Cím: A 2013‐2014. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 2014/november, 462 - 465. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. kategória: Szakközépiskolák
Első (iskolai) forduló

1. Oldja meg a valós számok halmazán a 3⋅25x-16x=2⋅20x egyenletet!
 

2. Melyek azok az n∈N számok, amelyekre 22n+2⋅32n+1 prímszám?
 

3. Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza egész szám. Igazolja, hogy a háromszög az egyik csúcsán átmenő két egyenessel három egyenlő területű részre vágható úgy, hogy a kapott részek területének mérőszáma is egész szám!
 

4. Az ABC háromszögben BC=a; CA=b; AB=c hosszúságú és az oldalak hosszaira teljesül, hogy a3+b3=c3. Bizonyítsa be, hogy 60∘<BCA∢<90∘!
 

5. Egy egységnyi oldalú négyzet csúcsai A; B; C; D. Az AB oldal tetszőleges pontja P. A Q pont a BC oldalon van, és PDQ∢=45∘. Mekkora a PBQ háromszög kerülete?
 

6. Egy 5×5-ös táblázat minden sorába és minden oszlopába pontosan egyszer beírtuk az 1, 2, 3, 4, 5 számokat. A táblázatba beírt számok a táblázat egyik átlójára szimmetrikusan helyezkednek el. A feltételeknek megfelelő kitöltés esetén mennyi lehet a táblázat szimmetriaátlójában levő számok összege?
 
Második forduló

1. A 257 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei különbözőek. Ha a számjegyeket fordított sorrendben leírjuk, akkor az eredetinél nagyobb számot kapunk, a 752-t. Hány ilyen tulajdonságú háromjegyű szám van?
 

2. Az a valós paraméter mely értékeire lesz az
|x2-4ax+4a2+1x-2a|+x2-2x-1=0
egyenletnek pontosan egy valós megoldása?
 

3. Messe az AB átmérőjű k1 kört a C és D pontokban az A középpontú k2 kör. A k2 körnek az AB átmérőre eső pontja legyen E! Válasszuk ki a k2 körnek az ABC háromszög belsejébe eső CE körívén az ív egy tetszőleges M belső pontját! A BM egyenes és a k1 kör másik metszéspontját jelöljük N-nel! Bizonyítsa be, hogy MN2=CN⋅DN!
 

4. Milyen a valós paraméter esetén lesz pontosan két valós gyöke a
sin2(x+π3)-(a+2)⋅sin(x+π3)+2a=0
egyenletnek a [0;2π] intervallumban?
 

5. Az ABCD tetraéder belsejében vegyünk fel egy P pontot, majd kössük össze a tetraéder csúcsaival. Az AP; BP; CP és DP egyenesek szemközti oldallapokon lévő döféspontjai rendre: A1; B1; C1 és D1. Bizonyítsa be, hogy
PA1AA1+PB1BB1+PC1CC1+PD1DD1=1!

 
Harmadik (döntő) forduló

1. Az an számsorozat tagjaira teljesül, hogy a0=5, és minden n≥1 pozitív egész számra
an=1+an-11-an-1.
Határozza meg az a2014 szám értékét!
 

2. Az ABCD téglalapban AB=17, BC=8. A P pont a CD oldalon, C-től m hosszúságegységre, a Q pont a CB oldalon, C-től n hosszúságegységre van. Legyen R a P pontból az AB- re húzott merőlegesnek az AB oldalon levő talppontja, legyen továbbá APR∢=α, QAB∢=β. Határozza meg mindazokat a pozitív egészekből álló m;n számpárokat, amelyekre α-β=45∘!
 

3. Egy ABC háromszögben AC=BC=a és ACB∢=90∘. Az AC oldal A-hoz közelebbi harmadolópontja H. Határozza meg az AB oldalon az E, a BC oldalon az F pontot úgy, hogy az EFH háromszög kerülete a lehető legkisebb legyen! Adja meg ennek a minimális kerületnek a nagyságát és a BFFC, illetve BEEA arányok pontos értékét!
 
II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok
Első (iskolai) forduló

1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a p+q, p+q2, p+q3, p+q4 számok mindegyike prím?
 

