_{n - 1} . \end{matrix}

Összeadva őket, adódik a nevezett egyenlőtlenség.

□

Létezik az egyenlőtlenségnek egy olyan változata, amely explicit alakban megadja az eltérést (itt a szumma az összegzés jele):

\begin{matrix} n (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}) - (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}) (b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}) = \\ = \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j} (a_{i} - a_{j}) (b_{i} - b_{j}) \geq 0. \end{matrix}

A valószínűségi alkalmazásban kézenfekvő a Csebisev-egyenlőtlenséget átlagokra felírni. Tegyük föl, hogy egy-egy véletlen változó értéke

1 / n

valószínűséggel veszi föl

a_{i}

-t és

b_{i}

-t, ahol

(a_{i})

és

(b_{i})

nem szigorúan növekvő pozitív sorozat. Ekkor a szorzat átlaga legalább akkora, mint az átlagok szorzata:

\begin{matrix} \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}}{n} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \cdot \frac{b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}}{n} . \end{matrix}

Az egyenlőtlenség érdekes alkalmazásaként kitűzzük a következő feladatot (a megoldás a cikk végén található).

1. feladat. Bizonyítsuk be, hogy

n

pozitív szám négyzetes közepe legalább akkora, mint a számtani közepük:

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}{n}} \geq \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} . \end{matrix}

Megemlítjük, hogy a hibaszámításban az átlagos hibát éppen a négyzetes középpel számoljuk.

3. Egy új közgazdasági alkalmazás

Egy modern állam költségvetési kiadásainak jelentős része a nyugdíjrendszerrel kapcsolatos. Első közelítésben egy adott évjárat nyugdíjkiadása az átlagos nyugdíj és a nyugdíjban töltött átlagos idő szorzata. Pontosabb becslésben azonban az átlagok mellett a két változó eloszlását is figyelembe kell vennünk. A Csebisev-egyenlőtlenséget alkalmazva azt mutatjuk meg, hogy az átlagokkal való számítás alábecsüli e kiadásokat. Megjegyezzük, hogy jelenleg Magyarországon nem ez a legerősebb alábecslési ok, de jelentősége a nyugdíjak és a várható élettartamok várható polarizálódása miatt egyre fokozódik.
Fordítsuk le matematikai nyelvre a problémát: osszuk a népességet

n > 1

csoportra, s legyen az

i

-edik csoport tagjainak az időben változatlan reálértékű éves átlagos nyugdíja

b_{i}

, szigorúan növekvő sorrendben; a nyugdíjban töltött átlagos ideje

a_{i}

. Tapasztalati megfigyelések és logikai érvelés alapján igaz, hogy nagyobb csoport-nyugdíjhoz hosszabb nyugdíjban töltött idő tartozik. A statisztikai alkalmazhatóság miatt azonban nem lehet túlzottan kis csoportokat képezni. Mivel a nők jóval kisebb nyugdíjat kapnak és átlagosan tovább élnek, mint a férfiak, szét kellett a két nemet választani. Érdekes módon a nőknél alig van élettartambeli különbség, és a monotonitás sem teljesül. Ezért a továbbiakban csak a férfiaknak fizetett nyugdíjkiadással foglalkozunk.
Az egy férfi nyugdíjasra jutó átlagos nyugdíjkiadás

\begin{matrix} E = \frac{a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + ... + a_{n} b_{n}}{n} . \end{matrix}

Mint említettük, gyakori közelítés, hogy

E

helyett az átlagos nyugdíjban töltött idő és az átlagos nyugdíj szorzatával becslik meg a nyugdíjkiadást:

\begin{matrix} \hat{E} = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n} \frac{b_{1} + b_{2} + ... + b_{n}}{n} . \end{matrix}

Csebisev tétele szerint

E \geq \hat{E}

.
Kérdés: mekkora az alábecslés mértéke? A relatív hiba a csoportok nyugdíjban töltött átlagos idejének és átlagos nyugdíjának a heterogenitásától függ.
A hazai nyugdíjak és a 60 éves korban várható élettartam 4-elemű eloszlásáról vannak megbízható adataink. Molnár D. és Hollósné-Marosi (2015) adatai és szóbeli közlése szerint a 2012-ben elhunyt magyar férfi ‐ négy egyenlő részre vágott osztályos ‐ adatai a következők.

1. táblázat. Férfi nyugdíj- és várható élettartam 60 éves korban, 2012

\begin{matrix} Nyugdíjosztály & Relatív nyugdíj & Várható élettartam 60 éves korban \\ i & b_{i} & a_{i} \\ 1 & 61,9 & 17,1 \\ 2 & 81,1 & 18,3 \\ 3 & 105,0 & 19,5 \\ 4 & 152,0 & 21,1 \\ Átlag & 100 & 19,0 \end{matrix}

Egyszerű számolással adódik, hogy a közelítés relatív hibája

- 2, 5 %

Az 1. feladat megoldása. Legyen

b_{1} = a_{1}

...

b_{n} = a_{n}

, és alkalmazzuk a Csebisev egyenlőtlenséget a nevezett egyenlőtlenség négyzetére. Figyeljük meg, hogy a két sorozat azonossága miatt a feltevés nem megszorító, megfelelő indexeléssel mindig elérhető.

Irodalom

Csebisev, P. (1882): Bizonyos integrálok más integrálokkal való közelítése (oroszul), a Harkovi Cári Egyetem Közleményei, 2, 93‐98.
Molnár D. L. és Hollósné Marosi J. (2015): Az öregségi nyugdíjasok halandósága, Közgazdasági Szemle 62, 1258‐1290.