Kezdőlap


Cím:	A hiteltörlesztés legegyszerűbb matematikai modelljei
Szerző(k):	Simonovits András
Füzet:	2014/november, 450 - 457. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Bevezetés

A hitelek a gazdaságban jelentős szerepet játszanak, és matematikai modellezésük sem csupán könyvelőknek való feladat. Különösen nehéz probléma a hosszú távú hitelek (jelzálog-, diákhitelek stb.) tervezése, hiszen az évtizedekre terjedő törlesztési folyamat során nagyon megváltozhat a kiinduló helyzet. Ebben a cikkben röviden bemutatom a hiteltörlesztési folyamat három legegyszerűbb modelljét. 1. A hagyományos modellt, ahol a törlesztési pálya tervezésénél nem veszik figyelembe az inflációt, és a törlesztési részlet időben állandó. 2. Az ún. kettősen indexált jelzálog (angolul: Dual Indexed Mortgage, röviden: DIM) modelljét, ahol az infláció figyelembevétele miatt a törlesztési részlet vásárlóértéke időben állandó. 3. A devizaalapú jelzáloghitel modelljét, amelyben a forinthitel és törlesztése egy árnyékként számolt devizaalapú hitel és törlesztés átváltásából adódik.
A képletek egyszerűsítése miatt kamatláb helyett kamattényezővel (

1 + kamatláb

), inflációs ráta helyett inflációs tényezővel (

1 + inflációs

ráta) számolunk. Ugyanezért eltekintünk a kamatláb, az inflációs ráta és a forint leértékelődés időbeli változásától.

2. Hagyományos hitel

A hiteltörlesztési folyamatot általában folyóáron ‐ az infláció figyelembe vétele nélkül ‐ tervezik a bankok. Legyen

D_{0} > 0

a hitel kezdőértéke,

T > 1

a törlesztési idő és legyen

t = 1,2, ..., T

a hiteltörlesztési időszakok (általában hónap, de itt év) indexe. A

t

-edik időszak (végi) törlesztése

B_{t}

, az időszaki kamattényező (

= 1 + kamatláb

)

R

, és az időszakvégi adósság

D_{t}

.
Definíció szerint igaz a következő azonosság:

\begin{matrix} új adósság = régi adósság + kamat - törlesztés, \end{matrix}

\begin{matrix} D_{t} = R D_{t - 1} - B_{t}, t = 1,2, ..., T - 1, T, D_{0} adott. \end{matrix}

(1)

Figyelem: a köznyelv gyakran kamatnak nevezi a kamatlábat, holott az első

(R - 1) D_{t}

, a második

R - 1

.
Szükségünk lesz a

(B_{t})

törlesztési sorozat jelenértékére, amelyet angol kezdőbetűi nyomán (present value) PV-vel rövidítünk. Definíció szerint a pénzfolyamat jelenértéke az a szám, amelynek megfelelő tőkét elhelyezve a hitel felvételekor a bankban, és a hitelkamatlábbal kamatoztatva az esedékes törlesztésekig, a hitelfelvevő éppen ki tudná fizetni az adósságát.

1. segédtétel. A

(B_{t})

törlesztési sorozat jelenértéke

\begin{matrix} PV = \frac{B_{1}}{R} + \frac{B_{2}}{R^{2}} + \dots + \frac{B_{T}}{R^{T}} . \end{matrix}

(2)

Bizonyítás. Gondoljuk azt, hogy a hitel felvételekor a hitelfelvevő

T

kamatozó bankbetétet képez, és a

t

-edikbe betesz

R^{- t} B_{t}

forintot,

t = 1, ..., T

. A kamatos kamat miatt a

t

-edik időszak végére a

t

-edik betét éppen

B_{t}

-re duzzad, tehát ebből tudja fizetni az esedékes törlesztést. Ha összeadjuk a bankbetétek értékét, adódik (2).

