Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Árokszállási Tibor ,  Faragó András ,  Káspári Tamás
Füzet:	2016/október, 395 - 397. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. 2015-ben az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium (ESZI) végzős, 12. osztályos százhuszonöt diákja közül néhányan emelt szintű érettségit tettek matematikából, átlaguk pontosan 3,8 volt. A többi diák középszinten érettségizett, az ő érettségi átlaguk pedig pontosan 3,55 volt. A diákok közül mindenki sikeres vizsgát tett, az összesített iskolai matematika érettségi átlag pontosan 3,56 lett. $a)$ Hányan érettségiztek emelt szinten? $b)$ Az emelt szinten érettségizők osztályzatainak mediánja: 4, mennyi lehet az osztályzatok módusza? $c)$ Öt 13. évfolyamos ESZI-s diák írt szintemelő érettségi dolgozatot matematikából, az ő átlaguk is 3,80 volt, és itt sem bukott meg senki. Tudjuk, hogy az osztályzataik módusza és mediánja is 5. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dolgozatok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva közülük mindkettő jeles?  (12 pont)   2. Egy számtani és egy mértani sorozat első tagja egyaránt 2. A sorozatok második tagjai szintén egyenlők, valamint a mértani sorozat hányadosa egyenlő a számtani sorozat differenciájával. $a)$ A mértani sorozat 10. tagja a számtani sorozat hányadik tagjával egyenlő? $b)$ Mutassuk meg, hogy a mértani sorozat bármely tagja eleme a számtani sorozatnak. $c)$ Mutassuk meg, hogy a mértani sorozat egyik tagja sem állítható elő a számtani sorozat néhány egymás utáni tagjának összegeként.  (13 pont)   3. Legyen az $f:\text{R}\to \text{R}$ függvény hozzárendelési szabálya $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=4^x+0\mathrm{,}{5}^{2x}-3.}\end{array}$ $a)$ Adjuk meg az $f$ függvény értékkészletét és zérushelyeinek pontos értékét. $b)$ Mutassuk meg, hogy a függvény páros és szigorúan monoton növekvő a pozitív számok halmazán.  (13 pont)   4. $a)$ Mekkora lehet a $p$ valós paraméter értéke, ha tudjuk, hogy a $\text{cos}x-\text{sin}x=p$ egyenletnek van megoldása? $b)$ Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2\text{cos}x+4\text{sin}x}{\text{cos}x+\text{sin}x}=2\text{tg}x+1.}\end{array}$ (13 pont)   II. rész     5. Anna és Balázs szeretnek sakkozni, ezért 100 játszmás páros mérkőzéseket szoktak játszani. Egy játszmának háromféle kimenetele lehet: $A=\{$Anna nyer$\}$, $B=\{$Balázs nyer$\}$, $C=\{$A játszma döntetlenül végződik$\}$. Tegyük fel, hogy az $A$ és a $B$ események valószínűsége a páros mérkőzések során: $P\left(A\right)=\frac{3}{5}p$, $P\left(B\right)={\left(p+\frac{1}{5}\right)}^2$, ahol $p$ valós paraméter. Anna és Balázs azt tervezik, hogy a következő hétvégén 100 játszmás páros mérkőzést játszanak. Egy játszmában a győzelemért egy pont, a döntetlenért fél pont jár, a vereségért a játékos nem kap pontot. $a)$ Mekkora lehet a $p$ paraméter értéke? $b)$ A $p$ paraméter értékétől függően legalább, illetve legfeljebb mekkora lehet a tervezett páros mérkőzés során a két játékos megszerezhető pontjainak várható értéke közötti különbség?  (16 pont)   6. $a)$ Az $ABC$ szabályos háromszög oldalhossza 2 cm. Az $AC$ és a $BC$ oldal felezőpontjaira illeszkedő egyenes a háromszög köré írt körét a $D$, illetve az $E$ pontokban metszi. Legyen a $D$ a $BC$ oldal $F_a$ felezőpontjához közelebbi metszéspont. Határozzuk meg az $F_{a}D$ távolságot. $b)$ Egy szabályos háromszög magassága 10 cm hosszú. Az egyik oldallal párhuzamos egyenes a háromszöget két olyan részre vágja, melyeknek a kerülete egyenlő. $i)$ Mekkora az egyenes távolsága a vele párhuzamos oldaltól? $ii)$ A háromszöget a magassága mentén megforgatjuk. Mekkora a keletkezett két test térfogata?  (16 pont)   7. A haditengerészet tengeralattjáróinak védelme elsőrendű fontosságú feladat, mert a víz alatt számtalan veszély leselkedik ezekre a mélytengeri hajókra. A védettségüket a mozgékonyságukkal lehet leginkább fokozni, ezért kifejlesztettek egy olyan újfajta meghajtást, amely a tengeralattjáró sebességét a lebegésből (álló helyzetből) a $v\left(t\right)=-t^2+8t$ sebességfüggvény szerint változtatja a $0\le t\le 4$ másodpercekben. Itt a pillanatnyi sebességet a képlet szerint $\frac{\text{m}}{\text{s}}$-ban kapjuk. Ezután a sebesség másodpercenként 0,5 $\frac{\text{m}}{\text{s}}$-mal egyenletesen csökken. Egy tengeralattjárót jól védettnek neveznek, ha lebegésből 15 másodperc alatt a hosszánál nagyobb mértékben képes elmozdulni. Tudjuk, hogy az elmozdulásfüggvény $s\left(t\right)$ deriváltja a $v\left(t\right)$ sebességfüggvény. $a)$ Jól védett kategóriába tartozik-e a 170 m hosszú tengeralattjáró? $b)$ Tekintsük az $f\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2+9$ függvény görbéjét a $\left[0;6\right]$ intervallumon. Legyen a görbe egy pontja $P\left(a;y\right)$. Tudjuk, hogy a $P$ pontra illeszkedő $y=mx$ egyenletű egyenes felezi az $f\left(x\right)$ függvény görbéje, az $x=a$ egyenletű egyenes és az $x$ tengely által meghatározott zárt síkidom területét. Adjuk meg $m$ értékét és az egyenes egyenletét.  (16 pont)   8. $a)$ A $4n^4+1$ kifejezés milyen $n$ természetes szám esetén lesz pozitív prímszám? $b)$ Oldjuk meg a természetes számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2a^2{b}^3+10b^3=15a^2+224.}\end{array}$ (16 pont)   9. Adott a koordináta-rendszerben az $x^2+y^2-4x-4y+4=0$ egyenletű kör. $a)$ A zárt körlap a koordináta-rendszer hány darab rácspontját fogja lefedni? $b)$ Húzzunk a körhöz érintőket az első síknegyedben. Ezen érintők közül melyik az, amely a koordináta-tengelyekkel a legkisebb területű háromszöget határozza meg? Írjuk fel az érintő egyenes egyenletét.  (16 pont)