A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Mutassuk meg, hogy nincs olyan valós számpár, amelyre | |
(11 pont)
Megoldás. Az első egyenletből: , . Így az első egyenlet megoldása csak , lehet. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve: Az egyenletrendszernek tehát nincs megoldása.
2. Egy óra számlapja oldalhosszúságú szabályos háromszög. A mutatókat a háromszög középpontjában rögzítették úgy, hogy órakor az egyik csúcs felé mutatnak. Milyen hosszú lehet a nagymutató, ha soha nem nyúlik túl az óra számlapján? Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes mekkora területű részt jelöl ki az óra számlapjából? (12 pont)
Megoldás. A nagymutató nem lehet hosszabb a 20 cm oldalhosszúságú szabályos háromszög beírt körének sugaránál. Mivel az oldalú szabályos háromszög területe: , a kerülete: , most , cm. A ( a beírt kör sugara, a kerület fele) összefüggés szerint: A nagymutató nem lehet hosszabb cm-nél.
A mutatók által kijelölt derékszögű háromszög hasonló a derékszögű háromszöghöz (a szögeik páronként egyenlők). Az szabályos háromszögben a pont egyben a súlypont is, így . Ez lesz a két háromszög hasonlóságának aránya is. Tudjuk, hogy a területek a hasonlóság arányának négyzetével arányosak, ezért | | Három órakor a két mutató által meghatározott két félegyenes 38,5 területű részt jelöl ki az óra számlapjából.
3. Egy egyfordulós röplabdakupán ‐ ahol tehát bármely két csapat pontosan egyszer játszik egymással ‐ lejátszott mérkőzés után még minden csapatnak három mérkőzése volt hátra. Hány csapat szerepelt a kupán? (14 pont)
Megoldás. Legyen a csapatok száma . Az összes mérkőzések száma: . Minden csapatnak még 3 mérkőzése volt hátra, ez összesen mérkőzés. Ezért a lejátszott mérkőzések száma: amiből az másodfokú egyenletet kapjuk. A gyökök: , . A röplabdakupán 10 csapat vett részt.
4. Határozzuk meg az halmazt, ha , . (14 pont)
Megoldás. Megoldjuk a egyenletet. Ez alakra rendezhető, amiből lehetséges értékei: vagy . Vagyis | |
Az feltétel szerint . Vagyis
II. rész 5. A kifejezésben az -mal osztható pozitív páratlan egész számot jelöl. Igazoljuk, hogy a négytagú összeg minden ilyen esetén osztható lesz -nal. A négytagú összeg két tagját véletlenszerűen kiválasztjuk. Mekkora valószínűséggel lesz a két tag összege hárommal osztható? (16 pont)
Megoldás. Alakítsuk át a négytagú kifejezést: | | Legyen , ahol páratlan pozitív egész számot jelöl. Ekkor | | Mivel a kitevők páratlan számok, azért és . A 468 osztható 36-tal, és , ezért a kifejezés osztható -nal. A négytagú összeg két tagját hatféleképpen választhatjuk ki. Mivel a kitevők páratlan számok, azért az összeg osztható lesz az alapok összegével. Az alapok összege a következő hat érték közül kerülhet ki: 24, 25, 31, 29, 35, 36. Ezek közül két szám osztható hárommal, vagyis két esetben biztosan 3-mal osztható az összeg. A további négy esetben nem kaphatunk 3-mal osztható számot, mert a kéttagú összeg egyik tagja osztható 3-mal, a másik pedig nem. Így a keresett valószínűség .
6. Egy háromszögben ismerjük mindhárom oldal hosszát és mindhárom szög nagyságát. Mutassuk meg, hogy ezeket az értékeket az | | képletbe behelyettesítve a háromszög területét kapjuk. (16 pont)
Megoldás. A megadott képletet alakítsuk a következő módon: | | A koszinusz-tételt alkalmazva: . Ugyanígy felírhatjuk és értékét is: | | Vagyis:
Valóban a háromszög területét adja ez a képlet.
7. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett hozzárendeléssel megadott függvénynek három különböző zérushelye van és ezek közül a legnagyobb: . (16 pont)
Megoldás. Tudjuk, hogy mindenütt folytonos függvény. Mivel az függvény zérushelyei a és az , azért itt lehet az eredeti függvénynek lokális szélsőértéke. Ezeken a helyeken az első derivált előjelet vált (pozitívból negatívba, illetve negatívból pozitívba megy át), így az első helyen lokális maximuma, a második helyen lokális minimuma van a függvénynek. Számolással kapjuk, hogy és . Vagyis a intervallumon van zérushelye a függvénynek.
