A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész 1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: ; . (11 pont) Megoldás. A nevezetes szögek szögfüggvényeit felhasználva az egyenlet jobb oldalára írjunk -ot: Tudjuk, hogy ha , akkor I. , ahol ; II. , ahol . Most , . Ezeket felhasználva kapjuk, hogy
Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért az egyenlet gyökei és . A két logaritmus csak akkor értelmezhető, ha . A 4-es alapról térjünk át 2-es alapra: Ekkor ezt az egyenletet kapjuk: | | A logaritmus definícióját használva: . Ez valóban megoldása az egyenletnek, hiszen benne van az értelmezési tartományban, az átalakításaink pedig ekvivalensek voltak.
2. Gábor . születésnapjára vendég volt hivatalos. A vendégek mindegyike pontosan négy vendéget ismert. Az est folyamán minden vendég tombolasorsoláson vett részt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a tombolasorsolás két nyertese ismeri egymást? Hány csúcsa van annak a fagráfnak, amelybe élt kell berajzolnunk, hogy teljes gráfot kapjunk? (12 pont) Megoldás. A 18 vendéget egy 18 pontú gráffal tudjuk szemléltetni. Két pontot akkor kötünk össze, ha a két pont olyan két vendéget szemléltet, akik ismerik egymást. A feladat szövege szerint ebben a gráfban él található. Ha mindenki mindenkit ismerne, akkor ennek a teljes gráfnak éle lenne. A véletlenszerűen kisorsolt két nyertes ennek a teljes gráfnak valamelyik élét határozza meg. Ők csak akkor ismerik egymást, ha az előbb összeszámolt 36 él valamelyikét határozzák meg. A keresett valószínűséget a kedvező esetek számának és az összes esetek számának a hányadosa adja: Az pontú fagráfnak éle van, az pontú teljes gráfnak pedig A feladat szövege szerint felírhatjuk a következő egyenletet: | | A kapott másodfokú egyenlet két gyöke: , . A feladat szövegének csak a pozitív gyök tesz eleget. Vagyis a keresett fagráfnak 14 csúcsa van.
3. A vázlatrajz egy házikóra hasonlító ötszögalapú egyenes hasáb vázlatát mutatja. Ezt a szemléltetőeszközt egy 12 cm élű bükkfakockából fűrészelték ki. A házikó hossza, szélessége, magassága 12 cm, a tető két síkja merőleges egymásra és egybevágó.
Mekkora a test felszíne? Mennyivel lenne könnyebb ez a szemléltetőeszköz, ha lucfenyőből készítették volna? (A bükkfa sűrűsége , a lucfenyő sűrűsége .) (14 pont) Megoldás. A megadott vázlatrajzra írjuk rá az ismert és a kikövetkeztethető adatokat. A továbbiakban az ábrán látható jelölést használjuk. A feladat szövege alapján a hasáb alapja olyan ötszög, amely az átló és a egyenes mentén két 6 cm oldalú négyzetre és két 6 cm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszögre vágható. Vagyis az ötszög területe: A hasáb palástját a 12 cm oldalú négyzet, a két 12 cm és 6 cm oldalú , illetve téglalap, valamint a két egybevágó , téglalap alkotja. Ezeknek a téglalapoknak az egyik oldaluk szintén 12 cm, a másik oldaluk pedig egyenlő a 6 cm befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogójával, azaz cm hosszúságúak. Ezeket felhasználva a palást területe: | | A hasáb felszíne: | |
A test a és az síkok mentén szétdarabolható olyan 12 cm magasságú hasábokra, amelyekből 3 darab 6 cm alapélű 12 cm magasságú négyzetes oszlop illeszthető össze. Vagyis a térfogata a 12 cm élű kocka térfogatának a háromnegyede lesz: Vagyis a bükkfából készült kocka tömege gramm. Ha lucfenyőből készült volna, akkor a tömege gramm lenne. Vagyis ekkor 324 grammal lenne könnyebb. Megjegyzés. Természetesen az részben kapott felhasználásával is adódik a hasáb térfogata: .
