A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.
Első nap 1. feladat. A háromszögnek -nél derékszöge van. Legyen a egyenes azon pontja, amelyre , és az pont és között fekszik. A pontot úgy választjuk, hogy és a szögfelezője. Az pontot úgy választjuk, hogy és az szögfelezője. Legyen a szakasz felezőpontja. Legyen az a pont, amire parallelogramma (ahol és ). Bizonyítsuk be, hogy a , és egyenesek egy ponton mennek át.
2. feladat. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekre egy -es táblázat minden mezőjére az I, M, O betűk valamelyikét tudjuk írni úgy, hogy:
| minden sorban és minden oszlopban a mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva; és |
| minden átlóban, ha az átlóban lévő mezők száma többszöröse, akkor ezen mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva. |
Megjegyzés: Egy -es táblázat sorait és oszlopait természetes módon -től -ig számozhatjuk. Így minden mezőhöz egy pozitív egészekből álló számpár tartozik, ahol . esetén a táblázatnak átlója van, amelyek kétfélék lehetnek. Egy első típusú átló az összes mezőkből áll, amelyekre egy adott konstans, egy második típusú átló pedig az összes mezőkből áll, amelyekre egy adott konstans.
3. feladat. Legyen egy konvex sokszög a síkon. Az csúcsok koordinátái egész számok, és ezek a csúcsok egy körön fekszenek. Legyen a sokszög területe. Adott egy páratlan pozitív egész szám, amire teljesül az, hogy a sokszög minden oldalhosszának a négyzete egy -nel osztható egész szám. Bizonyítsuk be, hogy egy -nel osztható egész szám.
Második nap 4. feladat. Pozitív egészek egy halmazát illatosnak nevezzük, ha legalább eleme van, és minden eleméhez található legalább egy olyan másik eleme, hogy a két elemnek van közös prímosztója. Legyen . Mi a legkisebb olyan pozitív egész érték, amihez található egy nemnegatív egész szám úgy, hogy a | | halmaz illatos?
5. feladat. Felírjuk a táblára az | | egyenletet, ahol mindkét oldalon 2016 lineáris faktor szerepel. Mi az a legkisebb pozitív érték, amelyre teljesül az, hogy elhagyhatunk e közül a 4032 lineáris faktor közül pontosan darabot úgy, hogy mindkét oldalon maradjon legalább egy lineáris faktor, és az adódó egyenletnek ne legyen valós gyöke?
6. feladat. Adott a síkon szakasz úgy, hogy bármely két szakasz keresztezi egymást, és semelyik három szakasznak sincsen közös pontja. Jeromosnak ki kell választania mindegyik szakasznak az egyik végpontját, és oda egy-egy békát elhelyezni úgy, hogy a béka a szakasz másik végpontja felé nézzen. Ezután Jeromos -szer fog tapsolni. Mindegyik tapsolásra minden béka azonnal a szakaszon található következő metszéspontra ugrik. A békák az ugrásirányukat soha nem változtatják meg. Jeromos úgy szeretné elhelyezni a békákat, hogy soha ne legyen két béka azonos időben azonos metszésponton. Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt mindig meg tudja tenni, ha páratlan. Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt soha nem tudja megtenni, ha páros. Az olimpia honlapja: http://www.imo2016.org/. |
|