Cím:	Megoldásvázlatok a 2016/9. sz. emelt szintű matematika gyakorló feladatsorhoz
Szerző(k):	Sztranyák Attila
Füzet:	2017/január, 10 - 20. oldal	PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	2016/december: Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Egy dömper az építkezés és a kavicsbánya között szállít kavicsot. A két hely között 18 km a távolság. Az építkezéstől a bányáig és vissza pontosan $1$ óra $6$ perc a tiszta szállítási idő. $a)$ Mekkora a teherautó sebessége terheletlenül, ha azt tudjuk, hogy terhelve (bányából az építkezésre) 6 km/h-val kisebb átlagsebességgel halad? $b)$ 100 km-re vetítve a kocsi fogyasztása $10\%$-kal több terhelve, mint terheletlenül. Mennyi a kocsi terheletlen fogyasztása (liter/100 km mértékegységben), ha az oda-vissza út során összesen 10,8 liter benzint fogyasztott?  (12 pont)   Megoldás. $a)$ (Minden távolságot km-ben, minden idő-mennyiséget órában, és minden sebességet km/h-ban fogunk számolni, és csak a megoldás végén írjuk fel a mértékegységeket.) Az odaút sebessége legyen $v$, ekkor a visszaút (ekkor van tele kővel a dömper) sebessége $v-6$, míg a két rész-út megtételéhez szükséges idő legyen $t_1$, illetve $t_2$. A feladat szövege alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1\mathrm{,}1=t_1+t_2=\frac{18}{v}+\frac{18}{v-6}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyenletet megoldva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}1}& {\displaystyle =\frac{18}{v}+\frac{18}{v-6}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}1v\left(v-6\right)}& {\displaystyle =18\left(2v-6\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}1v^2-6\mathrm{,}6v}& {\displaystyle =36v-\mathrm{108,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1\mathrm{,}1v^2-42\mathrm{,}6v+108}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\mathrm{1,2}}=\frac{\mathrm{42,6}\pm \sqrt[]{42\mathrm{,}{6}^2-4\cdot 1\mathrm{,}1\cdot 108}}{2\mathrm{,}2}=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v_1}& {\displaystyle =\mathrm{36,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{60}{22}}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ezek közül csak $v_1=36$ (km/h) lehet a megoldás, mert $v_2$ esetén a visszaút $v_2-6$ sebessége negatív lenne. $b)$ Mivel a két út egyforma hosszú, ezért ha az odaúton $c$ liter bezin fogyott, akkor a visszaúton $1\mathrm{,}1c$, azaz összesen $2\mathrm{,}1c$. Innen $2\mathrm{,}1c=10\mathrm{,}8$, azaz $c=\frac{108}{21}=\frac{36}{7}$. Mivel ezt a $c$ mennyiséget $18$ km alatt fogyasztotta a dömper, ezért a 100 km-re vetített terheletlen fogyasztása: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{100}{18}\cdot \frac{36}{7}=\frac{200}{7}\approx 28\mathrm{,}57\text{ liter/100km.}}\end{array}$   2. Tekintsük a következő rekurzívan megadott sorozatokat: $a_1=1$, $a_n=\frac{1}{\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n-1}}+a_{n-1}$ (ha $n>1$), illetve $b_1=1$, $b_n=\frac{n+2}{n-1}\cdot b_{n-1}$ $($ha $n>1)$. $a)$ Hány olyan $n<2016$ indexű tagja van az $\left\{a_n\right\}$ sorozatnak, ami egész értéket vesz fel? $b)$ Hány olyan $n$ indexű tagja van a $\left\{b_n\right\}$ sorozatnak, amelyre teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle 6\cdot b_n\le n^3+2n^2+20n-72}\end{array}$ egyenlőtlenség? $c)$ Adjuk meg az $s_{100}=b_1+b_2+b_3+\text{...}+b_{100}$ összeg pontos értékét.  (14 pont)   Megoldás. Először megadjuk a sorozatokat nem rekurzív módon. Mindkét helyen teleszkópos összeget, illetve szorzatot használunk. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{1}{\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n-1}}+a_{n-1}=\frac{1\cdot \left(\sqrt[]{n}-\sqrt[]{n-1}\right)}{\left(\sqrt[]{n}+\sqrt[]{n-1}\right)\left(\sqrt[]{n}-\sqrt[]{n-1}\right)}+a_{n-1}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[]{n}-\sqrt[]{n-1}+a_{n-1}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ és mivel $a_1=1=\sqrt[]{1}$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\left(\sqrt[]{n}-\sqrt[]{n-1}\right)+\left(\sqrt[]{n-1}-\sqrt[]{n-2}\right)+\text{...