Cím:	Megoldásvázlatok a 2014/7 sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2014/november, 472 - 480. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. $a)$ Ábrázoljuk derékszögű koordinátarendszerben az $f:x\in \left[-3;13\right[$, $x\mapsto -\sqrt[]{x+3}+5$ függvényt. $b)$ Ábrázoljuk az előzővel azonos koordinátarendszerben a $g:x\in \left[-3;13\right[$, $x\mapsto \left|-\left|x-3\right|+3\right|+2$ függvényt. $c)$ Vizsgáljuk meg a függvényeket szélsőértékek szempontjából. $d)$ A függvényábrák segítségével oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget: $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$.  (11 pont)   Megoldás. $a)$ és $b)$ A függvények képe az ábrán látható.     Az első esetben a $\sqrt[]{x}$ függvény képét megrajzolva, majd a tanult transzformációkat alkalmazva jutottunk a megfelelő képhez: $\sqrt[]{x+3}$, $-\sqrt[]{x+3}$, $-\sqrt[]{x+3}+5$. A második esetben az $\left|x\right|$ függvény képét megrajzolva, majd a tanult transzformációkat alkalmazva jutottunk a megfelelő képhez: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|x-3\right|\mathrm{,}-\left|x-3\right|\mathrm{,}-\left|x-3\right|+\mathrm{3,}\left|-\left|x-3\right|+3\right|\mathrm{,}\left|-\left|x-3\right|+3\right|+2.}\end{array}$ $c)$ Az $f$ függvény esetén abszolút maximumhely az $x=-3$. Az ehhez tartozó maximumérték az $f\left(-3\right)=5$. A $g$ függvény esetén lokális maximumhely az $x=-3$ és az $x=3$. Az ezekhez tartozó lokális maximumérték az $f\left(-3\right)=f\left(3\right)=5$. A $g$ függvény esetén abszolút minimumhely az $x=0$ és az $x=6$. Az ezekhez tartozó minimumérték az $f\left(0\right)=f\left(6\right)=2$. $d)$ Az ábra alapján a $-\sqrt[]{x+3}+5\ge \left|-\left|x-3\right|+3\right|+2$  ($x\in \left[-3;13\right[$) egyenlőtlenség megoldása: $x\in \left\{-3\right\}\cup \left[-2;1\right]\cup \left\{6\right\}$.   2. Tekintsük a következő öt állítást: $A$: Nem létezik olyan pozitív egészekből álló, öttagú számtani sorozat, amelyre igaz, hogy bármely két elemének a legnagyobb közös osztója $1$. $B$: Ha egy síkbeli négyszög húrnégyszög, akkor létezik a síkjában egy olyan pont, amelytől a négyszög minden csúcsa azonos távolságra van. $C$: Egy $n$ elemű halmaz összes részhalmazainak száma $n^2$. $D$: Ha egy $e$ egyenest 2014 db különböző sugarú kör ugyanabban az $E$ pontban érint, akkor e körök középpontjai egy egyenesre illeszkednek. $E$: Ha egy függvény periodikus, akkor képe szimmetrikus az $y$ tengelyre. $a)$ Állapítsuk meg, hogy melyik állítás igaz, és melyik állítás hamis. Indokoljuk válaszainkat. $b)$ Írjuk fel a $B$ és az $E$ állítások megfordítását, és állapítsuk meg az igazságértéküket. $c)$ Fogalmazzuk meg egy mondatban a $B$ állítást és a megfordítását. Igaz-e a kapott állítás? $d)$ Melyik a következő mondatok közül az $E$ állítás tagadása? I. Ha egy függvény nem periodikus, akkor képe szimmetrikus az $y$ tengelyre. II. Van olyan periodikus függvény, melynek képe nem szimmetrikus az $y$ tengelyre.  (12 pont)   Megoldás. $a)$ Az $A$ állítás hamis, ugyanis létezik olyan pozitív egészekből álló öttagú számtani sorozat, amelyre igaz, hogy bármely két elemének a legnagyobb közös osztója 1, például: 7; 13; 19; 25; 31. A $B$ állítás igaz, hiszen ha egy síkbeli négyszög húrnégyszög, akkor definíció szerint létezik olyan körvonal, amely minden csúcsát tartalmazza. Ennek a körvonalnak a középpontja a húrnégyszög minden csúcsától azonos távolságra van. A $C$ állítás hamis, hiszen egy $n$ elemű halmaz összes részhalmazainak száma: $2^n$. A $D$ állítás hamis. Amennyiben az állítás egy, az $e$ egyenest tartalmazó konkrét síkra vonatkozna, akkor igaz lenne, viszont az állítás szövegében semmi nem utal arra, hogy a köröknek egy síkban kellene elhelyezkedniük. Az $E$ állítás hamis. Ellenpélda lehet például a szinusz függvény, amely periodikus, viszont nem páros, tehát képe nem szimmetrikus az $y$ tengelyre. $b)$ A $B$ állítás megfordítása: Ha egy síkbeli négyszög síkjában létezik egy olyan pont, amelytől a négyszög minden csúcsa azonos távolságra van, akkor a négyszög húrnégyszög. A $B$ állítás megfordítása igaz. Az $E$ állítás megfordítása: Ha egy függvény képe szimmetrikus az $y$ tengelyre, akkor a függvény periodikus. Az $E$ állítás megfordítása hamis (nézzük például az $x^2$ függvényt). $c)$ A $B$ állításnak és a megfordításának egy mondatban történő megfogalmazása: Egy síkbeli négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha létezik a síkjában egy olyan pont, amelytől a négyszög minden csúcsa azonos távolságra van. Ez az állítás igaz. $d)$ Az $E$ állítás tagadása a II. mondat. 