Cím:	Az 57. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2016/szeptember, 323 - 325. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   Első nap   1. feladat. A $BCF$ háromszögnek $B$-nél derékszöge van. Legyen $A$ a $CF$ egyenes azon pontja, amelyre $FA=FB$, és az $F$ pont $A$ és $C$ között fekszik. A $D$ pontot úgy választjuk, hogy $DA=DC$ és $AC$ a $DAB\sphericalangle$ szögfelezője. Az $E$ pontot úgy választjuk, hogy $EA=ED$ és $AD$ az $EAC\sphericalangle$ szögfelezője. Legyen $M$ a $CF$ szakasz felezőpontja. Legyen $X$ az a pont, amire $AMXE$ parallelogramma (ahol $AM\parallel EX$ és $AE\parallel MX$). Bizonyítsuk be, hogy a $BD$, $FX$ és $ME$ egyenesek egy ponton mennek át.   2. feladat. Határozzuk meg azokat a pozitív egész $n$ számokat, amelyekre egy $n\times n$-es táblázat minden mezőjére az I, M, O betűk valamelyikét tudjuk írni úgy, hogy: $•$ minden sorban és minden oszlopban a mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva; és $•$ minden átlóban, ha az átlóban lévő mezők száma $3$ többszöröse, akkor ezen mezők egyharmadára I, egyharmadára M és egyharmadára O betű van írva. Megjegyzés: Egy $n\times n$-es táblázat sorait és oszlopait természetes módon $1$-től $n$-ig számozhatjuk. Így minden mezőhöz egy pozitív egészekből álló $\left(i\mathrm{,}j\right)$ számpár tartozik, ahol $1\le i\mathrm{,}j\le n$. $n>1$ esetén a táblázatnak $4n-2$ átlója van, amelyek kétfélék lehetnek. Egy első típusú átló az összes $\left(i\mathrm{,}j\right)$ mezőkből áll, amelyekre $i+j$ egy adott konstans, egy második típusú átló pedig az összes $\left(i\mathrm{,}j\right)$ mezőkből áll, amelyekre $i-j$ egy adott konstans.   3. feladat. Legyen $P=A_1{A}_2\text{...}{A}_k$ egy konvex sokszög a síkon. Az $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_k$ csúcsok koordinátái egész számok, és ezek a csúcsok egy körön fekszenek. Legyen $S$ a $P$ sokszög területe. Adott egy $n$ páratlan pozitív egész szám, amire teljesül az, hogy a $P$ sokszög minden oldalhosszának a négyzete egy $n$-nel osztható egész szám. Bizonyítsuk be, hogy $2S$ egy $n$-nel osztható egész szám.   Második nap   4. feladat. Pozitív egészek egy halmazát illatosnak nevezzük, ha legalább $2$ eleme van, és minden eleméhez található legalább egy olyan másik eleme, hogy a két elemnek van közös prímosztója. Legyen $P\left(n\right)=n^2+n+1$. Mi a legkisebb olyan pozitív egész $b$ érték, amihez található egy nemnegatív $a$ egész szám úgy, hogy a $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{P\left(a+1\right)\mathrm{,}P\left(a+2\right)\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}P\left(a+b\right)\right\}}\end{array}$ halmaz illatos?   5. feladat. Felírjuk a táblára az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdots \left(x-2016\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\cdots \left(x-2016\right)}\end{array}$ egyenletet, ahol mindkét oldalon 2016 lineáris faktor szerepel. Mi az a legkisebb pozitív $k$ érték, amelyre teljesül az, hogy elhagyhatunk e közül a 4032 lineáris faktor közül pontosan $k$ darabot úgy, hogy mindkét oldalon maradjon legalább egy lineáris faktor, és az adódó egyenletnek ne legyen valós gyöke?   6. feladat. Adott a síkon $n\ge 2$ szakasz úgy, hogy bármely két szakasz keresztezi egymást, és semelyik három szakasznak sincsen közös pontja. Jeromosnak ki kell választania mindegyik szakasznak az egyik végpontját, és oda egy-egy békát elhelyezni úgy, hogy a béka a szakasz másik végpontja felé nézzen. Ezután Jeromos $\left(n-1\right)$-szer fog tapsolni. Mindegyik tapsolásra minden béka azonnal a szakaszon található következő metszéspontra ugrik. A békák az ugrásirányukat soha nem változtatják meg. Jeromos úgy szeretné elhelyezni a békákat, hogy soha ne legyen két béka azonos időben azonos metszésponton. $\left(a\right)$ Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt mindig meg tudja tenni, ha $n$ páratlan. $\left(b\right)$ Bizonyítsuk be, hogy Jeromos ezt soha nem tudja megtenni, ha $n$ páros. 1Az olimpia honlapja: http://www.imo2016.org/.