}+\left(\sqrt[]{2}-\sqrt[]{1}\right)+1=\sqrt[]{n}\mathrm{.}}\end{array}$ Míg a másik sorozatra: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{n+2}{n-1}\cdot b_{n-1}=\frac{n+2}{n-1}\cdot \frac{n+1}{n-2}\cdot b_{n-2}=\text{...}=\frac{n+2}{n-1}\cdot \frac{n+1}{n-2}\cdot \text{...}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{4}{1}\cdot 1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\text{...}6\cdot 5\cdot 4}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\text{...}4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n}{3\cdot 2\cdot 1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $a)$ Mivel $a_n=\sqrt[]{n}$, és ez pontosan akkor egész, ha $n$ négyzetszám, ezért (hiszen $\sqrt[]{2016}\approx 44\mathrm{,}9$) pontosan $44$ darab egész tag van $2016$-ig. $b)$ A $6\cdot b_n\le n^3+2n^2+20n-72$ egyenlőtlenséget kissé átírva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 6\cdot \frac{\left(n+2\right)\left(n+1\right)n}{3\cdot 2\cdot 1}}& {\displaystyle \le n^3+2n^2+20n-\mathrm{72,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle n^3+3n^2+2n}& {\displaystyle \le n^3+2n^2+20n-\mathrm{72,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \le -n^2+18n-\mathrm{72,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle \le -\left(n-6\right)\left(n-12\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Innen $6\le n\le 12$ adódik, vagyis $7$ darab megfelelő tagja van a sorozatnak.   $c)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle s_{100}=b_1+b_2+b_3+\text{...}+b_{100}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)+\text{...}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{101}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{102}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)=1=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)$, így az összeg első két tagjára (az ismert $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)$ összefüggést fogjuk most és később is használni) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)$, az első három tagjára: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ és így tovább. Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle s_{100}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{103}{4}\right)=\frac{103\cdot 102\cdot 101\cdot 100}{24}=4421275.}\end{array}$   3. Három testvérnek, András, Béla és Csaba gazdának külön-külön $20$-$20$ hektárnyi földje van. A birtokokból külön-külön $10$-$10$ hektár telepített szőlő, amin adott, hogy mit termelnek (nem lenne értelme kiszedni a tőkéket), a másik $10$ hektáron viszont három egyéb növény termelése közül választhatnak külön-külön a testvérek (krumpli, rizs, homoktövis). Az elmúlt 120 év bergengóciai regionális ‐ az időjárásra vonatkozó ‐ statisztikái alapján a következő táblázat készíthető az egyes növények $10$ hektárra vonatkozó hasznáról (az értékek ezer bergengóc euróban adottak).   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{Időjárás }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ aszályos }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ száraz }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ normál }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ csapadékos }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ monszun }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{Időjárás esélye }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mspace backround="\#000" height="11pt" depth="6pt" width="0pt"></mspace></math>}}\hfill \\ \multicolumn{6}{c}{{\displaystyle \text{Növények haszna az egyes időjárás-típusok esetén}}}\\ \multicolumn{6}{c}{{\displaystyle \text{(1000 bergengóc euró/10 hektárban)}}}\\ \hfill {\displaystyle \text{szőlő }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{rizs }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{krumpli }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>8</mn></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{homoktövis }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Mit termeljen András gazda, ha azt szeretné, hogy a várható nyeresége a lehető legnagyobb legyen? $b)$ Mennyi valamely gazda nyereségének (ami az időjárástól, mint véletlen eseménytől függ) szórása, ha a szőlő mellett a másik $10$ hektáron rizst, krumplit, illetve homoktövist termel? Bergengóciában úgy tartják, hogy ‐ azonos várható nyereség esetén ‐ az a kockázatosabb beruházás, ahol nagyobb a szórás. $c)$ Béla gazda azt szeretné, hogy a lehető legrosszabb időjárás esetén is a lehető legkevesebb legyen a vesztesége. Igaz-e, hogy neki a legkevésbé kockázatos beruházást kell választania? $d)$ Csaba gazda egy nagy értékű traktort vett hitelre. Ha az év végén (miután már értékesítette az az évi termést) nem tud visszafizetni $15000$ bergengóc eurót, akkor csődbe megy. Igaz-e, hogy ahhoz, hogy ezt a lehető legnagyobb eséllyel elkerülje: neki a legkockázatosabb beruházást érdemes választania? Mekkora eséllyel menekül meg ekkor a csődtől Csaba gazda?  (11 pont)   Megoldás. $a)$ A maradék 10 hektáron az egyes növények várható haszna: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle E\left(\text{rizs}\right)}& {\displaystyle =\frac{-5+0+4+7+9}{5}=\mathrm{3,}E\left(\text{krumpli}\right)=\frac{2+10+9+2+\left(-8\right)}{5}=\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle E\left(\text{homoktövis}\right)}& {\displaystyle =\frac{3+3+3+3+3}{5}=3.}\hfill \end{array}}$ Vagyis bármely növény esetén ugyanakkora a várható nyereség, és mivel a 10 hektár szőlő várható nyeresége: $E\left(\text{szőlő}\right)=\frac{5+12+10+4+\left(-6\right)}{5}=5$, így a várható össznyereség éppen 8000 bergengóc euró. $b)$ Először készítsünk egy szőlővel összevont táblázatot.     Mivel a várható érték $8$ volt, így a szórásnégyzetek: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle D^2\left(\text{sz+r}\right)}& {\displaystyle =\frac{{\left(0-8\right)}^2+{\left(12-8\right)}^2+{\left(14-8\right)}^2+{\left(11-8\right)}^2+{\left(3-8\right)}^2}{5}=\mathrm{30,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle D^2\left(\text{sz+k}\right)}& {\displaystyle =\frac{{\left(7-8\right)}^2+{\left(22-8\right)}^2+{\left(19-8\right)}^2+{\left(6-8\right)}^2+{\left(-14-8\right)}^2}{5}=\frac{806}{5}=161\mathrm{,}\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle D^2\left(\text{sz}+\text{h}\right)}& {\displaystyle =\frac{{\left(8-8\right)}^2+{\left(15-8\right)}^2+{\left(13-8\right)}^2+{\left(7-8\right)}^2+{\left(-3-8\right)}^2}{5}=\frac{196}{5}=39\mathrm{,}2.}\hfill \end{array}}$ Innen a három szórás: $D\left(\text{sz+r}\right)=\sqrt[]{30}\approx 5\mathrm{,}48$, $D\left(\text{sz+k}\right)=\sqrt[]{161\mathrm{,}2}\approx 12\mathrm{,}70$, $D\left(\text{sz+h}\right)=\sqrt[]{39\mathrm{,}2}\approx 6\mathrm{,}26$. $c)$ A lehető legrosszabb időjárás esetén a lehető legkevesebb veszteség úgy érhető el a fenti módosított táblázat alapján, ha a szőlő mellé rizst telepít Béla gazda, és mivel ekkor a legkisebb a szórás, ezért igaz az állítás. $d)$ Csaba gazda a kívánt 15000 eurót a lehető legnagyobb eséllyel akkor teremti elő, ha a szőlő mellé krumplit vet. Vagyis neki valóban a legkockázatosabb választásra van szüksége. Ekkor a csőd elkerülésének az esélye: $\frac{2}{5}$.   4. Kati néni egy kör alakú asztalra (a bal oldali ábra szerint) feltett egy szabályos ötszög alakú terítőt úgy, hogy a terítő egyik csúcsa egybeesik az asztal középpontjával, míg a terítő két másik csúcsa éppen az asztal kerületére esik. $a)$ Az asztal hány $\%$-át fedi le Kati néni terítője?     