Cím: Jelentés a 2015. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Füzet: 2016/február, 66 - 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bolyai János Matematikai Társulat a 2015. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 9-én, 14 órai kezdettel rendezte meg a következő huszonkét helyszínen: Békéscsaba, Bonyhád, Budapest, Csíkszereda, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Kolozsvár, Miskolc, Nagykanizsa, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szombathely, Tatabánya, Veszprém és Zalaegerszeg.
A Társulat elnöksége a verseny lebonyolítására az alábbi bizottságot kérte fel: Biró András, Fleiner Tamás (elnök), Frenkel Péter, Kós Géza, Maga Péter, Pach Péter Pál (titkár), Pelikán József. A bizottság szeptember 11-i ülésén a következő feladatokat tűzte ki:

 
1. Vívásban az nyer egy asszót, aki hamarabb ér el 15 találatot. Tegyük fel, hogy A és B küzdelmében (az asszón belül bármikor) p valószínűséggel A, q=1-p valószínűséggel pedig B szerzi meg a következő találatot. (Ketten egyszerre sosem érnek el találatot.)
Tegyük fel, hogy egy asszóban A már 14-k, B pedig 14-ℓ találatot szerzett (ahol k és ℓ nemnegatív, 15-nél kisebb egészek), és A újabb találatot ér el. Mennyivel növekedett ezáltal annak a valószínűsége, hogy A nyeri végül az asszót?
 
2. A D pont az ABC háromszög AB oldalán, az I pont pedig az ACB szög felezőjének a háromszög belsejébe eső szakaszán helyezkedik el. Az AI és a CI egyenesek az ACD kört másodszor rendre a P és Q pontokban metszik. Hasonlóan, a BI és a CI egyenesek a BCD kört másodszor rendre az R és S pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy ha P≠Q és R≠S, akkor az AB, PQ és RS egyenesek vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak egymással.
 
3. Legyen Q az olyan n tagú sorozatok halmaza, amelyeknek minden tagja 0 vagy 1. Legyen A a Q-nak egy 2n-1 elemű részhalmaza. Mutassuk meg, hogy legalább 2n-1 olyan (a,b) pár van, amelyre a∈A, b∈Q∖A, továbbá az a és b sorozatok csak egyetlen tagban térnek el egymástól.
 

A bizottság a beérkezett dolgozatok átnézése után, november 27-i ülésén a következő jelentést fogadta el:
,,A verseny minden helyszínen rendben zajlott le. Budapesten a megjelent 56-ból 54, míg a további helyszíneken összesen 40 versenyző adott be dolgozatot.
Az idei versenyen az első feladat bizonyult a legkönnyebbnek: számos versenyző helyesen oldotta meg. A második feladatra tíz lényegében helyes megoldás érkezett, míg a harmadik feladatban bár többen értek el részeredményt, a megoldás közvetlen közelébe mindössze hét versenyző jutott el.
Idén a bizottság első díjat nem adott ki. Egyetlen versenyző oldotta meg a második és a harmadik feladatot is és ért el emellett részeredményt az első feladatban. Ezért a teljesítményéért
II. díjban és 20 000 Ft pénzjutalomban részesül
Szabó Barnabás, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Gyenes Zoltán, Kiss Géza, Surányi László, Dobos Sándor és Pósa Lajos).
Hét versenyző az első feladat helyes megoldása mellett lényegében helyesen oldotta meg a második vagy a harmadik feladatot. Ezért
III. díjban és fejenként 15 000 Ft pénzjutalomban részesül
Baran Zsuzsanna, a Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Tóth Mariann, Lakatos Tibor, Pósa Lajos és Dobos Sándor),
Fehér Zsombor, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium érettségizett tanulója, jelenleg az ELTE matematika BSc szak hallgatója (tanárai Dobos Sándor, Kiss Gergely, Pósa Lajos és Surányi László),
Gáspár Attila, a miskolci Földes Ferenc Gimnázium 10. osztályos tanulója (tanárai Kovács Attiláné, Győry Ákos és Marosszéky Gábor),
Lajkó Kálmán, a szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Schultz János és Mike János),
Matolcsi Dávid, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 9. osztályos tanulója (tanárai Dobos Sándor, Kiss Géza és Kiss Gergely),
Molnár-Sáska Zoltán, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 10. osztályos tanulója (tanárai Hujter Bálint, Gyenes Zoltán és Pósa Lajos) és
Nagy Kartal, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Gyenes Zoltán, Kiss Géza, Surányi László, Dobos Sándor és Pósa Lajos).
Három további versenyző akadt, aki az első feladat helyes (vagy lényegében helyes) megoldása mellett a második vagy a harmadik feladatban is a megoldás közelébe jutott. Ennek megfelelően
Dicséretet és fejenként 8 000 Ft pénzjutalmat kap
Almási Péter, a Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium érettségizett tanulója, jelenleg a BME mérnök-informatikus hallgatója (tanárai Remeténé Orvos Viola, Balázs Tivadar és Pósa Lajos),
Keresztfalvi Bálint, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 10. osztályos tanulója (tanárai Hujter Bálint és Gyenes Zoltán), valamint
Kovács Benedek, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Fazakas Tünde, Dobos Sándor és Pósa Lajos).
 
A versenybizottság ezúton köszöni meg minden versenyző és felkészítő tanár munkáját, a díjazottaknak pedig további sikereket kívánva szívből gratulál.''