□

Ésszerű feltevés, hogy a hitelérték éppen a törlesztési sorozat jelenértéke:

D_{0} = PV

. A valóságban azonban a kamatlábrés (

= hitelkamatláb - betéti

kamatláb) miatt a hitelkamatláb jóval nagyobb, mint a betéti kamatláb. A jelzáloghitel esetében azonban a kamatlábrés nem túl jelentős.
A hagyományos hitelnél időben változatlan a törlesztés:

B_{t} = B

. Igaz az

1. tétel. A

T

futamidő esetén a

D_{0} > 0

nagyságú hitel időben állandó törlesztőrészlete

\begin{matrix} B = \frac{(R - 1) D_{0}}{1 - R^{- T}}, R > 1. \end{matrix}

(3)

Bizonyítás.

B_{t} = B

esetén (2)-ben alkalmazható a mértani sorozat összegképlete:

\begin{matrix} D_{0} = PV = R^{- 1} \frac{1 - R^{- T}}{1 - R^{- 1}} B . \end{matrix}

Rendezéssel adódik (3).

□

A valóságban a kamattényező idővel változik, s e miatt a bank akár minden időszakban újraszámolhatja az esedékes törlesztési részletet, miközben felteszi, hogy a kamattényező a következőkben már nem változik. Ezzel a fontos bonyodalommal azonban ebben a cikkben nem foglalkozunk.
A következő feladat egy szakemberek által is gyakran figyelmen kívül hagyott jelenségre hívja föl a figyelmet. (Megoldás a cikk végén.)

1. feladat. Jelölje

B (T)

T

futamidőhöz tartozó törlesztést. Igazoljuk, hogy

B (T) = B (2 T) (1 + R^{- T})

, ezért

R > 1

esetén a futamidő megduplázása nem felezi a törlesztőrészletet:

B (2 T) > B (T) / 2

Egyszerűsége miatt érdemes az öröktörlesztést külön is bemutatni.

1. példa. Ha a törlesztési idő végtelen:

T = \infty

, akkor

\begin{matrix} B = (R - 1) D_{0} és D_{t} = D_{0} . \end{matrix}

(

3'

)

Ebből leolvasható, hogy a változatlan törlesztőrészlet a kamattal egyenlő. Az is látszik, hogy nagyobb, például 10%-os éves kamatláb esetén képtelenség² egy 10 mFt-os hitelt törleszteni, hiszen csak az éves kezdőrészlet 1 mFt lenne.

A jelzáloghitel egyik legnagyobb problémája, hogy modern gazdaságban ‐ a válságoktól eltekintve ‐ az általános árszínvonal emelkedése (köznapi nyelven: az infláció) nem hanyagolható el. Ennek vizsgálatában visszatérünk a változó törlesztésű pályához:

(B_{t})

. Legyen az időben állandó inflációs tényező:

p

, és a

t

-edik időszakvégi halmozott árindex:

P_{t} = p^{t}

P_{0} = 1

. Osszuk el az (1) egyenlet mindkét oldalát

P_{t}

-vel:

\begin{matrix} \frac{D_{t}}{P_{t}} = \frac{R}{p} \frac{D_{t - 1}}{P_{t - 1}} - \frac{B_{t}}{P_{t}} . \end{matrix}

(5)

Ezen a ponton bevezetjük a reálkamat-tényezőt, a reáltörlesztést és a reál-adósságállományt:

\begin{matrix} r = \frac{R}{p}, b_{t} = \frac{B_{t}}{P_{t}} és d_{t} = \frac{D_{t}}{P_{t}} . \end{matrix}

(6)

A korábbi változókat nominális jelzővel különböztetjük meg reáltársaiktól. Figyeljük meg, hogy a nominális kamattényezőt az éves inflációs tényezővel osztottuk, a törlesztőrészletet és az adósságot viszont az árszinttel.
(6) segítségével (5) egyszerűsíthető:

\begin{matrix} d_{t} = r d_{t - 1} - b_{t}, t = 1,2, ..., T, d_{0} adott. \end{matrix}

