Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Sztranyák Attila
Füzet:	2015/október, 401 - 402. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Hány olyan 4 darab egész számból álló adatsokaság van, melynek mediánja 1, átlaga 2, szórásnégyzete pedig 3? Mi(k) ez(ek) az adatsokaság(ok)?  (12 pont)   2. Egy 1 méter oldalhosszúságú, négyzet alakú asztallapra egy téglalap alakú abroszt terítünk. Az abrosz hosszabb oldalai kétszer olyan hosszúak, mint a rövidebbek, és úgy helyezzük az asztalra, hogy középvonalai egybeessenek az asztallap átlóival. Így az abrosz mind a négy sarka az asztallap síkjához képest 10 cm-rel lelóg. Az asztallap hány százalékát fedi a terítő ebben a helyzetben?  (13 pont)   3. Oldjuk meg a következő egyenletet az egész $\left(x;y\right)$ számpárok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x-2-\sqrt[]{8x+4}=-\left|\frac{3y-2}{5}\right|\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)   4. Az $f\left(x\right)=\sqrt[]{x}$ függvény grafikonját elmetsszük az $x=b$ egyenletű függőleges egyenessel. Az egyenes, $f\left(x\right)$, és az $x$-tengely által bezárt $S$ síkidom területe $t=18$. $a)$ Mennyi $b$ pontos értéke? $b)$ Az $S$ síkidomot megforgatjuk az $x$-tengely körül. Mekkora a keletkezett forgástest térfogata?  (12 pont)   II. rész     5. $a)$ Igazoljuk, hogy az $x^3+3x^2-3x-1=0$ egyenletnek van egyjegyű pozitív egész megoldása. $b)$ Oldjuk meg az $x^3+3x^2-3x-1=0$ egyenletet a valós számok halmazán. $c)$ Adjuk meg a tangensra vonatkozó addíciósképletek és nevezetes szögek szögfüggvényei segítségével a ${105}^{\circ }$ és a ${165}^{\circ }$ szögek tangenseinek a pontos értékét. $d)$ Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\text{tg}x+2\right)}^2=7+\text{tg}x+\text{ctg}x\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   6. Egy szabályos nyolcszögbe az ábra szerint a középpontján keresztül nyolc egyforma egyenlő szárú háromszöget rajzolunk be.     $a)$ Mekkora a háromszögek súlypontjai által meghatározott szabályos nyolcszög, illetve az eredeti nyolcszög területének az aránya? $b)$ Kati az ábrának megfelelő pörgettyűket csinál. A pörgettyűk felső felén lévő nyolc kis háromszög mindegyikét kifesti a piros, fehér, vagy zöld színek valamelyikével (a pörgettyű alját nem festi le). Hányféle különböző pörgettyűt készíthet Kati, ha az élben szomszédos háromszögek színét különbözőnek szeretné, de nem ragaszkodik ahhoz, hogy mind a három színt felhasználja?  (16 pont)   7. $a)$ Adjuk meg a $P\left(-1;1\right)$, és $Q\left(3;3\right)$ pontokon átmenő $e$ egyenes egyenletét. $b)$ Az $f\left(x\right)=x^2-6x+8$ egyenletű függvény grafikonjának melyik az a pontja, amelyikbe húzott érintő merőleges a fenti $e=PQ$ egyenesre? $c)$ Adjuk meg az $e$ egyenes, az érintő, illetve a két koordináta-tengely által bezárt (az első síknegyedbe eső) konvex négyszög területét.  (16 pont)   8. Egy téglatest térfogata 8 cm${}^3$. Ha a téglatest minden élét 1 centiméterrel megnöveljük, akkor egy 27 cm${}^3$ térfogatú téglatestet kapunk. Mekkora térfogatú téglatestet kapunk, ha ismét megnöveljük az éleket 1-1 centiméterrel?  (16 pont)   9. Egy játékgyártó vállalat az ábrának megfelelő műanyag játékkockákat gyárt. A gyártás során elkészítik a ,,sértetlen'' 2 cm élhosszú kockákat, majd a nyolc csúcs mindegyikénél az éleken kimérve az azonos $d$ távolságokat levágnak egy-egy olyan tetraédert, melynek alaplapja szabályos háromszög. A levágott tetraéderek anyagát összegyűjtik, és ebből a hulladékanyagból később új játékkockákat gyártanak. (Ezek hulladékát is összegyűjtik. Általában nem kell anyagveszteséggel számolnunk a gyártás során, illetve a hulladékot nem keverik a nem hulladék anyaggal össze.)     $a)$ Mekkora a $d$ távolság pontos értéke, ha pontosan 48 darab játékkocka hulladékából állítható elő egy mind a nyolc csúcsában ép 2 cm élhosszú kocka? $b)$ A nem hulladékanyagból készült kockák mind első osztályúak a minőség szempontjából, míg a hulladékból készült kockáknak csak 80%-a első osztályú, a többi hibás. A gyártó cég 20 éve változatlan feltételekkel, változatlan gyártósoron gyártja játékait. A hulladék- és a nem hulladékanyagból készült kockák a gyártás során egy tárolóba kerülnek, ahol összekeverednek. A jubileum alkalmából egy exkluzív 200 darabos játékkocka szettet adnak ki díszdobozba csomagolva. Mekkora az esélye, hogy a dobozba legalább két darab hibás dobókocka kerül?  (16 pont)