A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Milyen valós paraméter esetén lesz a következő egyenletnek egy megoldása? (11 pont)
Megoldás. A nevezőben nem állhat nulla, tehát . Egy tört akkor lehet nulla, ha a számlálója nulla, vagyis Ennek a másodfokú egyenletnek akkor lesz pontosan egy megoldása, ha Nem másodfokú az egyenlet, vagyis a másodfokú tag együtthatója nulla. Ekkor , azaz Ekkor melyre | |
Másodfokú az egyenlet (), s ekkor az egyenlet diszkriminánsa nulla. Ebből vagyis adódik. Ennek gyökei , ahol . A paraméter ezen értékei azonban nem felelnek meg a feltételeknek, hiszen esetén , esetén adódik. Tehát az egyenletnek csak esetén lesz egy valós gyöke.
2. Óvodás korú kisöcsénk a játék rulett-zsetonokat használja toronyépítésre. Az első korongoszlop mellé magasabbat állít, majd a következőket ugyanannyival növeli, mint a korábbiakat. Így egy lépcsős toronysorozatot hoz létre mackójának. Milyen sorozatot alkotnak a tornyok magasságai? Az első toronytól kezdve csoportosítsuk a tornyokat hármasával. Igazoljuk, hogy a hármas csoportokban szereplő tornyok magasságainak összege számtani sorozatot alkot. A sorba rendezett tornyok elejéről kisöcsénk elvett darab tornyot, majd megszámoltatta velünk, hogy hány zsetonja van összesen. Ezután elvett még tornyot, s ismét megkérdezte, hogy az előzővel együtt most hány zsetonja is van. Ebből a két adatból meg tudnánk-e mondani, hogy még tornyot elvéve, hány zsetonunk is lesz az előzőkkel együtt? (12 pont)
Megoldás. Mivel a szomszédos tornyok magasságai ugyanannyival növekednek, ezért számtani sorozatot alkotnak. (Ez a számtani sorozat definíciója.) Jelölje az -beli sorozat általános tagját , differenciáját pedig . Ekkor az új sorozat egy általános elemét így írhatjuk fel:
Ebből kiolvasható a számtani sorozat definíciója, a -s állandó növekedés. Vagy igazolhatjuk az állítást a
összefüggéssel is. Legyen
Ekkor amiről látható, hogy éppen az harmada. Tehát .
3. Az halmaz elemei olyan -nál kisebb pozitív egészek, melyekre . A halmaz elemei a -nál kisebb hattal osztható természetes számok. Definiáljuk a halmazt a következőképpen: , ahol az halmaz a eleme. Hány páros elemű részhalmaza van -nek? (14 pont)
Megoldás. A egyenlet megoldásai | | melyekből a 100-nál kisebb értékek a 3, 39, 75, illetve 15, 51, 87. Tehát . A halmaz elemei: . Tehát . , tehát . Az öt elemű halmaznak a páros elemű részhalmazai a 0, 2, illetve 4 eleműek. Ezekből rendre , , van, ami összesen darab.
4. A Balaton valósághű modelljét szeretnénk elkészíteni. Az adatok szerint a Balaton hossza 77 km, felszíne , átlagos mélysége 3,6 m, legmélyebb pontja 11 m. Hány centiméter mélyen lesz a modellünk legmélyebb pontja a felszínhez képest, ha annak hossza a terepasztalon 1 m? Mennyi a modellünk léptéke (méretaránya)? Hány centiliter víz kell a modellhez, ha azt valóban vízzel szeretnénk feltölteni? A Balatont egy helikopterről fentről is megtekintjük, hogy lássuk, mennyire hasonlít a modellünkre. A tó két legtávolabbi, egymástól 77 km-re lévő pontját nézzük hossztengelyére merőlegesen, középpontja felé repülve. 4 km távolságban, 900 m magasról mekkora szögben látjuk a tavat? (14 pont)
Megoldás. A megfelelő hosszúságok arányát felírva | |
Az előző részben felírt megfelelő hosszúságok aránya a hasonlóság aránya: . Tehát a lépték . A Balatonban víz van. A modellben víz van. Legyen a Balaton két legtávolabbi pontja és , a közepe . Az szakaszra merőlegesen érkező helikopter a 0,9 km magasan lévő pontból nézi az távolságot, a pont merőleges vetülete a Balaton síkjára . A feladat az szög meghatározása.
Az derékszögű, így , és így , tehát .