(7)

Szóban: új reáladósság = régi reáladósság + reálkamat ‐ reáltörlesztés.
Kitérőként megemlítjük, hogy rossz hagyományként a közgazdászok a reálkamatlábat gyakran azonosítják a nominális kamatláb és az inflációs ráta különbségével. Ez azonban csak néhány százalékos ráták esetén elfogadható közelítés, amikor

\begin{matrix} r - 1 = \frac{R}{p} - 1 = \frac{R - p}{p} \approx (R - 1) - (p - 1), ha R, p \approx 1. \end{matrix}

A képletek jobb megértését számpéldákkal segítjük. Alapadatok: a hitel futamideje:

T = 20

év, a hitel összege:

D_{0} = 10

mFt.
Bár a nominális kamatláb és az inflációs ráta részben független egymástól, szemléltetésünkben célszerű a reálkamat-tényezőt rögzíteni:

r = 1, 06

. Az 1. táblázatban azt nézzük meg, hogyan hat az inflációs ráta növekedése az éves törlesztési részletre. Állandó árszintnél a törlesztés 872 eFt, 6%-osnál már 1369 eFt ‐ ez már kifizethetetlen³. Persze, az évek múltával a törlesztés reálértéke időben egyre inkább csökken. Nulla infláció esetén a zárótörlesztés reálértéke 872 eFt, s 6%-os infláció esetén 427 eFt-ra csökkenne, ha kifizethető lett volna.

1. táblázat. Az infláció hatása az éves induló és záró törlesztésre, eFt

\begin{matrix} Inflációs index & Nyitó törlesztés & Záró reál törlesztés \\ p & B & b_{T} \\ 1,00 & 872 & 872 \\ 1,03 & 1110 & 614 \\ 1,06 & 1369 & 427 \end{matrix}

Megjegyzés. Reálkamat-tényező:

r = 1, 06

, nominálkamat-tényező:

R = r p

, záró törlesztés reálértéke:

b_{T} = B / p^{T}

3. Kettősen indexált törlesztés

1975 körül Franco Modigliani (Nobel-emlékdíjas közgazdász) választ keresett a gyors infláció okozta kezdőtörlesztési gondokra. Megoldásként az ún. kettősen indexált hitelt javasolta, ahol nemcsak a reálkamat-tényező, hanem a

b_{t}

reáltörlesztés is állandó:

r_{t} = r

és

b_{t} = b

. Ekkor (7) tovább egyszerűsödik:

\begin{matrix} d_{t} = r d_{t - 1} - b, t = 1,2, ..., T . \end{matrix}

(8)

Az 1. tétel helyére lép a

2. tétel. Ha a reálkamat-tényező állandó és a bank úgy állapítja meg az esedékes hiteltörlesztést, hogy a reáltörlesztés minden időszakban állandó legyen, akkor a reáltörlesztés

\begin{matrix} b = \frac{(r - 1) D_{0}}{1 - r^{- T}}, r > 1; \end{matrix}

(9)

míg a reáladósság

(8)

szerint alakul.

Visszatérünk 1. példánkhoz.

2. példa. Ha a törlesztési idő végtelen:

T = \infty

, és kettősen indexált törlesztést alkalmaz a bank, akkor a törlesztőrészlet

\begin{matrix} b = (r - 1) D_{0} . \end{matrix}

(

3''

)

Ebből leolvasható, hogy ilyenkor a változatlan reálértékű törlesztőrészletnek a hitelhez viszonyított aránya a reálkamatlábbal egyenlő. Alacsony éves reálkamatláb esetén még magas nominálkamatláb mellett is törleszthető a kezdőrészlet.

A 2. táblázatban azt vizsgáljuk, hogyan hat a reálkamat-tényező emelkedése a kettősen indexált hitel törlesztésére. 0%-os reálkamatlábnál fejből tudjuk az eredményt:

10 / 20 = 500

eFt; 3%-os reálkamatlábnál az éves törlesztés 672 eFt, de 6% esetén már 872 eFt! (Az 1. táblázat 1. sora.)

