Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Deák Anna
Füzet:	2016/november, 462 - 464. oldal	PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	2016/december: Megoldásvázlatok a 2016/8. sz. emelt szintű matematika gyakorló feladatsorhoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Oldjuk meg az egyenleteket a valós számok halmazán: $a)$ $\sqrt[]{x+12}+\sqrt[]{x-12}=6$; $b)$ $3^{\text{lg}{x}^2}+3^{1+\text{lg}x}=108$.  (12 pont)   2. Az $\left\{1;2;3;4;\text{...};400\right\}$ számhalmaz elemei közül kiválasztunk egyet véletlenszerűen. (Mindegyiket egyenlő eséllyel.) Mekkora a következő események valószínűsége: $a)$ A húzott szám osztható 3-mal, de nem osztható 4-gyel; $b)$ A húzott szám osztható 3-mal, 4-gyel vagy 5-tel; $c)$ A húzott szám számjegyeinek összege 5?  (14 pont)   3. $a)$ Egy szabályos négyoldalú gúlát az alaplappal párhuzamos, a magasság harmadolópontjain átfektetett két síkkal három részre osztunk. A középső, csonkagúla alakú rész térfogata 28 m${}^3$. Számítsuk ki a teljes gúla térfogatát.     $b)$ Az előbbi gúla egy köztéri alkotásnak szánt kisebb épület, alapéle 6 m. Felszínét a középső részen üveg borítja. Mekkora az üvegezett felület?  (14 pont)       4. Egy hat elemű adathalmaz átlaga 10. Az első négy adat: 6, 11, 14, 8. $a)$ Mennyi a hiányzó két adat átlaga? $b)$ Adjuk meg a hiányzó két adatot, ha az adathalmaz szórása $\sqrt[]{7}$.  (12 pont)   II. rész     5. Egy társasjáték kelléke 80 darab kártyalap, amelyeken kék vagy piros színnel egy-egy írásjel látható. A jelek 30%-a kérdőjel, 45%-a felkiáltójel, a többi pont. A piros írásjeleknek 3/8 része, a kékeknek 1/6 része pont. $a)$ Hány kék, illetve piros lap van a pakliban? Ha a játék során tíz alkalommal húzok a pakliból (a húzott lapokat mindig visszatesszük, és újrakeverjük a kártyákat), mekkora a valószínűsége, hogy $b)$ egy kérdőjelet sem húzok; $c)$ 3-nál több kérdőjelet húzok? $d)$ Mennyi a húzott kérdőjelek számának várható értéke?  (16 pont)   6. $a)$ $\left(a_n\right)$ és $\left(b_n\right)$ pozitív tagú mértani sorozatok, hányadosuk 1,5, illetve 2. Állapítsuk meg az alábbi sorozatokról, hogy mértani sorozatok, illetve számtani sorozatok-e, és ha igen, adjuk meg a hányadost $\left(q\right)$, illetve a differenciát $\left(d\right)$.     $b)$ A fent említett (a${}_n)$ sorozat első tagja 0,2. Számítsuk ki az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_{n+1}}+\frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_{n+3}}+\text{...}}\end{array}$ végtelen sor összegének pontos értékét. $c)$ Egy nyolctagú számtani sorozat páratlan indexű tagjainak összege 8,8, páros indexű tagjainak összege 10,4. Adjuk meg a nyolc tagot.  (16 pont)   7. $a)$ $ABCD$ húrtrapéz, hosszabbik alapja az $AB$ oldal. A trapéz köré írt körhöz érintőt húzunk a $B$ és a $C$ csúcsban, a metszéspontot $E$-vel jelölve $CEB\sphericalangle ={110}^{\circ }$. Milyen szögben metszik egymást a trapéz átlói? $b)$ $ABCD$ húrtrapéz, hosszabbik alapja az $AB$ oldal, $A\left(-8;10\right)$, $B\left(12;0\right)$. Tudjuk továbbá, hogy a $D$ csúcs az $y$ tengely pozitív félegyenesére illeszkedik, és az átlók merőlegesek egy-egy szárra. Határozzuk meg a $C$ és a $D$ csúcs koordinátáit.  (16 pont)   8. $a)$ Egy síkságon futó egyenes vasúti szakasz két állomásépületének távolsága 1,7 km. A vasútvonaltól távolabb álló toronyház teteje az egyik állomásról $5\mathrm{,}{72}^{\circ }$-os, a másikról $2\mathrm{,}{87}^{\circ }$-os emelkedési szögben látszik. A torony tövénél állva a két állomás közötti szakasz ${162}^{\circ }$-os szögben látható. Készítsünk ábrát. Adjuk meg a torony magasságát egész méterre kerekítve. $b)$ Egy háromszög két oldala 70 m és 110 m, a velük szemközti szögek különbsége ${30}^{\circ }$. Mekkorák a háromszög szögei? (Az eredményeket egy tizedesjegy pontossággal adjuk meg.)  (16 pont)   9. $a)$ Adjuk meg az $f$ harmadfokú függvényt, ha egyik zérushelye az 1, deriváltja az $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-12x+11$ függvény. $b)$ Jelölje $p$ a $g\left(x\right)=\text{sin}\frac{x}{3}$ függvény legkisebb pozitív zérushelyét. Számítsuk ki a $\left[0;p\right]$ intervallumon a $g$ függvény grafikonja és az $x$ tengely közé eső zárt területet. $c)$ A $h\left(x\right)=-x^2+16$ függvény grafikonja és az $x$ tengely által határolt síkidomot megforgatjuk az $y$ tengely körül. Mekkora az így kapott forgástestbe írható maximális térfogatú henger térfogata?  (16 pont)