2. Határozzuk meg, a p valós paraméter mely értékeinél hány megoldása van a következő egyenletnek: ||x-3|-2|-1=p.
 

3. Hány olyan ötjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melyben a jegyek szorzata 50-re végződik?
 

4. Jelölje M a hegyesszögű ABC háromszög magasságpontját. Legyen P, Q és R rendre a BCM, CAM és ABM háromszögek köré írt köreinek középpontja.
(a) Igazoljuk, hogy ABC és PQR egybevágó háromszögek.
(b) Igazoljuk, hogy az AP, BQ és CR egyenesek egy pontra illeszkednek.
 

5. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget:
tg2x-3>1+2⋅tgx.

 
Második forduló

1. Maximum hány egész számot választhatunk ki a J={n∣1<n<121; n∈Z} halmazból úgy, hogy közülük bármely kettő relatív prím legyen, ha egyikük sem lehet prím?
 

2. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
x2+4(xx-2)2=45.
 

3. Tekintsük az összes olyan parabolát, melyek egyenlete y=x2+ax+b, ahol a és b valós számok, továbbá a koordinátatengelyeket három különböző pontban metszik. Bármely parabola esetén ez a három pont meghatároz egy kört. Mutassuk meg, hogy az összes ilyen kör átmegy egy közös ponton.
 

4. Hány darab 150 jegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melynek minden jegye páratlan és bármely két szomszédos számjegy eltérése 2?
 
Harmadik (döntő) forduló

1. Az ABCD négyzet köré írt körön adott a P és Q pont úgy, hogy PAQ∢=45∘, továbbá AP és BC metszi egymást az M, AQ és CD az N pontban. Mutassuk meg, hogy a PQ és az MN szakaszok párhuzamosak.
 

2. Anna és Bori tulipánokat ültetnek egy sorba, n helyre. Ezt a következő játékos formában teszik: felváltva ültetnek egy-egy tulipánt úgy, hogy egymással közvetlenül szomszédos helyekre nem kerülhet tulipán. Anna kezdi a játékot. Az nyer, aki utoljára tud tulipánt ültetni. Kinek van nyerő stratégiája, ha (a) n=2013; (b) n=12?
 

3. Legyenek a1,a2,a3,...,a2014 1-nél kisebb pozitív valós számok, melyek szorzata A, valamint legyen Ai=Aai, i∈{1;2;...;2014}. Bizonyítsuk be, hogy
1<1loga1(a1a2)+1loga2(a2a3)+...+1loga2014(a2014a1)<<1logA1A+1logA2A+...+1logA2014A.

 
III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok
Első (iskolai) forduló

1. A P pont végigfut egy kör félkörnél rövidebb AB ívén. Legyen P' a P-vel átellenes pont a körön. Bizonyítsuk be, hogy AP'⋅BP'-AP⋅BP állandó.
 

2. Hány N pozitív egészre teljesül, hogy N/5 egy egész szám hetedik, N/7 pedig egy egész szám ötödik hatványa?
 

3. Legyen P az ABC szabályos háromszög belső pontja, továbbá A1, B1 és C1 a P pont merőleges vetülete rendre a BC, CA, illetve AB oldalon. Bizonyítsuk be, hogy
AC1⋅BA1+BA1⋅CB1+CB1⋅AC1=C1B⋅A1C+A1C⋅B1A+B1A⋅C1B.
 

4. Adott n ember között hányféle olyan ismeretségi kapcsolatrendszer lehet, hogy mindenki páratlan sok másikat ismer (az ismeretség kölcsönös)?
 

5. Legyenek a1≤a2≤...≤an≤b1≤b2≤...≤bn valós számok. Bizonyítsuk be, hogy
(a1+a2+...+an+b1+b2+...+bn)2≥4n(a1b1+a2b2+...+anbn).

 
Második (döntő) forduló

1. Adott az ABC háromszög. Bocsássunk merőlegest A-ból a B-beli belső szögfelező egyenesre, és B-ből az A-beli belső szögfelező egyenesre. A talppontokat jelölje D, illetve E. Bizonyítsuk be, hogy a DE egyenes a háromszög AC és BC oldalát a beírt kör érintési pontjaiban metszi.
 

2. A p és q pozitív számokra p+q≤1. Igazoljuk, hogy bármely m, n pozitív egészekre (1-pm)n+(1-qn)m≥1.
 

3. Az 1,2,...,20142014 számok közül Aladár és Boglárka felváltva törölnek le egy számot (Aladár kezd), amíg csak két szám marad. Ha a megmaradó két szám összege négyzetszám, akkor Boglárka nyer, egyébként Aladár. Kinek van nyerő stratégiája?