A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. feladat. Miért tér vissza a bumeráng? Ez a feladat a bumerángok működési elvével foglalkozik. Bár a mozgás pontos leírása igen bonyolult, bizonyos egyszerűsítő feltevésekkel élve jól megérthető a bumerángok visszatérésének oka. A feladatban egy szimmetrikus, homogén tömegeloszlású, kereszt alakú bumerángot vizsgálunk (lásd az ábrát). Jelöljük a bumeráng teljes tömegét -mel, karjainak hosszát -rel, karjainak szélességét -val (), a karok vastagsága ezekhez a méretekhez képest elhanyagolható.
A bumerángot eldobjuk úgy, hogy síkja függőleges legyen. A bumeráng szögsebességgel forog a síkjára merőleges szimmetriatengelye körül, s eközben a középpontja vízszintes irányban sebességgel halad. A szárnyakra a mozgás során olyan hidrodinamikai erő hat, amelynek iránya merőleges a szárnyak síkjára, és az ábrán jelölt forgásirány esetén az ábra síkjából kifelé mutat. A szárny egy kicsiny felületű darabkájára ható hidrodinamikai erőt az alakban adhatjuk meg, ahol a levegő szárnyhoz viszonyított (relatív) sebességének a szárny élére merőleges komponense. A együttható értéke arányos a levegő (állandónak tekinthető) sűrűségével, ezen kívül pedig a bumeráng alakjától függ. A feladatban a nehézségi erőt és a közegellenállásból származó disszipációt mindvégig hanyagoljuk el! 1.1. Határozzuk meg a bumerángra ható eredő hidrodinamikai erő egy fordulatra vett időátlagát! A választ , , , és segítségével adjuk meg! 1.2. Számítsuk ki a bumerángra ható eredő forgatónyomaték egy fordulatra vett időátlagát a bumeráng tömegközéppontjára vonatkoztatva! A választ , , , és segítségével adjuk meg! 1.3. Mekkora legyen a bumeráng eldobásakor a arány, hogy a bumeráng középpontja vízszintes síkú körpályán mozogjon? (Tételezzük fel, hogy a bumeráng forgási periódusideje sokkal kisebb a körpályán való mozgás periódusidejénél.) 1.4. Adjuk meg a bumeráng középpontja által leírt pálya sugarát -val és a bumeráng adataival kifejezve. 1.5. Ugyanabból az anyagból két geometriailag hasonló bumerángot készítünk: az egyik a másiknak minden lineáris méretében a felére kicsinyített mása. Hogyan viszonyul a megfelelően eldobott, körpályán mozgó bumerángok pályasugara a két esetben?
2. feladat. Ponttöltés mozgása mágneses monopólus terében 2.A. Mágneses mező a szolenoid vége közelében Ebben a részben egy légmagos, nagyon hosszú, egyenes tekercs (szolenoid) mágneses mezőjét vizsgáljuk az egyik végének közelében. Használjuk az ábrán látható koordináta-rendszert (a szokásos , , koordinátákkal), melynek origója a szolenoid tengelyén (-tengely), a tekercs végére illeszkedő síkban van. A tekercs átmérője , benne állandó erősségű áram folyik, menetsűrűsége (egységnyi hosszra jutó meneteinek száma) .
A szolenoidon kívül, az helyvektorral jellemzett pontban (ahol a helyvektor hossza sokkal kisebb, mint a szolenoid hossza, de ) a mágneses mező indukcióvektora jó közelítéssel a következő alakban adható meg: ami egy mágneses monopólus terével analóg. 2.A.1. Határozzuk meg a tényező értékét , , és univerzális konstansok felhasználásával! Egy igen hosszú, átmérőjű szolenoid menetsűrűsége , benne erősségű áram folyik. Egy másik, ugyanilyen hosszú szolenoid ugyanezen adatai (), és . A vékonyabb szolenoidot hosszának feléig koaxiálisan beledugjuk a másik tekercsbe. 2.A.2. Mekkora erőt fejt ki a vékonyabb szolenoid a vastagabbra? 2.B. Töltött részecske mozgása a tekercs végének közelében Tekintsünk egy töltésű, tömegű töltött részecskét, amely a szolenoid végének közelében mozog. A mágneses mező indukciójának helyfüggésére használjuk mindvégig az egyenlettel megadott monopól-közelítést! A gravitáció hatása ebben a feladatban elhanyagolható. A töltött részecske origóra vonatkoztatott impulzusmomentum-vektora a mozgás során nem marad meg, azonban a összefüggéssel definiált vektor megmaradó mennyiség (itt konstans, pedig az origótól a részecske felé mutató egységvektor). 2.B.1. Adjuk meg a együttható értékét , és konstansok segítségével! Útmutatás: Szükségünk lehet az ún. kifejtési tételre, mely szerint . Megmutatható, hogy általános esetben a részecske a mozgása során olyan térgörbén mozog, amely egy kúppalástra illeszkedik. Ennek a kúppalástnak a csúcsa a koordináta-rendszerünk origójában található. 2.B.2. Írjunk fel egy egyenletet a kúppalást félnyílásszögére a részecske kezdeti impulzusmomentumának nagysága, és segítségével! Tegyük fel, hogy a részecske kezdetben a tengelyen, az origó fölött magasságban helyezkedik el, kezdősebessége , sebessége pedig szöget zár be a iránnyal. 2.B.3. Számítsuk ki, mekkora távolságra közelíti meg a részecske az origót a további mozgása során! A választ és segítségével adjuk meg! 2.B.4. A kezdeti helyzetéből mennyi idő alatt közelíti meg a részecske az origót távolságra? Az eredményt , és felhasználásával adjuk meg. Útmutatás: Vizsgáljuk a részecske gyorsulásának irányát! Belátható, hogy a egyenlet jobb oldalán szereplő második tag az elektromágneses tér impulzusmomentumának felel meg, így a vektor a részecskéből és az elektromágneses térből álló rendszer teljes impulzusnyomatékát jelenti. A kvantumelmélet szerint ennek a teljes impulzusmomentumnak egy tetszőleges irányra (például az irányra) vett vetülete egységekben kvantált. Paul Dirac 1931-ben felvetette, hogy ha létezne valahol az univerzumban egyetlen mágneses monopólus, az magyarázatot adna az elektromos töltés kvantáltságára. 2.B.5. Mekkora lenne ennek a mágneses monopólusnak a póluserőssége? (Póluserősség alatt az összefüggésben szereplő mennyiség -szorosát értjük, ahol a vákuum permeabilitása.) A választ univerzális állandókkal adjuk meg! |