Mivel limx→∞(8x3-6x-1)=∞, azért az ]12;∞[ intervallumon is van zérushelye a függvénynek. Mivel limx→-∞(8x3-6x-1)=-∞, azért a ]-∞;-12[ intervallumon is van zérushelye a függvénynek. Azaz van három különböző zérushelye. Mivel f(0)=-1, azért a középső zérushelyről az is megállapítható, hogy a ]-12;0[ intervallumon található. Ez azt jelenti, hogy két negatív és egy pozitív zérushellyel rendelkezik a függvény. Tudjuk, hogy cosπ9>0, ezért ha az x1=cosπ9 valóban zérushelye a függvénynek, akkor az a három zérushely közül csakis a legnagyobb lehet. A π9 háromszorosa π3, ami nevezetes szög. Tudjuk, hogy cosπ3=12. Alkalmazzuk a cos3α=4cos3α-3cosα összefüggést: Ezt 2-vel szorozva és rendezve kapjuk: Ez pontosan azt jelenti, hogy az f(x)=8x3-6x-1 hozzárendelésű függvénynek az x1=cosπ9 a zérushelye.
8. Egy derékszögű háromszög beírt körének sugara 2, a befogókhoz hozzáírt köreinek sugara 3 és 10. Mekkora az átfogóhoz hozzáírt kör sugara? (16 pont)
Megoldás. Ha elkészítjük az ábrát (és a szokásos jelöléseket használjuk), akkor könnyen igazolható, hogy ϱa=s-b és ϱb=s-a. A két összefüggés összeadásával kapjuk, hogy ϱa+ϱb=c. A megadott adatok szerint: c=13.
Derékszögű háromszög esetén ϱc=s. Ha a háromszög beírt körének a BC oldallal vett érintési pontja és a B csúcs közti távolság x, akkor: (x+2)2+(15-x)2=169, amiből x2-13x+30=0, x1=10, x2=3. Innen a=5, b=12. A derékszögű háromszög mindhárom oldalát ismerve az átfogóhoz hozzáírt kör sugarát kiszámolhatjuk: ϱc=s=5+12+132=15.
Megjegyzés. Általában is megmutathatjuk, hogy derékszögű háromszög esetén: ϱa+ϱb+ϱ=ϱc.
9. Egy pihenőpark használatáért az üzemeltető pénzt szeretne kapni, ezért két lehetőséget dolgoztatott ki. Az első változat szerint lenne 12 órás és 6 órás jegy. A 12 órás jeggyel nyitástól zárásig bent lehet lenni 1000 Ft-ért, a 6 órás jegy ára pedig 600 Ft lenne. A második változat szerint lenne 3 órás jegy 350 Ft-ért, 6 órás jegy 600 Ft-ért, 9 órás jegy 850 Ft-ért és az ezt meghaladó időre szóló jegy 1250 Ft-ért. Megfigyeltek 150 látogatót és a következő gyakoriság adódott:
időtartam (h)0‐11‐22‐33‐44‐55‐66‐77‐88‐99‐1010‐1111‐12gyakoriság (fő)6711182526201615420 a) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel az első változat szerint? b) Mennyi lesz az adatok alapján az egy főre eső átlagos bevétel a második változat szerint? c) Egy harmadik változatban 4, 8 és 12 órás jegyeket lehetne vásárolni, melyek ára arányos lenne az időtartammal. Milyen áron kellene adni ezeket a jegyeket, ha a rendelkezésre álló adatok alapján az egy főre eső átlagos bevételként 700 Ft körüli értéket szeretne kapni az üzemeltető és a jegyek ára 10-zel osztható? (16 pont)
Megoldás. a) Az első változat szerint 20+16+15+4+2+0=57 fő 1000 Ft-os jegyet, és 150-57=93 fő 600 Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: | 57⋅1000+93⋅600150=752(Ftfő). |
b) A második változat szerint 4+2+0=6 fő 1250 Ft-os jegyet, 20+16+15=51 fő 850 Ft-os jegyet, 18+25+26=69 fő 600 Ft-os jegyet és 6+7+11=24 fő 350 Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: | 24⋅350+69⋅600+51⋅850+6⋅1250150=671(Ftfő). |
c) Legyen a 4 órás jegy ára x Ft, ekkor a 8 órásé 2x Ft, a 12 órásé 3x Ft. A megadott adatok alapján 15+4+2+0=21 fő 3x Ft-os jegyet, 25+26+20+16=87 fő 2x Ft-os jegyet és 6+7+11+18=42 fő x Ft-os jegyet vásárolna. Ekkor az egy főre eső átlagos bevétel: | 42⋅x+87⋅2x+21⋅3x150=279x150(Ftfő). | Azt szeretnénk, hogy ez a szám 700 körüli érték legyen, vagyis 279x150=700, amiből x≈376. A jegyek ára kerekítés után lehetne: 380 Ft a 4 órásé, 760 Ft a 8 órásé és 1140 Ft a 12 órásé. |