3. Egy magashegységben meteorológiai kutatóállomás működik. A tereptárgyak pontos helyét térbeli koordinátarendszerbeli koordinátahármasok segítségével tartják nyilván, melynek egységét minden tengelyen 1 méternek választották, és origójában van a kutatóállomás. A koordinátarendszer $x$ tengelye délről észak felé mutat, $y$ tengelye keletről nyugat felé irányul, $z$ tengelye pedig függőleges, és felfelé irányul. A pontok koordinátáit $x$, $y$, $z$ sorrendben adják meg. A környéken három meghatározó hegycsúcs van, melyek koordinátái: $A\left(8200;21;1214\right)$; $B\left(-28;7600;1021\right)$; $C\left(-1200;-4550;900\right)$. $a)$ Melyik hegy van a kutatóállomástól megközelítőleg északi irányban? Milyen emelkedési szög alatt látja ennek a csúcsát a kutatóállomáson tartózkodó megfigyelő? $b)$ Mekkora az $A$, $B$ és a $C$ hegycsúcsok tengerszint feletti magassága, ha a $K\left(5120;-4170;-4752\right)$ pont éppen a tengerszinten található? $c)$ A kutatóállomásról havonta helikopter indul. A személyzet feladata az $A$, $B$ és a $C$ csúcsokon kihelyezett műszerekben az akkumulátorcsere. Mekkora utat tesz meg egy ilyen alkalommal a helikopter, ha a csúcsokat $A$ csúcs, $B$ csúcs, $C$ csúcs sorrendben járja be, majd visszatér a kutatóállomásra?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ A kutatóállomástól az $A$ csúcs található közel északi irányban.     Az ábra jelöléseit használva (ahol $O$ jelöli a kutatóállomást), az $OPT$ derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt: $c=\sqrt[]{{8200}^2+{21}^2}=\sqrt[]{67240441}\approx 8200\mathrm{,}027\text{m}$. Az $OTA$ derékszögű háromszögre a tangens szögfüggvényt alkalmazva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{tg}\alpha =\frac{1214}{8200\mathrm{,}027}\approx 0\mathrm{,}\mathrm{1480,}\text{ebből}\alpha \approx {8\mathrm{,}42}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis az emelkedési szög kb. $8\mathrm{,}{42}^{\circ }$. $b)$ A tengerszint feletti magasságok: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math> csúcs:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4752</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>1214</mn></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">=</mo><mn>5966</mn></math> m;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi></math> csúcs:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4752</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>1021</mn></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">=</mo><mn>5773</mn></math> m;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi></math> csúcs:}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4752</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>900</mn></math>}}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">=</mo><mn>5652</mn></math> m. }}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $c)$ A helikopter által megtett távolság: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle d_{OA}+d_{AB}+d_{BC}+d_{CO}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \sqrt[]{{8200}^2+{21}^2+{1214}^2}+\sqrt[]{{\left(-28-8200\right)}^2+{\left(7600-21\right)}^2+{\left(1021-1214\right)}^2}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\sqrt[]{{\left(-1200+28\right)}^2+{\left(-4550-7600\right)}^2+{\left(900-1021\right)}^2}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\sqrt[]{{\left(-1200\right)}^2+{\left(-4550\right)}^2+{900}^2}\approx 8289\mathrm{,}41+11188\mathrm{,}32+12206\mathrm{,}99+4790\mathrm{,}88=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 36475\mathrm{,}60\text{m.