2. táblázat. A reálkamatláb hatása az éves törlesztésre: DIM

\begin{matrix} Reálkamat-tényező & Éves törlesztés (eFt) \\ r & b \\ 1,00 & 500 \\ 1,03 & 672 \\ 1,06 & 872 \end{matrix}

A 2. feladat a két típusú hitel érdekes különbségét emeli ki. (Megoldás a cikk végén.)

2. feladat. Mutassuk meg, hogy a hagyományos hitelnél a nominális adósság időben monoton csökken, míg a kettős indexálású hitelnél a monotonitás csak akkor igaz, ha az inflációs tényező elegendően kicsi, nevezetesen ha

\begin{matrix} p < \frac{1 - r^{- T}}{1 - r^{- T + 1}} . \end{matrix}

Például

r = 1, 03

reálkamat-tényező esetén az infláció ráta legfeljebb csak 3,9% lehet:

p < 1, 039

, ha a tartozást monoton csökkenőnek akarjuk.

Egyébként a magyar diákhitel is a kettős indexálású hitelhez hasonlít, csak a futamidő változó, és a törlesztőrészlet a mindenkori egyéni kereset rögzített százaléka. Állandó reálkereset esetén a törlesztési pálya azonossá válik a kettős indexálású pályával.

4. Devizaalapú-hitel

Alacsonyabb és stabilabb kamatlábak, valamint elhanyagolható infláció, és kedvező árfolyamok miatt számos országban a hazai valuta helyett valamilyen más ország devizája alapján számolják el a jelzálog- (és egyéb) hiteleket. Magyarországon 2004 után terjedt el ez a forma, és az alacsonyabb kamatlábak és stabil árfolyam miatt a svájci frank nemcsak a forint-, de az eurókölcsönöket is kiszorította. 2008-ban azonban beütött a nemzetközi pénzügyi és gazdasági válság. Míg az euró forint árfolyama 250-ről csak 300-ra (20%-kal) nőtt, addig a svájci franké 150-ről 250-re (67%-kal) ugrott. Emellett a devizakamatláb is nőtt.
Új modellünkben is állandó paraméterértékekre szorítkozunk, de a forint adósság helyére egyelőre a devizában kifejezett adósság lép (

*

-gal jelölve a devizában adott kamattényezőt, adósságot és törlesztőrészletet):

\begin{matrix} D_{t}^{*} = R_{t}^{*} D_{t - 1}^{*} - B_{t}^{*}, t = 1,2, ..., T, 1 < R^{*} < R . \end{matrix}

(10)

Mivel a devizaalapú hitelnél a devizában kifejezett adósságot (

D_{t}^{*}

) és a törlesztést (

B_{t}^{*}

) a bank minden időszakban forintra számítja át, ezért szükségünk lesz a külső valuta árfolyamára (a hazai valutában kifejezve):

E_{t}

, és időben állandónak feltételezett relatív változására:

\begin{matrix} e = E_{t} / E_{t - 1} > 1. \end{matrix}

(11)

Felírjuk a (10) devizaadósság-dinamika forintban kifejezett alakját:

\begin{matrix} E_{t} D_{t}^{*} = e R_{t}^{*} E_{t - 1} D_{t - 1}^{*} - E_{t} B_{t}^{*}, t = 1,2, ..., T . \end{matrix}

(12)

Ekkor a devizáról a forintra átszámított (hullámos) törlesztőrészlet és adósság rendre

\begin{matrix} {\tilde{B}}_{t} = E_{t} B_{t}^{*}, és {\tilde{D}}_{t} = E_{t} D_{t}^{*} . \end{matrix}

(13)

Az 1. és a 2. tétel helyére most új tétel lép.

