Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Koncz Levente
Füzet:	2016/január, 11 - 13. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Ágoston és Benedek egy-egy marék kavicsot tartanak a kezükben. Ha Benedek a sajátjai közül 10 kavicsot átadna Ágostonnak, akkor a kezükben tartott kavicsok számának szorzata 150-nel csökkenne. Ha Benedek nem 10, hanem 20 kavicsot adna át Ágostonnak, akkor a kezükben tartott kavicsok számának szorzata a harmadára csökkenne. Hány kavicsot tartottak a kezükben kezdetben?   (12 pont)   2. Határozzuk meg az $x$ értékét úgy, hogy az $x^2+x-2$, az $2x^2+x+3$ és a $4x^2-12$ kifejezések értéke ebben a sorrendben egy $a)$ számtani; $b)$ mértani sorozat három egymást követő tagja legyen.  (13 pont)   3. $a)$ Legyen $a$ és $b$ egy-egy olyan egész szám, amelyeket véletlenszerűen választunk a $\left[-10;10\right]$ intervallumból. Mekkora a valószínűsége, hogy az $y=ax+b$ egyenletű egyenes áthalad a $P\left(2;6\right)$ ponton? $b)$ Legyen $G$ egy hétpontú teljes gráf, csúcsai $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, $U$ és $V$. Hány olyan négypontú köre van $G$-nek, amely $P$ és $Q$ közül legalább az egyik csúcson áthalad?  (13 pont)   4. $a)$ Mi lehet az alapszáma annak a számrendszernek, melyben teljesül az alábbi egyenlőtlenség? $\begin{array}{c}{\displaystyle 1410<1254+135.}\end{array}$ $b)$ Egy $n$ elemű halmaznak feleannyi 7 elemű részhalmaza van, mint 8 elemű. Határozzuk meg az $n$ értékét.  (13 pont)   II. rész     5. Három testvér betér egy fagylaltozóba. Nyolcféle fagylalt kapható: citrom, csokoládé, eper, karamell, meggy, puncs, sárgabarack és vanília. (Az alábbi kérdéseknél a gombócok sorrendjétől minden esetben eltekintünk.) $a)$ Tünde három különböző ízű gombócot szeretne kérni. A puncsot nem szereti, ezért azt biztosan nem kér, a citrom viszont a kedvence, ha van, azt sosem mulasztja el. Hányféleképpen választhat Tünde? $b)$ Viola is háromgombócos fagyit eszik, de csak a csokoládét, a karamellt, a puncsot és a vaníliát szereti. Hányféleképpen választhat Viola, ha egy-egy ízből akár több gombóccal is ehet? $c)$ Zolinak mindegy, mit kap, ezért csak annyit mond a fagylaltosnak, hogy három különböző ízt szeretne. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a három gombóc közül pontosan kettő gyümölcsízű (citrom, eper, meggy vagy sárgabarack) lesz? (A fagylaltos a három gombóc ízét egymástól függetlenül, véletlenszerűen választja ki.) $d)$ Egy jó közelítéssel forgáskúp alakú tölcsér alapkörének belső átmérője 58 mm, magassága 83 mm. Hány dkg 0,6 g/cm${}^3$ sűrűségű fagylalt fér ebbe a tölcsérbe, ha színültig töltjük?  (16 pont)   6. Egy 20 cm sugarú körbe írt $ABC$ hegyesszögű háromszög két oldala $AC=34$ cm és $BC=30$ cm. $a)$ Határozzuk meg a háromszög $AB$ oldalának hosszát. $b)$ Határozzuk meg a háromszög $B$ csúcsához tartozó szögfelezőjének és súlyvonalának hosszát.  (16 pont)   7. Van hatféle számkártyánk, mindegyikből 1-1 darab: 1, 2, 3, 4, 5, 6. A kártyákat véletlenszerűen sorba rendezve hatjegyű számokat képezünk. $a)$ Igazoljuk, hogy $\frac{4}{15}$ annak a valószínűsége, hogy az így kapott szám osztható lesz 12-vel. $b)$ Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az így kapott szám a 6-os számjeggyel kezdődik, feltéve, hogy 12-vel osztható. $c)$ Egy papírlapra felírjuk a számkártyákból képezhető összes lehetséges hatjegyű számot. Határozzuk meg a papírlapra felírt számok mediánját.  (16 pont)   8. Gyurta Dániel 2009-ben, Rómában szerezte első világbajnoki aranyérmét a 200 méteres mellúszásban. Győztes ideje 2:07.64 volt (2 perc 7 másodperc 64 századmásodperc). Egyetlen századmásodperccel előzte meg az amerikai Eric Shanteau-t. $a)$ Határozzuk meg Gyurta Dániel átlagsebességét a teljes távon. A választ km/h-ban, egy tizedesjegy pontossággal adjuk meg. $b)$ Az úszók rendszerint gyorsabbak a táv elején. Gyurta Dániel a második 100 métert 1:05.50 alatt tette meg. Ezen belül az utolsó 50 méter megtételéhez 10 századmásodperccel több időre volt szüksége, mint a megelőző 50 méter megtételéhez. Határozzuk meg Gyurta Dániel idejét az utolsó 50 méteren. $c)$ Eric Shanteau az első 100 métert 1:01.22, a második 100 métert 1:06.43 alatt tette meg. Gyurta Dániel célba érkezésekor az amerikai úszónak még hány centiméter volt hátra a teljes távból? (Tételezzük fel, hogy a második 100 métert egyenletes tempóban tette meg a versenyző.) A választ egy tizedesjegy pontossággal adjuk meg. $d)$ Hugó, Hanna és Ödön, a három testvér ugyanabba az uszodába járnak úszóedzésre. Hugó (a legkisebb) a 20 méteres, Hanna a $33\frac{1}{3}$ méteres, Ödön az 50 méteres medencében edz. Az egyik edzésen Hanna néggyel több hosszt úszott, mint Ödön, Hugó pedig néggyel több hosszt úszott, mint Hanna. A Hugó, Hanna és Ödön által leúszott távolságok (ebben a sorrendben) egy növekvő számtani sorozat szomszédos tagjai. Határozzuk meg mindhárom gyerek esetén az edzésen általa leúszott távolságot.  (16 pont)   9. Egy duatlon verseny rajtja egy egyenes tengerparton van, célja a vízben. Egyik lehetőség a táv teljesítésére, hogy először 4 km-t fut a versenyző a parton, majd 90 fokkal elfordulva 1 km-t úszik a tengerben. Azonban megengedett bármikor letérni a futópályáról és úszni kezdeni a cél felé. $a)$ Mennyi idő alatt ér célba Dénes, akinek a tengerparti homokban futva 8 km/h, a vízben úszva 1,5 km/h a sebessége, és 3,5 km lefutása után kezd el úszni a cél felé? $b)$ Juli sebessége futva 6 km/h, úszva 2 km/h. A 4 km-es futópálya vége előtt hány méterrel érdemes úszni kezdenie ahhoz, hogy a lehető leggyorsabban teljesítse a távot? Mekkora ez az idő?  (16 pont)