A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Oldjuk meg az egyenleteket a valós számok halmazán: ; . (12 pont)
2. Az számhalmaz elemei közül kiválasztunk egyet véletlenszerűen. (Mindegyiket egyenlő eséllyel.) Mekkora a következő események valószínűsége: A húzott szám osztható 3-mal, de nem osztható 4-gyel; A húzott szám osztható 3-mal, 4-gyel vagy 5-tel; A húzott szám számjegyeinek összege 5? (14 pont)
3. Egy szabályos négyoldalú gúlát az alaplappal párhuzamos, a magasság harmadolópontjain átfektetett két síkkal három részre osztunk. A középső, csonkagúla alakú rész térfogata 28 m. Számítsuk ki a teljes gúla térfogatát.
Az előbbi gúla egy köztéri alkotásnak szánt kisebb épület, alapéle 6 m. Felszínét a középső részen üveg borítja. Mekkora az üvegezett felület? (14 pont)
4. Egy hat elemű adathalmaz átlaga 10. Az első négy adat: 6, 11, 14, 8. Mennyi a hiányzó két adat átlaga? Adjuk meg a hiányzó két adatot, ha az adathalmaz szórása . (12 pont)
II. rész
5. Egy társasjáték kelléke 80 darab kártyalap, amelyeken kék vagy piros színnel egy-egy írásjel látható. A jelek 30%-a kérdőjel, 45%-a felkiáltójel, a többi pont. A piros írásjeleknek 3/8 része, a kékeknek 1/6 része pont. Hány kék, illetve piros lap van a pakliban? Ha a játék során tíz alkalommal húzok a pakliból (a húzott lapokat mindig visszatesszük, és újrakeverjük a kártyákat), mekkora a valószínűsége, hogy egy kérdőjelet sem húzok; 3-nál több kérdőjelet húzok? Mennyi a húzott kérdőjelek számának várható értéke? (16 pont)
6. és pozitív tagú mértani sorozatok, hányadosuk 1,5, illetve 2. Állapítsuk meg az alábbi sorozatokról, hogy mértani sorozatok, illetve számtani sorozatok-e, és ha igen, adjuk meg a hányadost , illetve a differenciát .
b) A fent említett (an) sorozat első tagja 0,2. Számítsuk ki az | 1a1+1an+1+1an+2+1an+3+... | végtelen sor összegének pontos értékét. c) Egy nyolctagú számtani sorozat páratlan indexű tagjainak összege 8,8, páros indexű tagjainak összege 10,4. Adjuk meg a nyolc tagot. (16 pont)
7. a) ABCD húrtrapéz, hosszabbik alapja az AB oldal. A trapéz köré írt körhöz érintőt húzunk a B és a C csúcsban, a metszéspontot E-vel jelölve CEB∢=110∘. Milyen szögben metszik egymást a trapéz átlói? b) ABCD húrtrapéz, hosszabbik alapja az AB oldal, A(-8;10), B(12;0). Tudjuk továbbá, hogy a D csúcs az y tengely pozitív félegyenesére illeszkedik, és az átlók merőlegesek egy-egy szárra. Határozzuk meg a C és a D csúcs koordinátáit. (16 pont)
8. a) Egy síkságon futó egyenes vasúti szakasz két állomásépületének távolsága 1,7 km. A vasútvonaltól távolabb álló toronyház teteje az egyik állomásról 5,72∘-os, a másikról 2,87∘-os emelkedési szögben látszik. A torony tövénél állva a két állomás közötti szakasz 162∘-os szögben látható. Készítsünk ábrát. Adjuk meg a torony magasságát egész méterre kerekítve. b) Egy háromszög két oldala 70 m és 110 m, a velük szemközti szögek különbsége 30∘. Mekkorák a háromszög szögei? (Az eredményeket egy tizedesjegy pontossággal adjuk meg.) (16 pont)
9. a) Adjuk meg az f harmadfokú függvényt, ha egyik zérushelye az 1, deriváltja az f'(x)=3x2-12x+11 függvény. b) Jelölje p a g(x)=sinx3 függvény legkisebb pozitív zérushelyét. Számítsuk ki a [0;p] intervallumon a g függvény grafikonja és az x tengely közé eső zárt területet. c) A h(x)=-x2+16 függvény grafikonja és az x tengely által határolt síkidomot megforgatjuk az y tengely körül. Mekkora az így kapott forgástestbe írható maximális térfogatú henger térfogata? (16 pont) |