3. tétel. Ha a bank minden időszakban állandónak veszi a törlesztés devizaértékét, akkor a

t

-edik időszak törlesztőrészletének deviza- és forint értéke rendre

\begin{matrix} B^{*} = \frac{(R^{*} - 1) D_{0}^{*}}{1 - R^{* - T}} és {\tilde{B}}_{t} = E_{t} B^{*}, \end{matrix}

(14)

míg a devizaadósság

(10)

, s a forintra átszámítva pedig

(13)

szerint alakul.

Bevezetve az

\tilde{R} = e R^{*}

devizaalapú hitel forint kamattényezőjét, (13) segítségével (12) átírható:

\begin{matrix} {\tilde{D}}_{t} = \tilde{R} {\tilde{D}}_{t - 1} - {\tilde{B}}_{t}, t = 1,2, ..., T, {\tilde{D}}_{0} = D_{0} . \end{matrix}

(15)

Hasonlítsuk össze a forintalapú adósság (1) egyenletét a devizaalapú adósság forintban kifejezett (15) egyenletével. Látható, hogy a két kamatláb pontosan akkor azonos, ha

\begin{matrix} R = \tilde{R} (= R^{*} e) . \end{matrix}

Ezt az esetet nevezik fedezetlen kamatparitásnak: a hazai kamat

tényező = külső

kamattényező \times ár

folyamváltozás. Bár az eltérő törlesztési folyamat miatt eltérő a két adósságdinamika, a hitel jelenértéke mindkét esetben azonos. Ha emellett a forint hazai értékvesztése párhuzamos a leértékelődéssel:

p = e

, azaz a reálárfolyam állandó, akkor különösen egyszerű az összehasonlítás. Ekkor a devizaalapú hitel azonos a kettős indexálású forinthitellel. A forinthitel hazai törlesztőrészletei reálértékben magasról indulnak, de erősen csökkennek; míg a devizaalapú hitelek alacsonyabb szintről indulnak, de reálértékben állandóak.
A jelenérték segítségével összehasonlíthatjuk a forint és a devizaalapú hitelt is. Emlékeztetőül:

PV = D_{0}

. Relatív árfolyammal dolgozva (egységnyinek véve a kezdő árfolyamot), azaz (11)‐(13) segítségével

\begin{matrix} \tilde{PV} = B^{*} (\frac{e}{R} + \dots + \frac{e^{t}}{R^{t}}), ahol E_{0} = 1. \end{matrix}

Bevezetve a

ρ = R / e

forint-ekvivalens devizakamattényezőt, (14) segítségével a devizaalapú hitel jelenértéke zárt alakban egyszerűen felírható:

\begin{matrix} \tilde{PV} = \frac{R^{*} - 1}{1 - R^{* - T}} \frac{1 - ρ^{- T}}{ρ - 1} D_{0}, \end{matrix}

amely pontosan akkor nagyobb vagy kisebb, mint eredeti forinttársa:

PV = D_{0}

, ha

ρ > R^{*}

vagy

ρ < R^{*}

.
Harmadszor is megvizsgáljuk a legegyszerűbb esetet.

3. példa. Ha a törlesztési idő végtelen:

T = \infty

, és devizaalapú hitelt alkalmaz a bank, akkor a

t

-edik időszak törlesztőrészletének deviza- és forint értéke rendre

\begin{matrix} B^{*} = (R^{*} - 1) D_{0} és {\tilde{B}}_{t} = E_{t} (R^{*} - 1) D_{0} . \end{matrix}

(

3^{*}

)

Ebből leolvasható, hogy ilyenkor a változatlan deviza törlesztőrészletnek a hitelhez viszonyított aránya a devizakamatlábbal egyenlő. Alacsony devizakamatláb esetén komolyabb hitelt is lehetséges törleszteni, feltéve, hogy a leértékelődés az inflációhoz és a nominál jövedelmi pályához képest nem túl gyors.

