Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	A Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium matematika munkaközössége
Füzet:	2016/március, 131 - 132. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $A=\left\{\mathrm{1,2,3,4}\right\}$, $B=\left\{\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$. $a)$ Hány $f:A\to B$ függvény létezik? $b)$ Ezek közül hány olyan van, amely szigorúan monoton növő? $c)$ Az $a)$ pontban tekintett összes függvény között hány olyan van, amelynek értékkészlete pontosan három elemet tartalmaz?  (12 pont)   2. $a)$ Osszuk fel az 1-et négy nemnegatív részre úgy, hogy a részek számtani sorozatot alkossanak. Milyen nagy lehet a sorozat differenciája? $b)$ Osszuk fel az 1-et négy részre úgy, hogy a részek 2 hányadosú mértani sorozatot alkossanak. Mennyi a sorozat első eleme? $c)$ Osszuk fel az 1-et négy részre úgy, hogy a részek mértani sorozatot alkossanak. Milyen nagy lehet a sorozat hányadosa?  (12 pont)   3. Adjuk meg az $f\left(x\right)=x+\sqrt[]{x^2-4}$ függvény értelmezési tartományát és értékkészletét.  (13 pont)   4. Keressük meg az alábbi függvény minimumhelyét: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt[]{a^2+x^2}+\sqrt[]{{\left(b-x\right)}^2+c^2}\mathrm{,}\text{ahol}a\mathrm{,}b\mathrm{,}c\mathrm{,}x\in {\text{R}}^{+}\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   II. rész     5. Adjunk meg 13 darab pozitív egész számot úgy, hogy a mediánjuk $2$, az átlaguk $2000$ legyen. Létezik-e ilyen sokaság, ha azt is megköveteljük, hogy egyetlen módusza legyen, aminek értéke $a)$ $1$; $b)$ $2$; $c)$ $1514$; $d)$ $6000$? $e)$ Mennyi lehet maximum a módusz?  (14 pont)     6. Egy gyalogos a hóval borított mező $A$ pontjában van, $3$ kilométernyire a $BC$ egyenes úttól (az ábrán $AB=3$ km, $BC=10$ km).     Az országúton a gyalogos kétszer akkora sebességgel halad, mint a hómezőn. Mely $D$ pontban kell kimennie a gyalogosnak az útra, hogy a legrövidebb idő alatt jusson $C$-be?  (16 pont)   7. Egy társaságban öt ember találkozott, jelölje őket $A$, $B$, $C$, $D$, $E$. Köztük az ismeretségek kölcsönösek. Megkérdeztük őket, kinek hány ismerőse van ötük között. $A$ azt mondta, négy embert ismer. $C$-ről kiderült, hogy ugyanannyi ismerőse van, mint $D$-nek. $D$ azt mondta, hogy eggyel kevesebb ismerőse van, mint $E$-nek. $E$ ismerőseinek száma páratlan. $a)$ Hány embert ismer $D$? $b)$ Ismerheti-e egymást $B$ és $D$? $c)$ Ismerheti-e egymást $C$ és $D$?  (16 pont)   8. Jelölje $k$ az $x^2+y^2-25x-48y+576=0$ egyenletű kört. Határozzuk meg $k$ minden olyan érintő egyenesének egyenletét, amelyre teljesül, hogy az $y$ tengely és a $k$ kör közé eső szakaszának hossza $9\mathrm{,}375$ egység.  (16 pont)   9. Három egymás utáni pozitív egész szám szorzatának prímtényezős felbontásában csak két különböző prímszám szerepel (tehát a szorzat $p^n{q}^m$ alakú, ahol $p$ és $q$ prímszám, $n$, $m$ pozitív egészek). Adjuk meg az összes ilyen számhármast.  (16 pont)