Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Lorántfy László
Füzet:	2015/február, 72 - 73. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Számítsuk ki az A kifejezés pontos értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle A={\left(\sqrt[]{\frac{4-2\sqrt[]{3}}{4+2\sqrt[]{3}}}+\sqrt[]{\frac{5-2\sqrt[]{6}}{5+2\sqrt[]{6}}}\right)}^{-2}\cdot {\left(14-\sqrt[]{12}-\sqrt[]{96}\right)}^2\cdot {\left(\frac{2^2}{2015}\right)}^{-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (11 pont)   2. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig 25 játszmát fejeztek be, és mindenkinek még hátravan 4 játszmája. Hány sakkozó vesz részt a versenyen?  (12 pont)   3. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{625}^x-{81}^x}{{375}^x+{135}^x}=\frac{2}{\sqrt[]{15}}\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   4. Egy egyenlő szárú háromszög súlypontja illeszkedik a háromszög beírható körére. Mekkorák a háromszög szögei? Bizonyítsuk be, hogy a beírt kör szárakon lévő két érintési pontja és a szárak közös végpontja három egyenlő részre osztja a háromszög kerületét.  (14 pont)   II. rész     5. Vizsgáljuk meg az alábbi egyenlet megoldhatóságát az $m$ paraméter függvényében: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}{}^{2}x+\text{ctg}{}^{2}x+2\text{sin}{}^{2}x+2\text{cos}{}^{2}x+3m^2=4m\left(\text{tg}x+\text{ctg}x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   6. A teafűből a forró vízben a kellemes ízeket adó anyagok gyorsabban kioldódnak, mint a káros csersavak. Előfordul, hogy a teafüvet véletlenül hosszabb ideig hagyjuk a vízben, mint szükséges lenne, ilyenkor a csersavaktól keserű lesz a tea. Az időt percekben mérve, a $t\in \left[\mathrm{0,30}\right]$ intervallumon közelítsük a percenként kioldódó csersav mennyiségét a $v\left(t\right)=-t^3+25t^2+150t$ függvénnyel. Hány százalékkal több csersav oldódik ki a teafűből, ha a szükséges 5 perc helyett 10 vagy 15 percig benne felejtjük a filtert a vízben?  (16 pont)   7. Egyik lapjára állított 18 cm élhosszúságú kockából kiindulva bonbonos dobozt tervezünk. Az alap és fedőlap oldalfelező pontjait összekötjük a szemközti lap közelebbi csúcsaival, az ábrának megfelelően. A keletkező háromszög alapú gúlákat elhagyjuk a kockából. Az így létrejött testet, a bonbonos dobozt, papírból fogjuk elkészíteni, 30% ragasztási felület, illetve hulladék ráhagyásával. Mennyi papírra lesz szükségünk? Mekkora lesz a doboz térfogata? Mekkora szöget zárnak be a trapéz alakú lapok egymással?  (16 pont)       8. Mekkora szögben látszik az alábbi körök közös húrja az origóból? $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2+y^2+4x-2y-20}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^2+y^2-8x-8y+22}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (16 pont)   9. A zöldséges 1 hetes, 2 hetes és 3 hetes narancsokat árul. Annak a valószínűsége, hogy egy 1 hetes narancs romlott, 0,01. Ez a valószínűség a tapasztalatok szerint hetente megduplázódik. A zöldségesnél jelenleg 25 kg 1 hetes, 17 kg 2 hetes és 6 kg 3 hetes narancs van. A narancsok tömege egyformának tekinthető, 5 db 1 kg. Egyik reggel a pakoláskor összekeveredtek a narancsok. $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott narancs romlott? $b)$ Véletlenszerűen kiválasztottunk egy narancsot, ami jó. Mekkora a valószínűsége, hogy 3 hetes? $c)$ Vettünk 2 kg narancsot. Mekkora a valószínűsége, hogy mind jó? És annak, hogy a fele romlott?  (16 pont)