II. rész
5. Egy bank a következő ajánlattal kívánja ügyfelei körét bővíteni: aki a megadott határidőig pénzét áthozza a fiókba fél éves lekötéssel, az első hat hónapban évi kamatot kap. Az apró betűs részt elolvasva megtudhatjuk, hogy fél év után havi lekötéssel, évi 1,5% kamattal marad a fiókban a pénzünk. (A havi lekötés azt jelenti, hogy amennyiben előbb vesszük ki a pénzünket, a teljes kamatot elveszítjük a csonka hónapra.) millió forintot teszünk be a bankba. Ezen feltételek ismeretében válaszoljunk a következő kérdésekre: Mennyi pénzünk lesz fél év múlva? Mennyit kamatozott egy év alatt a betett millió forintunk? Korábbi bankfiókunkban hagyva a pénzünket évi -os a kamatot kapnánk havi lekötés mellett. Legfeljebb mennyi időre éri meg áthozni a pénzünket az új helyre? (16 pont)
Megoldás. Fél év alatt 5% kamattal kell számolni, de nem a teljes évre, csupán feleannyi időre. Így , vagyis egészre kerekítve 1 024 695 Ft-unk lesz. A teljes évre a kamat: | | tehát kb. 3,24% a kamat a teljes évre. (A második félévben már csak 1,5% volt a kamat, így forintunk lett.) A feladat megállapítani, hogy hány évre érdemes áthozni a pénzünket a feltételeknek megfelelően. (Feltételezzük, hogy a két bank egyéb költségei nem különböznek, és így csak a hűségidőn múlik, hogy érdemes-e átmenni egyik bankból a másikba.)
Tehát kb. három és fél évnél kevesebb időtartam esetén megéri áthozni a pénzt az új feltételeknek megfelelően. (Vagyis hosszabb időre nem éri meg áthozni a pénzünket.)
6. Ugorjunk másfél évet. Az egyetemek új előírása miatt a -es érettségin igen sokan választották a matematikát emelt szinten. -uknak feletti lett az eredménye. Az emelt szinten érettségiző diákok közül véletlenszerűen megkérdezve -et mekkora annak az esélye, hogy közülük pontosan ketten feletti érettségit tettek? Internetes felmérésen diákot kérdeztek meg véletlenszerűen az emelt szinten érettségizők közül. Mekkora a valószínűsége, hogy legfeljebb -en vizsgáztak feletti eredménnyel? És annak, hogy a megkérdezett diákból legfeljebb ketten vannak azok, akiknek nem sikerült felett az eredményük? (Az emelt szinten túlmutató kérdés.) Az OH statisztikájában kutakodunk. A emelt szintű vizsgázó eredményét tekintve -os biztonsággal hány feletti eredményes vizsgázóra számíthatunk? (16 pont)
Megoldás. Az érettségizők nagy száma miatt binomiális eloszlással számolhatunk. A visszatevéses urna-modell szerint 0,1 valószínűséggel választhatjuk ki a 90% feletti tanulókat, s a maradék nyolcat 0,9 valószínűséggel. Ezen tanulókat pedig -féleképpen választhatjuk ki. Eszerint | |
Tehát kb. 19,37% annak az esélye, hogy pontosan két 90% feletti eredményű tanulót találunk az adathalmazban.
(A grafikonról jól látszik, hogy a legnagyobb esélye annak lenne, hogy egy tanulót találunk, aki a feltételnek megfelel.) Annak az esélye, hogy legfeljebb két 90% feletti eredményt nyújtó diákot találjunk, azzal egyezik meg, hogy pontosan kettő, vagy pontosan egy, illetve egy ilyen diákot sem találunk a 10 tanuló között.
Tehát annak az esélye, hogy legfeljebb két 90% feletti eredményt író tanulót találunk, kb. 0,19%, közel nulla. (Ez a lenti grafikonon is jól leolvasható, a görbe bal széle.)
Annak az esélye, hogy legfeljebb két olyan diákot találjunk, akiknek nem sikerült 90% felett az érettségijük, megegyezik azzal, hogy 0, 1 vagy 2 ilyen diák van. | |
A feladat szerint nem szeretnénk nagyon hibázni, 90% biztonsággal akarjuk meghatározni azon vizsgázók számát, akik 90%-nál jobban teljesítettek. A kérdés tehát az, hogy legfeljebb hány ilyen tanulóra számíthatunk 90%-os biztonsággal. Az előző grafikonokból is jól látszik, hogy eszerint azt az értéket keressük, melynél kisebb -ekre az oszlopok területe a teljes grafikon területének 90%-a lesz. Ez a számítás binomiális eloszlással legfeljebb számítógép segítségével (pl. GeoGebra ‐ ld. a GEOMATECHoldalán lévő statisztikai feladatokat) lenne elvégezhető, így közelítsük eloszlásunkat normális eloszlással.
Az eloszlás várható értéke , szórása A normális eloszláshoz a görbénket transzformálnunk kell, hogy a jól ismert Gauss-görbét megkapjuk : 1. toljuk el a maximumát az -tengelyhez (-szel való eltolás); 2. alakítsuk úgy át, hogy területe 1 legyen (osszuk -szel ,,belül'', hogy merőleges affinitást hajtsunk végre az -tengely irányában).