4. Két dobókockával -szer dobtunk. A dobott számok összege a következő gyakorisági táblázatot adta:
Mutassuk meg, hogy a huszonötödik dobás értéke nem lehet olyan, hogy a dobások értékének számtani közepe, mediánja, módusza valamilyen sorrendben egy nem állandó számtani sorozat három egymást követő tagja legyen. Az elméletileg számított valószínűségekhez képest melyiket mondhatjuk szélsőségesebbnek, azt hogy darab -est, vagy azt, hogy csak darab -ast dobtunk? (14 pont) Megoldás. Legyen a huszonötödik dobás értéke . Ekkor a huszonöt szám számtani közepe: | | A gyakorisági táblázat szerint hétszer volt 7-es dobás, a következő gyakoriság pedig az 5. Vagyis a huszonötödik dobástól függetlenül a számsokaság módusza a 7 lesz. Ha növekedő sorrendben nézzük a számsokaság tagjait, akkor a tizenkettedik helyen 6-os, a tizenharmadik helyen 7-es áll. Ezt látva a mediánra két eset adódik. Ha a huszonötödik dobás 6-nál nem nagyobb, akkor a medián 6 lesz. Ha a huszonötödik dobás 7-nél nem kisebb, akkor a medián 7 lesz. A feladat szövege szerint a módusz és a medián is nem lehet 7, mert a számtani sorozat tagjai nem állandók. Vagyis csak az lehetséges, hogy a medián 6, a módusz pedig 7. Ezekhez a számtani közép értéke háromféle lehetne: 5, , 8. A egyenlet megoldása: . A egyenlet megoldása: . A egyenlet megoldása: . Egyik esetben sem kaptunk megfelelő egész számot, ezzel a feladat állítását igazoltuk. Két különböző kockával dobunk, az összes esetek száma 36. A dobott összeg 7 a következő esetekben lesz: , , , , , , azaz 6 a kedvező esetek száma. A dobott összeg 8 a következő esetekben lesz: , , , , , azaz 5 a kedvező esetek száma. A hetes dobás valószínűsége , a relatív gyakorisága pedig . Az eltérés: | |
A nyolcas dobás valószínűsége , a relatív gyakorisága pedig . Az eltérés: | |
A hetes dobásnál nagyobb az eltérés a relatív gyakoriság és a valószínűség között, mint a nyolcas dobásnál, ezért a 24 dobás során az a szélsőségesebb, hogy hét darab hetest dobtunk.
II. rész
5. Adott a koordináta-rendszerben az , pontpár, továbbá a nemnegatív koordinátájú pontok, amelyekre , ahol . Legyen . Adjuk meg az sorozat első három tagját. Igazoljuk, hogy szigorúan monoton csökkenő sorozat. Mutassuk meg, hogy az sorozatnak az alsó korlátja. (16 pont) Megoldás. A feladat szövege szerint: , , .
Az szabályos háromszög magassága . Mivel a háromszög oldalhossza 2 egység, ezért . Az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságának hosszát Pitagorasz-tétellel meghatározhatjuk: . Ekkor Az egyenlő szárú háromszögben az előzőhöz hasonlóan járunk el. Kapjuk, hogy . Ekkor Vagyis: , , . Az feladatban alkalmazott módszerrel megadjuk a sorozat és tagját. Az , , egyenlő szárú háromszögek alaphoz tartozó magasságának hosszát Pitagorasz-tétellel meghatározzuk:
Vagyis
Meg kell mutatnunk, hogy az sorozat szigorúan monoton csökkenő, azaz meg kell mutatnunk, hogy minden 1-nél nagyobb pozitív egész -re: A következő átalakítások ekvivalensek az 1-nél nagyobb pozitív egész -ekre:
Ez minden -re teljesül, ezért az sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Meg kell mutatnunk, hogy az sorozat minden tagja nagyobb, vagy egyenlő, mint 1. Nézzük az háromszögeket ( tetszőleges pozitív egész). A feladat szövege szerint: , , . Alkalmazzuk a háromszög-egyenlőtlenséget: Ezzel a feladat állítását beláttuk.
