Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Székely Péter
Füzet:	2015/november, 459 - 461. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Milyen $\alpha$ valós paraméter esetén lesz a következő egyenletnek egy megoldása? $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2\text{cos}\alpha +x+\frac{1}{2}\text{sin}\alpha }{x^2-\frac{1}{2}}=0.}\end{array}$  (11 pont)   2. Óvodás korú kisöcsénk a játék rulett-zsetonokat használja toronyépítésre. Az első korongoszlop mellé magasabbat állít, majd a következőket ugyanannyival növeli, mint a korábbiakat. Így egy lépcsős toronysorozatot hoz létre mackójának. $a)$ Milyen sorozatot alkotnak a tornyok magasságai? $b)$ Az első toronytól kezdve csoportosítsuk a tornyokat hármasával. Igazoljuk, hogy a hármas csoportokban szereplő tornyok magasságainak összege számtani sorozatot alkot. $c)$ A sorba rendezett tornyok elejéről kisöcsénk elvett $n$ darab tornyot, majd megszámoltatta velünk, hogy hány zsetonja van összesen. Ezután elvett még $n$ db tornyot, s ismét megkérdezte, hogy az előzővel együtt most hány zsetonja is van. Ebből a két adatból meg tudnánk-e mondani, hogy még $n$ tornyot elvéve, hány zsetonunk is lesz az előzőkkel együtt?  (12 pont)   3. Az $A$ halmaz elemei olyan 100-nál kisebb pozitív $a$ egészek, melyekre $\text{sin}\left(a\cdot {10}^{\circ }\right)=0\mathrm{,}5$. A $B$ halmaz elemei a 100-nál kisebb hattal osztható természetes számok. $a)$ $|A|=?|B|=?$ $b)$ Definiáljuk a $C$ halmazt a következőképpen: $C:=\left\{1;2;3;6;A\right\}$, ahol az $A$ halmaz a $C$ eleme. $|C\setminus B|=?$ $c)$ Hány páros elemű részhalmaza van $C$-nek?  (14 pont)   4. A Balaton valósághű modelljét szeretnénk elkészíteni. Az adatok szerint a Balaton hossza 77 km, felszíne 594 km${}^2$, átlagos mélysége 3,6 m, legmélyebb pontja 11 m. $a)$ Hány centiméter mélyen lesz a modellünk legmélyebb pontja a felszínhez képest, ha annak hossza a terepasztalon 1 m? $b)$ Mennyi a modellünk léptéke (méretaránya)? $c)$ Hány centiliter víz kell a modellhez, ha azt valóban vízzel szeretnénk feltölteni? $d)$ A Balatont egy helikopterről fentről is megtekintjük, hogy lássuk, mennyire hasonlít a modellünkre. A tó két legtávolabbi, egymástól 77 km-re lévő pontját nézzük hossztengelyére merőlegesen, középpontja felé repülve. 4 km távolságban, 900 m magasról mekkora szögben látjuk a tavat?  (14 pont)   II. rész   5. Egy bank a következő ajánlattal kívánja ügyfelei körét bővíteni: aki a megadott határidőig pénzét áthozza a fiókba fél éves lekötéssel, az első hat hónapban évi 5% kamatot kap. Az apró betűs részt elolvasva megtudhatjuk, hogy fél év után havi lekötéssel, évi 1,5% kamattal marad a fiókban a pénzünk. (A havi lekötés azt jelenti, hogy amennyiben előbb vesszük ki a pénzünket, a teljes kamatot elveszítjük a csonka hónapra.) 1 millió forintot teszünk be a bankba. Ezen feltételek ismeretében válaszoljunk a következő kérdésekre. $a)$ Mennyi pénzünk lesz fél év múlva? $b)$ Mennyit kamatozott egy év alatt a betett 1 millió forintunk? $c)$ Korábbi bankfiókunkban hagyva a pénzünket évi 2%-os a kamatot kapnánk havi lekötés mellett. Legfeljebb mennyi időre éri meg áthozni a pénzünket az új helyre?  (16 pont)   6. Ugorjunk másfél évet. Az egyetemek új előírása miatt a 2017-es érettségin igen sokan választották a matematikát emelt szinten. 10%-uknak 90% feletti lett az eredménye. $a)$ Az emelt szinten érettségiző diákok közül véletlenszerűen megkérdezve 10-et mekkora annak az esélye, hogy közülük pontosan ketten 90% feletti érettségit tettek? $b)$ Internetes felmérésen 100 diákot kérdeztek meg véletlenszerűen az emelt szinten érettségizők közül. Mekkora a valószínűsége, hogy legfeljebb 2-en vizsgáztak 90% feletti eredménnyel? És annak, hogy a 100 megkérdezett diákból legfeljebb ketten vannak azok, akiknek nem sikerült 90% felett az eredményük? $c)$ (Az emelt szinten túlmutató kérdés.) Az OH statisztikájában kutakodunk. A 40 000 emelt szintű vizsgázó eredményét tekintve 90%-os biztonsággal hány 90% feletti eredményes vizsgázóra számíthatunk?  (16 pont)   7. Adott a valós számok halmazán értelmezett $f$ függvény: $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\mapsto \frac{x}{1-|x|}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Ábrázoljuk a függvényt a $\left]-1;2\right]\setminus \left\{1\right\}$ intervallumon. $b)$ Adott a $g\left(x\right)=2x$ függvény. Mi lesz az $f\circ g$ függvény értékkészlete a $\left]-1;2\right]$ intervallumon? $c)$ Határozzuk meg az $f$ függvény inverzét a $\left]-1;1\right[$ intervallumon, s ábrázoljuk az $f^{-1}$ függvényt.  (16 pont)   8. Lakásunk nappali szobája hatszög alakú, melynek oldalai rendre $AB=3\mathrm{,}4$, $BC=2\mathrm{,}3$, $CD=2\mathrm{,}3$, $DE=2\mathrm{,}3$, $EF=3\mathrm{,}4$, valamint $FA=3\mathrm{,}7$ méteresek. Az $AB$ és a $BC$, valamint az $DE$ és az $EF$ oldalak merőlegesek egymásra. A szoba parkettázásához szeretnénk megállapítani az alapterületét, melyet kétféleképpen teszünk meg. Mi megmérjük a szoba $AD$ átlóját, melyet 4,8 méteresnek találunk, míg fiaink a szoba $F$ csúcsánál lévő szöget határozzák meg, melyet ${120}^{\circ }$-nak mérnek. A hosszúságot 5 cm-es pontossággal, míg a szöget $5^{\circ }$-os pontossággal tudjuk eszközeinkkel megmondani. $a)$ A szög vagy a hosszúság relatív hibája nagyobb? $b)$ Mekkorák a területek a két esetben? $c)$ Mennyire pontosan ismerjük a két esetben az $AD$ átlót? $d)$ Melyik mérést fogadjuk el inkább?  (16 pont)   9. A mérnökök egy gépkocsi mozgását figyelték műszerek segítségével négy másodpercen át. A pillanatnyi sebességek (m/s-ban) mért adataira a számítógép a következő függvényt illesztette: $\begin{array}{c}{\displaystyle v\left(t\right)=2\mathrm{,}5t^3-16t^2+33t+5.}\end{array}$ $a)$ Mekkora sebességre gyorsult fel az autó az első másodperc végére? $b)$ A sebességváltás pillanatában nem gyorsult az autó. Mikor volt ez? $c)$ A gépkocsi pillanatnyi fogyasztását (centiliterben mérve) a következő függvény írja le: $\begin{array}{c}{\displaystyle F\left(t\right)=2\cdot {10}^{-2}\cdot \left(v\text{'}\left(t\right)+50t\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Hány centiliter üzemanyag fogyott az első két másodperc alatt?  (16 pont)