A 3. táblázat készítésekor három esetet vizsgálunk:

a)

az árfolyam állandó:

e = 1

, tehát a devizaalapú kamatláb kisebb, mint a forintkamatláb:

e R^{*} < R

;

b)

a leértékelődés követi az inflációt:

e = p

, és a devizaalapú kamatláb egyenlő a forintkamatlábbal:

e R^{*} = R

;

c)

a forint leértékelődés gyorsabb, mint az infláció:

e > p

, és a devizaalapú kamatláb nagyobb, mint a forintkamatláb:

e R^{*} > R

. Az

a)

eset a 2004‐2008-as helyzet, a

c)

eset a 2009-től kialakuló helyzet stilizált képe, és a

b)

eset a kettő között egy simább átmenet. Számszerűen:

R^{*} = 1, 06

;

p = 1, 06

;

R = R^{*} p = 1, 1236

;

e_{a} = 1

e_{b} = R / R^{*} = 1, 06

és

e_{c} = 1, 1

.
A forinthitel kezdőrészlete 1 369 eFt, záró reálértéke csupán 427 eFt (1. táblázat utolsó sora). A devizaalapú hitel kezdőrészlete mindhárom esetben 872 eFt. A kedvező esetben a záró reálérték 272 eFt, a hitel jelenértéke csak 6,4 mFt. A kedvezőtlen esetben a záró reálérték 1 829 eFt, a jelenérték viszont 14,1 mFt. A semleges esetben a törlesztés reálértéke változatlan, és a jelenérték megegyezik a hitellel.

3. táblázat. A devizaalapú hitel és a leértékelődés

\begin{matrix} Leértékelődési & Reáltörlesztés (eFt) & Devizaalapú-hitel \\ tényező & kezdő & záró & jelenértéke (mFt) \\ e & {\tilde{b}}_{1} & {\tilde{b}}_{T} & \tilde{PV} \\ 1,00 & 872 & 272 & 6,368 \\ 1,06 & 872 & 872 & 10,000 \\ 1,10 & 872 & 1829 & 14,058 \end{matrix}

Megjegyzés.

R^{*} = 1, 06

p = 1, 06

és

R = 1, 1236

; forinthitel törlesztőrészlete:

B = 1 369

eFt, záró reálértéke:

b_{T} = 427

eFt.

Közelebb kerülnénk a jelenlegi magyar helyzethez, ha egy időben változó paraméterű devizaalapú hitelt vizsgálnánk: egy nagyon kedvezőnek induló devizaalapú hitel (1. sor) egy hirtelen változás miatt nagyon kedvezőtlenné válik (3. sor). Ennek szemléltetését az Olvasókra bízzuk.

Feladatmegoldások

1. feladat. (3) értelmében

\begin{matrix} B (2 T) = \frac{R - 1}{1 - R^{- 2 T}} D_{0} . \end{matrix}

Jól ismert algebrai azonosság szerint a jobb oldal

\begin{matrix} \frac{R - 1}{(1 - R^{- T}) (1 + R^{- T})} D_{0}, \end{matrix}

s ez (3) értelmében

\begin{matrix} \frac{B (T)}{1 + R^{- T}} D_{0} . \end{matrix}

2. feladat.

a)

Az egyszerűség kedvéért csak

D_{1} < D_{0}

-t igazoljuk. (3) értelmében

B (\infty) < B (T)

, és (1)-et felhasználva

\begin{matrix} D_{1} = R D_{0} - B (T) < R D_{0} - B (\infty) = D_{0} . \end{matrix}

b)

(9) értelmében a kettős indexálású hitelnél a

B (\infty) < b (T)

pontosan akkor teljesül, ha

\begin{matrix} (p r - 1) D_{0} < \frac{(r - 1) D_{0}}{1 - r^{- T}} \end{matrix}

áll. Rendezéssel adódik a

2 b)

feladat feltétele.

¹Köszönetemet fejezem ki Király Júliának, hogy lehetővé tette, hogy a készülő közös munkánk egy részét hasznosíthassam a KöMaL-ban.

²A mai átlagos jövedelmekhez viszonyítva.

³A mai átlagos jövedelmekhez viszonyítva.