6. A valós számok halmazán értelmezett hozzárendeléssel adott függvényről tudjuk a következőket: I. . II. A abszcisszájú pontjában húzott érintő egyenlete: . Adjuk meg értékét. Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett hozzárendeléssel adott függvénynek három zérushelye van. (16 pont) Megoldás. Tudjuk, hogy , vagyis:
Az érintő egyenletét ismerve meghatározhatjuk a függvény görbéjén a abszcisszájú pont második koordinátáját: . Azaz a pont illeszkedik a függvény görbéjére. Ezeket a koordinátákat behelyettesítve a hozzárendelési szabályba:
Az érintő egyenletéből leolvasható, hogy a pontban húzott érintő meredeksége 7. Az érintő meredekségét deriválással kaphatjuk: | | Mivel -2-nél 7 a meredekség, ezért:
Az , és együtthatókra a következő három egyenletből álló, három ismeretlenes egyenletrendszert kaptuk: | | A második egyenlet 6-szorosából kivonva az első egyenletet, a harmadik egyenletet pedig 15-tel szorozva: | | Összeadás után: , amiből . Visszahelyettesítéssel: , . Az együtthatók ismeretében: A kérdéses függvényérték: . Kiemelésekkel szorzattá alakítjuk a függvény hozzárendelési szabályában szereplő harmadfokú kifejezést: | | Az nevezetes azonosságot alkalmazva -re: Vagyis valóban három zérushelye van a függvénynek: , 1, 3.
7. A középpontú, sugarú kör és az tengely két metszéspontja legyen és . Az háromszögben , továbbá az háromszög beírt körének középpontja . Adjuk meg a pont koordinátáit. Az egyenletű parabola és az tengely két metszéspontja legyen és . Az szakasz felezőpontját -fel, a parabola tengelypontját -vel jelöljük, a parabolához -ban és -ben húzott érintők metszéspontját pedig -vel. Mutassuk meg az egy egyenesre illeszkedő , , pontokra, hogy az szakasz felezőpontja. (16 pont) Megoldás. A megadott középponttal és sugárral felírható a kör egyenlete:
Mivel az és a pontok illeszkednek az tengelyre, ezért második koordinátájuk nulla. Ezek a pontok a körre is illeszkednek, ezért a kör egyenletéből helyettesítéssel megkapjuk a pontok első koordinátáit:
Vagyis: , . Ezek alapján a keresett metszéspontok: , . Mivel egyenlő szárú háromszög és , a két szára, ezért a pont az szakasz felezőmerőlegesére illeszkedik. Ez az egyenes merőleges az tengelyre. Az és pontok ismeretében megadhatjuk az egyenletét: . Vagyis az erre az egyenesre illeszkedő pont első koordinátája is 4. Tudjuk, hogy az háromszög beírt körének középpontja , ezért a háromszög szögének (az -nak) a szögfelezője. Az és a ismeretében az egyenes egyenlete: | | Ennek az egyenesnek a meredeksége. Ez azt jelenti, hogy . Ha ennek ismeretében megadnánk a értékét, akkor felírhatnánk az egyenes egyenletét. Használjuk a függvénytáblázatban is megtalálható azonosságot. A helyére írjunk -t: | | Az pontra illeszkedő, meredekségű egyenes egyenlete: . Az erre illeszkedő pont első koordinátáját már ismerjük, ezért az behelyettesítésével a második koordinátáját is megkapjuk: . A keresett pont koordinátái: . Mivel az és a pontok illeszkednek az tengelyre, ezért második koordinátájuk nulla. Ezek a pontok a parabolára is illeszkednek, ezért a parabola egyenletéből az helyettesítéssel kapott másodfokú egyenlet megoldásai adják a hiányzó koordinátákat. Az egyenlet megoldásai: , .
