Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Gyanó Éva
Füzet:	2016/április, 200 - 201. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy az alábbi kifejezés értéke $x$-től független: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{sin}{}^{2}x\left(\text{sin}{}^{4}x+\text{sin}{}^{2}x+2\right)+\text{cos}{}^{2}x\left(\text{cos}{}^{4}x+\text{cos}{}^{2}x+2\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +\frac{\text{sin}{}^{2}2x}{4}\cdot \left(3\text{sin}{}^{2}x+3\text{cos}{}^{2}x+2\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $b)$ Számológép nélkül adjuk meg a következő kifejezés pontos értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+\text{tg}{137}^{\circ }\right)\left(1+\text{tg}{136}^{\circ }\right)\left(1+\text{tg}{135}^{\circ }\right)\left(1+\text{tg}{134}^{\circ }\right)\mathrm{.}}\end{array}$  (12 pont)   2. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\cdot \text{log}{}_8\left(x-2\right)+2\cdot \text{log}{}_4\left(2x\right)-5^{1-2\text{sin}x}\cdot \text{log}{}_2\left(2x^2-4x\right)=0.}\end{array}$  (13 pont)   3. Egy 305 tagú társaságból elment a nők $a\%$-a, így a társaság létszáma $\frac{a}{b}$%-kal csökkent, ahol $1<b<305$ egész szám. Hány férfi van a társaságban?  (13 pont)   4. Egy konvex sokszög oldalainak a számát megdupláztuk, így átlóinak a száma $400\%$-kal növekedett. $a)$ Hány oldalú az eredeti sokszög? $b)$ Hány százalékkal növekedett a sokszög belső szögeinek összege?  (13 pont)   II. rész     5. Milyen görbén helyezkednek el az $y=x^2+mx+1$ $\left(m\in \text{R}\right)$ parabolák csúcspontjai (tengelypontjai)?  (16 pont)   6. Egy egyetem I. évfolyamán a nappali tagozatos hallgatók 20%-a jelesre vizsgázott analízisből. A levelező tagozaton 30%, míg a távoktatásban 10% volt a jelesek aránya. Az egyes tagozatok létszámáról tudjuk, hogy kétszer annyi távoktatásban részt vevő van, mint levelező, és a nappalisok és a távoktatásban részt vevők száma egyenlő. $a)$ Véletlenszerűen választva egy hallgatót, mekkora az esélye, hogy analízis jegye jeles? $b)$ Ha a véletlenül választott hallgató analízis jegye jeles, akkor mi az esélye, hogy ő nappalis? $c)$ A $b)$-beli feltétel mellett mi az esélye, hogy levelező, illetve távoktatásban szereplő hallgató az illető?  (16 pont)   7. $a)$ Határozzuk meg $n\to \infty$ esetén az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\frac{2n^2+3n-1}{n^2+4}}\end{array}$ sorozat határértékét, s azt az $n$ számot, amelytől kezdve a sorozat elemei a sorozat határértékétől $\frac{1}{200}$-nál kisebb értékkel térnek el. $b)$ Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy $6\mid n^3+5n$, ha $n$ pozitív egész szám.  (16 pont)   8. Az $f\left(x\right)=-x^2+a^2$ $\left(a>0\right)$ függvény görbéjének $x$ tengely fölötti részét körbeforgatjuk az $x$ tengely körül ${360}^{\circ }$-kal. A keletkezett forgástest térfogata az $a$ sugarú gömb térfogatának kétszerese. $a)$ Határozzuk meg az $a$ paraméter értékét. $b)$ Mekkora területű háromszöget vág le a koordinátatengelyekből a függvény $x=\frac{a}{2}$ helyhez tartozó érintője?  (16 pont)   9. Négy egész szám közül az első három egy számtani, az utolsó három egy mértani sorozat három szomszédos eleme. A két középső szám összege 50, a két szélső szám összege 55. Melyik ez a négy szám?  (16 pont)