Cím: XIX. Román-Magyar Előolimpia
Füzet: 2016/szeptember, 366 - 368. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. feladat. Miért tér vissza a bumeráng?
Ez a feladat a bumerángok működési elvével foglalkozik. Bár a mozgás pontos leírása igen bonyolult, bizonyos egyszerűsítő feltevésekkel élve jól megérthető a bumerángok visszatérésének oka. A feladatban egy szimmetrikus, homogén tömegeloszlású, kereszt alakú bumerángot vizsgálunk (lásd az ábrát). Jelöljük a bumeráng teljes tömegét m-mel, karjainak hosszát R-rel, karjainak szélességét a-val (a≪R), a karok vastagsága ezekhez a méretekhez képest elhanyagolható.

 
 

A bumerángot eldobjuk úgy, hogy síkja függőleges legyen. A bumeráng ω szögsebességgel forog a síkjára merőleges szimmetriatengelye körül, s eközben a középpontja vízszintes irányban v sebességgel halad. A szárnyakra a mozgás során olyan hidrodinamikai erő hat, amelynek iránya merőleges a szárnyak síkjára, és az ábrán jelölt forgásirány esetén az ábra síkjából kifelé mutat. A szárny egy kicsiny ΔA felületű darabkájára ható hidrodinamikai erőt az
F=γv⊥2ΔA
alakban adhatjuk meg, ahol v⊥ a levegő szárnyhoz viszonyított (relatív) sebességének a szárny élére merőleges komponense. A γ együttható értéke arányos a levegő (állandónak tekinthető) sűrűségével, ezen kívül pedig a bumeráng alakjától függ. A feladatban a nehézségi erőt és a közegellenállásból származó disszipációt mindvégig hanyagoljuk el!
1.1. Határozzuk meg a bumerángra ható eredő hidrodinamikai erő egy fordulatra vett időátlagát! A választ v, ω, R, a és γ segítségével adjuk meg!
1.2. Számítsuk ki a bumerángra ható eredő forgatónyomaték egy fordulatra vett időátlagát a bumeráng tömegközéppontjára vonatkoztatva! A választ v, ω, R, a és γ segítségével adjuk meg!
1.3. Mekkora legyen a bumeráng eldobásakor a v/Rω arány, hogy a bumeráng középpontja vízszintes síkú körpályán mozogjon? (Tételezzük fel, hogy a bumeráng 2π/ω forgási periódusideje sokkal kisebb a körpályán való mozgás periódusidejénél.)
1.4. Adjuk meg a bumeráng középpontja által leírt pálya r sugarát γ-val és a bumeráng adataival kifejezve.
1.5. Ugyanabból az anyagból két geometriailag hasonló bumerángot készítünk: az egyik a másiknak minden lineáris méretében a felére kicsinyített mása. Hogyan viszonyul a megfelelően eldobott, körpályán mozgó bumerángok pályasugara a két esetben?
 
2. feladat. Ponttöltés mozgása mágneses monopólus terében
2.A. Mágneses mező a szolenoid vége közelében
Ebben a részben egy légmagos, nagyon hosszú, egyenes tekercs (szolenoid) mágneses mezőjét vizsgáljuk az egyik végének közelében. Használjuk az ábrán látható koordináta-rendszert (a szokásos z, r, θ koordinátákkal), melynek origója a szolenoid tengelyén (z-tengely), a tekercs végére illeszkedő síkban van. A tekercs átmérője D, benne állandó I erősségű áram folyik, menetsűrűsége (egységnyi hosszra jutó meneteinek száma) n.

 
 

A szolenoidon kívül, az r helyvektorral jellemzett pontban (ahol a helyvektor |r|=r hossza sokkal kisebb, mint a szolenoid hossza, de r≫D) a mágneses mező indukcióvektora jó közelítéssel a következő alakban adható meg:
B(r)=λrr3,(1)
ami egy mágneses monopólus terével analóg.
2.A.1. Határozzuk meg a λ tényező értékét D, I, n és univerzális konstansok felhasználásával!
Egy igen hosszú, D1 átmérőjű szolenoid menetsűrűsége n1, benne I1 erősségű áram folyik. Egy másik, ugyanilyen hosszú szolenoid ugyanezen adatai D2 (D2<D1), n2 és I2. A vékonyabb szolenoidot hosszának feléig koaxiálisan beledugjuk a másik tekercsbe.
2.A.2. Mekkora erőt fejt ki a vékonyabb szolenoid a vastagabbra?
2.B. Töltött részecske mozgása a tekercs végének közelében
Tekintsünk egy Q töltésű, m tömegű töltött részecskét, amely a szolenoid végének közelében mozog. A mágneses mező indukciójának helyfüggésére használjuk mindvégig az (1) egyenlettel megadott monopól-közelítést! A gravitáció hatása ebben a feladatban elhanyagolható.
A töltött részecske origóra vonatkoztatott L impulzusmomentum-vektora a mozgás során nem marad meg, azonban a
J=L+Cer(2)
összefüggéssel definiált J vektor megmaradó mennyiség (itt C konstans, er=r/r pedig az origótól a részecske felé mutató egységvektor).
2.B.1. Adjuk meg a C együttható értékét Q, λ és konstansok segítségével! Útmutatás: Szükségünk lehet az ún. kifejtési tételre, mely szerint a×(b×c)=b(ac)-c(ab).
Megmutatható, hogy általános esetben a részecske a mozgása során olyan térgörbén mozog, amely egy kúppalástra illeszkedik. Ennek a kúppalástnak a csúcsa a koordináta-rendszerünk origójában található.
2.B.2. Írjunk fel egy egyenletet a kúppalást β félnyílásszögére a részecske kezdeti impulzusmomentumának L0 nagysága, Q és λ segítségével!
Tegyük fel, hogy a részecske kezdetben a z tengelyen, az origó fölött r0 magasságban helyezkedik el, kezdősebessége v0, sebessége pedig α0<90∘ szöget zár be a -z iránnyal.
2.B.3. Számítsuk ki, mekkora rmin távolságra közelíti meg a részecske az origót a további mozgása során! A választ r0 és α0 segítségével adjuk meg!
2.B.4. A kezdeti helyzetéből mennyi idő alatt közelíti meg a részecske az origót rmin távolságra? Az eredményt r0, v0 és α0 felhasználásával adjuk meg. Útmutatás: Vizsgáljuk a részecske gyorsulásának irányát!
Belátható, hogy a (2) egyenlet jobb oldalán szereplő második tag az elektromágneses tér impulzusmomentumának felel meg, így a J vektor a részecskéből és az elektromágneses térből álló rendszer teljes impulzusnyomatékát jelenti. A kvantumelmélet szerint ennek a teljes impulzusmomentumnak egy tetszőleges irányra (például az er irányra) vett vetülete ℏ/2 egységekben kvantált. Paul Dirac 1931-ben felvetette, hogy ha létezne valahol az univerzumban egyetlen mágneses monopólus, az magyarázatot adna az elektromos töltés kvantáltságára.
2.B.5. Mekkora lenne ennek a mágneses monopólusnak a póluserőssége? (Póluserősség alatt az (1) összefüggésben szereplő λ mennyiség 4π/μ0-szorosát értjük, ahol μ0 a vákuum permeabilitása.) A választ univerzális állandókkal adjuk meg!