Vagyis a parabola és az tengely két metszéspontja: , , az szakasz felezőpontja pedig: . A feladatban szereplő parabola függőleges tengelyű, és ez a tengely illeszkedik az pontra, vagyis az egyenlete. A tengely és a parabola metszéspontja adja a tengelypontot, aminek az első koordinátája 1, a másodikat a parabola egyenletéből behelyettesítéssel megkapjuk: . A parabola tengelypontja ezek alapján: . A parabola -ban és -ben húzott érintői szimmetrikusak a parabola tengelyére, vagyis az egyenletű egyenesen metszik egymást. Ezért elegendő az egyik érintő egyenletét felírnunk, és azt megnézni, hogy hol metszi a parabola tengelyét. Írjuk fel a pontban húzott érintő egyenletét. Az érintő iránytangensét (meredekségét) deriválással kapjuk: . Az abszcisszájú ponthoz tehát meredekségű érintő tartozik. A pont és a meredekség ismeretében az érintő egyenlete: . Ennek az érintőnek és a parabola egyenletű tengelyének a metszéspontja: . Ezzel beláttuk az , , pontokra, hogy valóban az szakasz felezőpontja.
Megjegyzés. A feladat állítását deriválás nélkül is megmutathatjuk. Az és a ismeretében már megadható annak a pontnak a koordinátája, amelyre az szakasz felezőpontja lesz: . Ezek után meg kell mutatnunk, hogy és egyenesek a parabola érintői. Természetesen a szimmetria miatt ezt elegendő az egyikről belátnunk. A és a ismeretében a egyenes egyenlete: . Határozzuk meg a parabola és a egyenes közös pontjainak számát. Ehhez a következő egyenletrendszert kell megoldanunk: Az egyenletrendszer egyedüli megoldása: , . Mivel az egyenletű egyenes nem merőleges az tengelyre, ezért érintője a parabolának. Ezzel beláttuk a feladat állítását.
8. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív értéket, amelyre és egy derékszögű háromszög befogói, pedig az átfogója; és egy derékszögű háromszög befogói, pedig az átfogója. (16 pont) Megoldás. A egyenletet kell megoldanunk. Alakítsuk az egyenletet:
Az egyenlet -re másodfokú, a megoldóképlettel meghatározzuk a gyököket:
Számológéppel:
A feltételeknek megfelelő legkisebb pozitív szám kerekítve . A egyenletet kell megoldanunk. Ezt az egyenletet alakra tudjuk hozni. Tovább alakítva:
Az egyenlet megoldásai: ahol ; , ahol ; , ahol . A feltételeknek megfelelő legkisebb pozitív szám a .
9. A magyar kártyában négy szín található (zöld, makk, tök, piros) és minden színhez nyolc figura tartozik (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász). Gyuri, Csaba és István ultiznak. Ezt a kártyajátékot magyar kártyával játsszák. Az osztás során mindenki tíz lapot kap, és két lap marad talonban. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a talonba kerülő két lapon különböző figura lesz. Mennyi annak a valószínűsége, hogy Gyuri megkapja mind a négy ászt? Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy Csabánál nem lesz VII-es lap. Ha tudjuk, hogy István kapott legalább egy VII-es lapot az osztáskor, akkor számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy mind a négy VII-es hozzá kerül. (16 pont) Megoldás. Összesen -féleképpen lehet 2 lapot kiválasztani a 32 lapos magyar kártyából. A két különböző figura -féleképpen fordulhat elő, és mindkettőnek 4 színe lehet. Ez eset. A keresett valószínűség: . Gyuri összesen -féleképpen kaphatja meg a lapjait. Mivel a kedvező esetben mind a négy ász nála van, ezért a maradék 28 lapból fog kapni még 6 lapot, ami -féleképpen történhet. Vagyis a keresett valószínűség: Csaba összesen -féleképpen kaphatja meg a lapjait. Mivel a most vizsgált (kedvező) esetben nincs nála VII-es, ezért a többi 28 lapból fogja megkapni a tíz lapját, ami -féleképpen történhet. Vagyis a keresett valószínűség: A feltételes valószínűség definíciója szerint: . Jelen esetben azt az eseményt jelöli, hogy mind a négy VII-es lap Istvánhoz került, pedig azt, hogy van Istvánnál VII-es. Tudjuk, hogy , hiszen ha minden VII-es Istvánnál van, akkor van nála VII-es. A négy VII-es -féleképpen kerülhet Istvánhoz, ezért Mivel annak a valószínűsége, hogy egy megadott játékosnál nincs VII-es lap, ezért Ezek alapján a keresett valószínűség: | |
|