Mari néni egy, az előzővel azonos méretű asztalra négy (az előző terítővel azonos méretű) terítőt tett fel. Az egyik terítőt pontosan úgy, ahogy Kati néni, míg a többi terítőt (a jobb oldali ábra szerint) úgy, mintha az első terítőt rendre elforgatná ${90}^{\circ }$, ${180}^{\circ }$, ${270}^{\circ }$-kal az asztal középpontja körül. $b)$ Az asztal hány $\%$-át fedi le Mari néni négy terítője együttesen?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Mivel hasonlóság erejéig az ábrák mreghatározottak, legyen az asztalok mint körök sugara $1$. Nyilván a terítők átlója szintén $1$ hosszú. Mivel a szabályos 5-szögek belső szögei ${108}^{\circ }$-osak, innen a terítő egy $a$ oldalára (a megfelelő egyenlőszárú háromszögből): $\text{sin}{54}^{\circ }=\frac{1}{2a}$, azaz a terítő oldalának hossza: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{1}{2\cdot \text{sin}{54}^{\circ }}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a terítőt két, egy csúcsból induló átlójának segítségével három egyenlőszárú háromszögre bontva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T_{\text{terítő}}}& {\displaystyle =\frac{1^2\cdot \text{sin}{36}^{\circ }}{2}+2\cdot \frac{a^2\cdot \text{sin}{108}^{\circ }}{2}=\frac{\text{sin}{36}^{\circ }}{2}+\frac{2\cdot \text{sin}{54}^{\circ }\cdot \text{cos}{54}^{\circ }}{4\cdot \text{sin}{54}^{\circ }\cdot \text{sin}{54}^{\circ }}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\text{sin}{36}^{\circ }+\text{ctg}{54}^{\circ }}{2}\approx 0\mathrm{,}6572.}\hfill \end{array}}$ Azaz a terítő az asztalnak $\frac{\text{sin}{36}^{\circ }+\text{ctg}{54}^{\circ }}{2\pi }\approx 0\mathrm{,}2092$, vagyis kb. 21%-át fedi le.   $b)$ Tekintsük az ábrát (melyen két szomszédos terítő látható). A két terítő által közösen lefedett ,,metszet'' (mivel az egész ötszöget ${90}^{\circ }$-kal forgattuk el, így a $b$, $b\text{'}$ által bezárt szög is derékszög) egy olyan deltoid, melynek hosszabb oldala azonos a terítő $a$ oldalával, míg szögei rendre ${18}^{\circ }$, ${108}^{\circ }$, ${126}^{\circ }$, ${108}^{\circ }$-osak. Először kiszámoljuk a deltoid hosszabb, $c$ átlóját szinusz-tétellel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{\text{sin}{63}^{\circ }}=\frac{c}{\text{sin}{108}^{\circ }}\mathrm{,}\text{amiből}c=\frac{\text{sin}{108}^{\circ }}{2\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle t_{\text{deltoid}}}& {\displaystyle =2\cdot \frac{a\cdot c\text{sin}{9}^{\circ }}{2}=\frac{\text{sin}{108}^{\circ }\cdot \text{sin}{9}^{\circ }}{2\cdot \text{sin}{54}^{\circ }\cdot 2\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2\text{sin}{54}^{\circ }\cdot \text{cos}{54}^{\circ }\text{sin}{9}^{\circ }}{2\cdot \text{sin}{54}^{\circ }\cdot 2\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}=\frac{\text{cos}{54}^{\circ }\text{sin}{9}^{\circ }}{2\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     Mivel a négy terítő összterülete éppen négy ilyen deltoid területével több, mint a lefedett terület: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle t_{\text{lefedett}}}& {\displaystyle =4\cdot \frac{\text{sin}{36}^{\circ }+\text{ctg}{54}^{\circ }}{2}-4\cdot \frac{\text{cos}{54}^{\circ }\text{sin}{9}^{\circ }}{2\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cdot \left(\text{sin}{36}^{\circ }+\text{ctg}{54}^{\circ }-\frac{\text{cos}{54}^{\circ }\text{sin}{9}^{\circ }}{\text{sin}{54}^{\circ }\text{sin}{63}^{\circ }}\right)\approx 2\mathrm{,}\mathrm{3735,}}\hfill \end{array}}$ ez pedig a teljes asztal $\frac{t_{\text{lefedett}}}{\pi }\approx 0\mathrm{,}7555$ része. Vagyis a terítők az asztal kb. 76%-át fedik le.   II. rész     5. Véletlenszerűen kiválasztok $0$ és $9999$ között egy olyan számot, ami tartalmaz $2$-es számjegyet. Mekkora az esélye, hogy a kiválasztott számomban több $2$-es van a számjegyek között, mint $1$-es? (Pl. $2012$ ,,kedvező'' tulajdonságú szám, de $2016$ nem.)  (16 pont)   Megoldás. Először megszámoljuk, hogy összesen hány olyan legfeljebb négyjegyű szám van, ami tartalmaz 2-es számjegyet. Két apró ötlet: egyszerűbb azokat a számokat megszámolni, melyek nem tartalmaznak 2-es jegyet, illetve minden nem négyjegyű számra olyan négyjegyű számként fogunk tekinteni, melynek első pár jegye 0 (pl. most 17=0017 lesz). A 2-est nem tartalmazó számok száma: $9\cdot 9\cdot 9\cdot 9=6561$, hiszen mind a négy számjegyre 9 lehetőség van, így a 2-est tartalmazó számok száma: $n=10000-6561=3439$. Most nézzük meg, hogy közülük hány ,,jó'', azaz hány olyan van, amelyikben kevesebb az 1-es jegy. ‐ Ha mind a négy jegy 2-es, az jó. Ez 1 eset. ‐ Ha három jegy 2-es, az is mind jó. Ez $4\cdot 9=36$ eset. (Hiszen a ,,maradék'' nem 2-es jegy 9-féle lehet és 4 helyre kerülhet.) ‐ Ha két jegy 2-es, akkor minden olyan eset jó, ahol 0, vagy 1 darab 1-es jegy van. Ha nincs 1-es, akkor a két 2-est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ helyre tehetjük, a maradék helyekre pedig 8-8-féleképp tehetünk számjegyeket, azaz ekkor $6\cdot 8^2=384$ jó eset van. Ha egy darab 1-es van, akkor a két 2-est $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ helyre tehetjük, az 1-est két helyre, a maradék helyre pedig 8-féleképp tehetünk számjegyet, azaz ekkor $6\cdot 2\cdot 8=96$ jó eset van. ‐ Végül, ha egyetlen jegy 2-es, akkor a számban egyáltalán nem lehet 1-es jegy. Ezt könnyű megszámolni: az egyetlen 2-est 4 helyre helyre tehetem, a maradék helyekre pedig 8-8-8-féleképp tehetek számjegyeket, azaz ekkor $4\cdot 8^3=2048$ jó eset van. Vagyis a kedvező esetek száma: $k=1+36+\left(384+96\right)+2048=2565$, és a kérdéses valószínűség: $\frac{k}{n}=\frac{2565}{3439}\approx 0\mathrm{,}746$.   6. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1}& {\displaystyle ={\left(\frac{4x^2-8x+7}{4}\right)}^{y^2-8y+7}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{arccos}x}& {\displaystyle =\text{arcsin}y\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  (16 pont)   Megoldás. Az $a^b=1$ egyenlet akkor teljesül, ha az alap $a=1$, vagy, ha a kitevő $b=0$, és az $a\ne 0$ (bár ez utóbbi megállapodás kérdése), illetve, ha az alap $a=-1$, és a kitevő páros szám. Ezek alapján ${\left(\frac{4x^2-8x+7}{4}\right)}^{y^2-8y+7}=1$ teljesül, ha $a)$ ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \frac{4x^2-8x+7}{4}=1\to 4x^2-8x+3=0\to }\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle \to \left(2x-3\right)\left(2x-1\right)=0\to x_1=\frac{1}{2};x_2=\frac{3}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ilyenkor persze $y$ tetszőleges. $b)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y^2-8y+7=0\to \left(y-7\right)\left(y-1\right)=0\to y_1=1;y_2=7.}\end{array}$ Itt kell még az is, hogy az alap nem nulla, de mivel $4x^2-8x+7=4{\left(x-1\right)}^2+3\ge 3$, ezért ez minden $x$-re teljesül. $c)$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4x^2-8x+7}{4}=-1\to 4x^2-8x+11=0.}\end{array}$ Mivel itt $D<0$, ezért ilyenkor nem teljesülhet az egyenlet. Most nézzük az $\text{arccos}x=\text{arcsin}y$ egyenletet. Az előzőek alapján négy esetet kell megvizsgálni. $i)$ $x=\frac{1}{2}\to \text{arccos}x=\frac{\pi }{3}=\text{arcsin}y\to y=\text{sin}\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt[]{3}}{2}$. $ii)$ $x=\frac{3}{2}$. Mivel $\text{arccos}x$ értelmezési tartománya $\left[-1;1\right]$, itt nincs megoldás. $iii)$ $y=1\to \text{arccos}x=\frac{\pi }{2}=\text{arcsin}1\to x=\text{cos}\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$. $iv)$ $y=7$. Mivel $\text{arcsin}y$ értelmezési tartománya $\left[-1;1\right]$, itt sincs megoldás. Összegezve: két számpár elégíti ki az egyenletet, $\left(x=\frac{1}{2};y=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)$, illetve $(x=0$; $y=1)$.   7. Egy egyenesnek tekinthető 210 km hosszú autópálya-útszakasz mentén néhány mentőállomás áll. Az első állomás a $0$-adik km-nél van, a második az első km-nél, $\text{...}$; általában az $i$-edik, és az $\left(i+1\right)$-edik mentőállomás között