Ekkor a görbe alatti integrálás lenne a feladatunk, de ,,szerencsére'' a függvénytáblázat -táblázatát használva visszakereshetjük, hogy milyen abszcisszáig integrálva lenne a görbe alatti terület 0,9:
Tehát elegendő legfeljebb 4 077 tanulót mondani, hogy 90% biztonsággal eltaláljuk, hogy hányan írták meg 90%-nál jobban a dolgozatot.
7. Adott a valós számok halmazán értelmezett függvény: Ábrázoljuk a függvényt a intervallumon. Adott a függvény. Mi lesz az függvény értékkészlete a intervallumon? Határozzuk meg az függvény inverzét a intervallumon, s ábrázoljuk az függvényt. (16 pont)
Megoldás. A függvény ábrázolásához bontsuk fel az abszolútértéket: | |
Ezekről az alakokról jól leolvashatók a függvénytranszformációk. A megfelelő intervallumokon ábrázoljuk a függvényeket (1. ábra).
1. ábra Az függvénytranszformáció egy tengely irányú merőleges affinitásnak felel meg ( tengely irányában történő zsugorítás, 2. ábra).
2. ábra Természetesen ezt is meggondolhatjuk az abszolútérték bontásának segítségével: | |
Ábrázolás nélkül is, az előzőek alapján, látható, hogy a függvény értékkészlete a teljes valós számhalmaz. A függvény a intervallumon kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, így invertálható. esetén: | |
esetén: | |
A vastagon ábrázolt rész a kért intervallumon értelmezett függvény.
8. Lakásunk nappali szobája hatszög alakú, melynek oldalai rendre , , , , , valamint méteresek. Az és a , valamint a és az oldalak merőlegesek egymásra. A szoba parkettázásához szeretnénk megállapítani az alapterületét, melyet kétféleképpen teszünk meg. Mi megmérjük a szoba átlóját, melyet méteresnek találunk, míg fiaink a szoba csúcsánál lévő szöget határozzák meg, melyet -nak mérnek. A hosszúságot 5 cm-es pontossággal, míg a szöget -os pontossággal tudjuk eszközeinkkel megmondani. A szög vagy a hosszúság relatív hibája nagyobb? Mekkorák a területek a két esetben? Mennyire pontosan ismerjük a két esetben az átlót? Melyik mérést fogadjuk el inkább? (16 pont)
Megoldás. Tudjuk, hogy a hosszúság abszolút hibája: m. A relatív hibája: , vagyis közelítőleg 1%. A szög esetén: , , ami 4%. Tehát a szög relatív hibája a nagyobb. Készítsük el a szoba vázlatrajzát. Az ábrán látható oldalt Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki:
Az első esetben a és háromszögek területét két befogójuk segítségével, míg a két belső háromszög területét Heron-képlet segítségével határozhatjuk meg:
A második esetben az szög segítségével határozzuk meg hosszúságát (koszinusz-tétel). Az háromszögben , amiből . | |
Ezután a területeket hasonlóképpen határozhatjuk meg: | |
A hosszmérést cm hibával végezhetjük, ezért , a szöggel való számolásnál 530 cm-t kaptunk, tehát biztosan sokkal pontatlanabb ez az adat. A két esetben ‐ a hibaszámítás tekintetében ‐ azonos műveletsorozatokat hajtunk végre az átlón, így a második esetben nagyobb hibával ismerjük a területet, mint az elsőben.
9. A mérnökök egy gépkocsi mozgását figyelték műszerek segítségével négy másodpercen át. A pillanatnyi sebességek (m/s-ban mért adataira a számítógép a következő függvényt illesztette: Mekkora sebességre gyorsult fel az autó az első másodperc végére? A sebességváltás pillanatában nem gyorsult az autó. Mikor volt ez? A gépkocsi pillanatnyi fogyasztását (centiliterben mérve) a következő függvény írja le: Hány centiliter üzemanyag fogyott az első két másodperc alatt? (16 pont)
Megoldás. Az első másodperc végére | | azaz 88,2 km/h sebességre gyorsult fel. Amikor az autó nem gyorsul, akkor a idő alatti sebességváltozása nulla. Ezek szerint a sebesség deriváltjának nullahelyét keressük. Ennek nullahelyei -nál, illetve -nál vannak. Ekkor nem gyorsult az autó, tehát ekkor lehettek a sebességváltás pillanatai. (Ehhez automata sebességváltót lehet elképzelni, mellyel a Forma-1 pilótái versenyeznek.) A megadott függvény a gépkocsi pillanatnyi fogyasztását adja meg. Az első két másodperc alatt a gépkocsi fogyasztását ennek a függvénynek a intervallumon vett határozott integrálja adja meg.
http://tananyag.geomatech.hu/. |