}}\hfill \end{array}}$   4. $a)$ Egy számtani sorozat második eleme $\frac{5\sqrt[]{5}-2}{3}$, differenciája pedig $\sqrt[]{5}+1$. Mekkora az ötödik tag? Mennyi az első kilenc tag összege? $b)$ Ha egy számtani sorozat első tagjából levonunk kettőt, második tagjából levonunk egyet, és a harmadik tagjához hozzáadunk ötöt, akkor egy mértani sorozat első három elemét kapjuk. Melyik ez a számtani sorozat, ha tudjuk, hogy a kapott mértani sorozat első két elemének összege egyenlő az eredeti számtani sorozat harmadik tagjával? $c)$ Számítsuk ki a következő határértéket: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{1}{\sqrt[]{2n+1}-\sqrt[]{n}}\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   Megoldás. $a)$ A sorozat ötödik tagja: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_5=a_2+3\cdot d=\frac{5\sqrt[]{5}-2}{3}+3\cdot \left(\sqrt[]{5}+1\right)=\frac{5\sqrt[]{5}-2+9\cdot \left(\sqrt[]{5}+1\right)}{3}=\frac{14\sqrt[]{5}+7}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Az első kilenc tag összege: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle S_9}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+a_8+a_9=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \left(a_5-4d\right)+\left(a_5-3d\right)+\left(a_5-2d\right)+\left(a_5-d\right)+a_5+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +\left(a_5+d\right)+\left(a_5+2d\right)+\left(a_5+3d\right)+\left(a_5+4d\right)=9a_5=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle 9\cdot \frac{14\sqrt[]{5}+7}{3}=42\sqrt[]{5}+21.}\hfill \end{array}}$ $b)$ A számtani sorozat első három eleme: $a_1$, $a_1+d$, $a_1+2d$. A mértani sorozat első három eleme: $a_1-2$, $a_1+d-1$, $a_1+2d+5$. A mértani sorozat tulajdonsága alapján: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(a_1+d-1\right)}^2}& {\displaystyle =\left(a_1-2\right)\cdot \left(a_1+2d+5\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1^2+d^2+1+2a_{1}d-2a_1-2d}& {\displaystyle =a_1^2+2a_{1}d+5a_1-2a_1-4d-\mathrm{10,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle d^2+2d-5a_1+11}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A szövegből tudjuk: $a_1-2+a_1+d-1=a_1+2d$, $a_1=d+3$. Ezt behelyettesítve az előző egyenletbe: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle d^2+2d-5\left(d+3\right)+11=d^2-3d-4}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A másodfokú egyenlet két megoldása: $d_1=4$, $d_2=-1$. Ezek alapján az első tagra is két értéket kapunk: ${\left(a_1\right)}_1=7$, ${\left(a_1\right)}_2=2$. Az így kapott számtani sorozatok: 7, 11, 15, illetve 2, 1, 0. Ellenőrzés után látható, hogy a feladat szövegének csak a 7, 11, 15 felel meg, ez az egyedüli megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{1}{\sqrt[]{2n+1}-\sqrt[]{n}}}& {\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{\sqrt[]{2n+1}+\sqrt[]{n}}{\left(\sqrt[]{2n+1}-\sqrt[]{n}\right)\left(\sqrt[]{2n+1}+\sqrt[]{n}\right)}=}\hfill & \text{(<mi>*</mi>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{\sqrt[]{2n+1}+\sqrt[]{n}}{n+1}=\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{\sqrt[]{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt[]{\frac{1}{n}}}{1+\frac{1}{n}}=0.}\hfill \end{array}}$   II. rész   5. Az ábrán látható téglalap alakú csempéről tudjuk, hogy $DTA\sphericalangle =CSB\sphericalangle ={90}^{\circ }$, valamint $AT=6\text{cm}$, $TS=14\text{cm}$.     $a)$ Mekkora egy ilyen csempe területe? $b)$ Hány db ilyen csempét kell rendelnünk egy 25 m alapkörsugarú, 2,5 m mély, henger alakú medence kicsempézéséhez, ha a vágások és a törések miatt 15%-os ráhagyás szükséges? (A csempéket csomagokban árusítják, de számításaink során ezzel ne foglalkozzunk.) $c)$ Hány fordulóval képes ezt egy $4$ tonna teherbírású teherautó elhozni, ha egy csempe 5 mm vastag, és anyagának sűrűsége $2520\frac{\text{kg}}{{\text{m}}^3}?$ $d)$ Rendelkezésünkre áll egy olyan szivattyú, amely a 10 cm átmérőjű csövében a vizet $1\frac{\text{m}}{\text{s}}$ sebességgel képes áramoltatni. Mennyi idő alatt tudja majd ez a szivattyú a színültig teletöltött medencét kiüríteni?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Szimmetriai tulajdonságok miatt: