Kezdőlap


Cím:	A 46. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai
Füzet:	2015/október, 425 - 433. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

¹
1. feladat. Napból érkező részecskék (összesen 10 pont).
A Nap felületéről érkező fotonok és a belsejéből érkező neutrínók a Nap belső és külső hőmérsékletéről adhatnak információt, valamint megerősítik, hogy a Nap a benne zajló nukleáris folyamatok miatt ragyog.
A feladatban a következő adatokat használhatjuk: a Nap tömege: $M_{⊙} = 2, 00 \cdot 10^{30}$ kg, a Nap sugara: $R_{⊙} = 7, 00 \cdot 10^{8}$ m, a Nap luminozitása (egységnyi idő alatt kisugárzott energia): $L_{⊙} = 3, 85 \cdot 10^{26}$ W és a Föld‐Nap átlagos távolsága: $d_{⊙} = 1, 50 \cdot 10^{11}$ m.
Néhány függvény határozatlan integrálja:

\begin{matrix} \int x e^{a x} d x & = (\frac{x}{a} - \frac{1}{a^{2}}) e^{a x} + állandó, & (i) \\ \int x^{2} e^{a x} d x & = (\frac{x^{2}}{a} - \frac{2 x}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}}) e^{a x} + állandó, & (ii) \\ \int x^{3} e^{a x} d x & = (\frac{x^{3}}{a} - \frac{3 x^{2}}{a^{2}} + \frac{6 x}{a^{3}} - \frac{6}{a^{4}}) e^{a x} + állandó. & (iii) \end{matrix}

A rész. A Naptól jövő sugárzás
A.1. Tegyük fel, hogy a Nap abszolút fekete testként sugároz. Ezt felhasználva határozzuk meg a Nap

T_{⊙}

felszíni hőmérsékletét! (0,3 pont)
A napsugárzás spektrumát jó közelítéssel a Wien-féle eloszlás adja meg. Eszerint a Napból a Föld egy adott felületére egységnyi idő alatt, egységnyi frekvenciatartományban érkező energia:

\begin{matrix} u (f) = A \frac{R_{⊙}^{2}}{d_{⊙}^{2}} \frac{2 π h}{c^{2}} f^{3} exp (- h f / k_{B} T_{⊙}), \end{matrix}

ahol

f

a frekvencia,

A

pedig a bejövő sugárzás irányára merőleges felület nagysága.²
Ezek után tekintsünk egy, a beeső napsugárzás irányára merőlegesen elhelyezett,

A

felületű, félvezető anyagból készült, vékony napelemet.
A.2. A Wien-közelítést felhasználva fejezzük ki a napelem felületére beeső napsugárzás teljes

P_{be}

teljesítményét az

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (0,3 pont)
A.3. Fejezzük ki az egységnyi idő alatt, egységnyi frekvenciatartományban a napelem felületére beeső fotonok

n_{γ} (f)

számát az

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

f

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (0,2 pont)
A félvezető anyag, amiből a napelem készült,

E_{g}

szélességű tiltott sávval rendelkezik.³ Alkalmazzuk a következő modellt. Minden,

E \geq E_{g}

energiájú foton egy elektront gerjeszt a tiltott sáv fölé. Ez az elektron

E_{g}

energiával járul hozzá a hasznos kimenő energiához, az esetleges többletenergiája hő formájában disszipálódik (nem hasznosul).
A.4. Legyen

x_{g} = h f_{g} / k_{B} T_{⊙}

, ahol

E_{g} = h f_{g}

. Fejezzük ki a napelem

P_{ki}

hasznos kimenő teljesítményét az

x_{g}

A

R_{⊙}

d_{⊙}

T_{⊙}

paraméterekkel, valamint a

c

h

k_{B}

fizikai állandókkal! (1,0 pont)
A.5. Fejezzük ki a napelem

η

hatásfokát

x_{g}

segítségével! (0,2 pont)
A.6. Ábrázoljuk vázlatosan

η

-t az

x_{g}

függvényében! Az

x_{g} = 0

és az

x_{g} \to \infty

esetén érvényes értékeket is tüntessük fel. Mekkora az

η (x_{g})

függvény meredeksége

x_{g=0}

és

x_{g} \to \infty

esetén? (1,0 pont)
A.7. Jelöljük

x_{0}

-lal

x_{g}

azon értékét, ahol

η

maximális. Írjuk fel azt a harmadfokú egyenletet, amiből

x_{0}

meghatározható! Adjunk becslést

x_{0}

értékére

\pm 0, 25

pontossággal! Ezt felhasználva számoljuk ki

η (x_{0})

értéket! (1,0 pont)
A.8. Tiszta szilícium esetén

E_{g} = 1, 11 eV

. Ezt az adatot felhasználva, számoljuk ki a szilíciumból készült napelem

η_{Si}

hatásfokát! (0,2 pont)
A 19. század végén Kelvin és Helmholtz (KH) egy hipotézissel álltak elő a Nap sugárzásának magyarázatára. Feltételezték, hogy a Nap kezdetben egy óriási, elhanyagolható sűrűségű,

M_{⊙}

tömegű porfelhő volt, amely folyamatosan húzódott össze. A Nap sugárzása ‐ feltevésük szerint ‐ származhat a lassú zsugorodás során felszabaduló gravitációs potenciális energiából.
A.9. Tegyük fel, hogy a Nap egyenletes tömegeloszlású. Adjuk meg a Nap jelenlegi

Ω

gravitációs potenciális energiáját a

G

gravitációs állandó,

M_{⊙}

és

R_{⊙}

segítségével! (0,3 pont)
A.10. A KH-hipotézis alapján becsüljük meg azt a legnagyobb lehetséges

τ_{KH}

időt (években megadva), ameddig a Nap ragyogni tudna! Tételezzük fel, hogy ezen idő alatt a Nap luminozitása állandó. (0,5 pont)
A fenti módon kiszámolt

τ_{KH}

idő nem egyeztethető össze a Naprendszer ‐ meteoritok tanulmányozásával kapható ‐ becsült életkorával. Ez azt mutatja, hogy a Nap energiaforrása nem lehet tisztán gravitációs eredetű.

B rész. A Napból jövő neutrínók
1938-ban Hans Bethe azt állította, hogy a Nap energiája a benne levő hidrogén héliummá történő magfúziójából származik. A nettó magreakció:

\begin{matrix} 4^{1} H \to^{4} He + 2 e^{+} + 2 ν_{e} . \end{matrix}

A reakcióban keletkező

ν_{e}

,,elektronneutrínók'' tömege zérusnak vehető. Ezek a részecskék a Napból kiszabadulnak, és a Földön történő detektálásuk alátámasztja a magreakciók lezajlását a Nap belsejében. A neutrínók által elszállított energia elhanyagolható ebben a feladatban.
B.1. Számítsuk ki a Földet elérő neutrínók számának

Φ_{ν}

fluxussűrűségét

m^{- 2} s^{- 1}

egységben! A fenti reakcióban

Δ E = 4, 0 \cdot 10^{- 12} J

energia szabadul fel. Tételezzük fel, hogy a Nap által kisugárzott energia teljes mértékben ebből a reakcióból származik! (0,6 pont)
A Nap magjából a Földig tartó útjuk során a

ν_{e}

elektronneutrínók egy része más típusú,

ν_{x}

neutrínókká alakul át.⁴ A detektor a

ν_{x}

neutrínókat

\frac{1}{6}

akkora hatásfokkal érzékeli, mint amekkora hatásfokkal a

ν_{e}

neutrínókat. Ha nem volna neutrínóátalakulás, akkor egy év alatt átlagosan

N_{1}

számú neutrínó detektálását várnánk. Azonban az átalakulás miatt a valóságban egy év alatt átlagosan

N_{2}

számú neutrínót (

ν_{e}

-t és

ν_{x}

-t együttesen) detektálnak.
B.2. Határozzuk meg

N_{1}

és

N_{2}

segítségével, hogy a

ν_{e}

neutrínók mekkora

r

hányada alakul át

ν_{x}

neutrínóvá! (0,4 pont)
Ahhoz, hogy a neutrínókat észlelni tudjuk, nagy, vízzel töltött detektorokat építünk. Habár a neutrínók anyaggal való kölcsönhatása meglehetősen ritka, olykor elektronokat löknek ki a detektorbeli vízmolekulákból. Ezek a nagyenergiájú elektronok nagy sebességgel hatolnak át a vízen, mely folyamat során elektromágneses sugárzást bocsátanak ki. Amíg egy ilyen elektron sebessége nagyobb, mint a fény sebessége az

n

törésmutatójú vízben, a sugárzás (ún. Cserenkov-sugárzás) kúp alakban bocsátódik ki.
B.3. Tételezzük fel, hogy a neutrínó által kilökött elektron a vízben való haladása során állandó ütemben, időegységenként

α

energiát veszít. Határozzuk meg a neutrínó által az elektronnak átadott energiát

(E_{átadott})

α

Δ t

n

m_{e}

és

c

segítségével, ha az elektron

Δ t

ideig bocsát ki Cserenkov-sugárzást! (Tételezzük fel, hogy az elektron a neutrínóval való kölcsönhatása előtt nyugalomban volt.) (2,0 pont)
A Nap belsejében a hidrogén héliummá történő fúziója több lépésben történik. Az egyik ilyen lépés során

^{7}

Be atommag (nyugalmi tömege

m_{Be}

) keletkezik. Ezután ez az atommag egy elektront nyelhet el, melynek folyamán egy

^{7}

Li atommag (nyugalmi tömege

m_{Li} < m_{Be}

) és egy

ν_{e}

neutrínó keletkezik. A megfelelő magreakció:

\begin{matrix} ^{7} Be + e^{-} \to^{7} Li + ν_{e} . \end{matrix}

Ha egy nyugalomban levő Be atommag (

m_{Be} = 11, 5 \cdot 10^{- 27}

kg) elnyel egy ugyancsak nyugvó elektront, a keletkező neutrínó energiája

E_{ν} = 1, 44 \cdot 10^{- 13}

J. Azonban a Be atommagok véletlenszerű termikus mozgást végeznek a Nap magjában lévő

T_{c}

hőmérséklet miatt, és mozgó neutrínóforrásként viselkednek. Emiatt a kibocsátott neutrínók energiája

Δ E_{rms}

négyzetes középértékkel fluktuál.
B.4. Ha

Δ E_{rms} = 5, 54 \cdot 10^{- 17} J

, számoljuk ki a Be magok

V_{Be}

sebességének négyzetes középértékét, majd ezzel adjunk becslést

T_{c}

-re! (Útmutatás:

Δ E_{rms}

a megfigyelés irányába mutató sebességkomponens négyzetes középértékétől függ.) (2,0 pont)

2. feladat. A szélsőértékelv (összesen 10 pont).

A rész. Szélsőértékelv a mechanikában
Tekintsünk egy vízszintes, súrlódásmentes

x

y

síkot (1. ábra). A síkot az

x = x_{1}

egyenlettel megadott

A B

egyenes két, I és II jelű tartományra osztja. Egy

m

tömegű, pontszerű test helyzeti energiája az I-es tartományban

V = 0

, míg a II-es tartományban

V = V_{0}

. A részecskét az

O

origóból

v_{1}

sebességgel indítjuk el egy, az

x

tengellyel

ϑ_{1}

szöget bezáró egyenes mentén. A II-es tartományban lévő

P

pontot

v_{2}

sebességgel éri el egy, az

x

tengellyel

ϑ_{2}

szöget bezáró egyenes mentén.

1. ábra

A gravitációt és a relativisztikus hatásokat a feladat minden részében elhanyagolhatjuk.

A.1. Fejezzük ki

v_{2}

-t az

m

v_{1}

és

V_{0}

mennyiségek segítségével! (0,2 pont)
A.2. Adjuk meg

v_{2}

-t

v_{1}

ϑ_{1}

és

ϑ_{2}

segítségével! (0,3 pont)
Definiálunk egy (hatásnak nevezett)

A = m \int v (s) d s

mennyiséget, ahol

d s

v (s)

sebességgel mozgó

m

tömegű részecske ,,infinitezimálisan kicsi'' elmozdulása a pályája mentén. Az integrálást a pályagörbe mentén kell elvégezni.
Példaként, ha egy részecske állandó

v

sebességgel mozog egy

R

sugarú körpályán, akkor az

A

hatás 1 fordulat alatt

2 π m R v

lesz.
Ha a részecske

E

energiája állandó, akkor megmutatható, hogy két rögzített végpont között az összes lehetséges pálya közül a részecske ténylegesen azon a pályán fog mozogni, amelyen kiszámítva az

A

hatásnak szélsőértéke (minimuma vagy maximuma) van. Történeti okokból ezt a szélsőértékelvet a legkisebb hatás elvének (LHE) nevezik.
A.3. A LHE-ből következik, hogy ha egy részecske olyan tartományban mozog, ahol a helyzeti energia állandó, a pályája a két rögzített pont közötti egyenes szakasz lesz. Legyenek az 1. ábrán látható

O

és

P

rögzített pontok koordinátái

(0,0)

, illetve

(x_{0}, y_{0})

, továbbá annak a határpontnak a koordinátái, ahol a részecske az I-es tartományból átmegy a II-esbe, legyenek

(x_{1}, w)

. Fontos, hogy

x_{1}

értéke rögzített, és a hatás csak a

w

koordináta függvénye. Adjuk meg az A(w) hatásfüggvény alakját! Az LHE alapján keressünk kapcsolatot a

v_{1} / v_{2}

hányados és a fenti koordináták között! (1,0 pont)

B rész. Szélsőértékelv az optikában
Egy fénysugár az

n_{1}

törésmutatójú I-es közegből az

n_{2}

törésmutatójú II-es közegbe lép át. A két közeget egy

x

tengellyel párhuzamos egyenes választja el. A fénysugár az

y

tengellyel az I-es közegben

α_{1}

, a II-es közegben

α_{2}

szöget zár be (2. ábra). A fénysugár útját egy másik szélsőértékelv, a legkisebb idő elvét megfogalmazó Fermat-elv segítségével kapjuk meg.

2. ábra

B.1. Az elv azt mondja ki, hogy két rögzített pont között a fénysugár olyan pályán halad, amelyen a két pont közötti út megtételéhez szükséges időnek szélsőértéke van. Vezessük le a

sin α_{1}

és

sin α_{2}

közötti összefüggést a Fermat-elv alapján! (0,5 pont)

A 3. ábrán (vázlatosan) egy olyan lézersugár menete látható, amely vízszintesen lép be egy cukoroldatba. Az oldatban a cukorkoncentráció ‐ és ennek következtében a törésmutató is ‐ csökken a magassággal.

3. ábra

B.2. Tegyük fel, hogy a törésmutató csak

y

koordinátától függ,

n = n (y)

. A B.1. részben kapott összefüggés segítségével fejezzük ki a fénysugár pályájának

d y / d x

meredekségét az

n_{0}

és

n (y)

törésmutatók függvényében, ahol

n_{0}

a törésmutató értéke az

y = 0

helyen! (1,5 pont)
B.3. A lézersugár a

(0,0)

origóban vízszintesen lép be a cukoroldatba az edény aljához viszonyítva

y_{0}

magasságban, ahogy az a 3. ábrán látszik. Legyen

n (y) = n_{0} - k y

, ahol

n_{0}

és

k

pozitív állandók. Fejezzük ki

x

-et

y

és a lézersugár pályáját meghatározó többi mennyiség függvényében! (1,2 pont)
Felhasználható, hogy:

\begin{matrix} \int \frac{1}{cos ϑ} d ϑ & = ln (\frac{1}{cos ϑ} + tg ϑ) + állandó, vagy \\ \int \frac{d x}{\sqrt[]{(x^{2} - 1)}} & = ln (x + \sqrt[]{x^{2} - 1}) + állandó . \end{matrix}

B.4. Határozzuk meg azt az

x_{0}

értéket, ahol a fénysugár eléri az edény alját! Legyen:

y_{0} = 10, 0 cm

;

n_{0} = 1, 50

;

k = 0, 050 {cm}^{- 1}

. (0,8 pont)

C rész. A szélsőértékelv és az anyag hullámtermészete
Most a legkisebb hatás elve (LHE) és a mozgó részecske hullámtermészetének kapcsolatát fogjuk tanulmányozni. Ehhez azt feltételezzük, hogy az

O

-ból

P

-be haladó részecske minden lehetséges pályát befut, és mi azt a pályát keressük meg, amelyen az interferáló de Broglie-hullámok erősítik egymást.
C.1. A részecske egy infinitezimális kicsi

Δ s

távolsággal elmozdul a pályáján. Fejezzük ki a de Broglie-hullám

Δ φ

fázisváltozását a hatás

Δ A

megváltozásával és a Planck-állandóval! (0,6 pont)
C.2. Tekintsük újra az A részben szereplő feladatot, ahol a részecske

O

-ból

P

-be mozog (4. ábra). Tegyünk egy átlátszatlan lemezt a két tartomány közti

A B

határvonalra. Ezen egy kicsiny,

d

szélességű

C D

nyílás van, melyre teljesül, hogy

d ≪ (x_{0} - x_{1})

és

d ≪ x_{1}

4. ábra

Vegyük fel az

O C P

és

O D P

szélső pályákat, úgy, hogy

O C P

az A részben tárgyalt klasszikus pályán legyen. Határozzuk meg első rendben a két pálya közötti

Δ φ_{C D}

fáziskülönbséget! (1,2 pont)

D rész. Anyaghullámok interferenciája
Tekintsünk egy elektronágyút

O

-ban, amely egy párhuzamosított elektronnyalábot bocsát ki a keskeny

F

rés irányába. A rés az

x = x_{1}

helyen lévő

A_{1} B_{1}

átlátszatlan elválasztófalon úgy helyezkedik el, hogy az ernyőn lévő

P

pont, valamint

O

és

F

egy egyenesen legyen (5. ábra). A sebesség az I-es tartományban

v_{1} = 2, 0000 \cdot 10^{7} m/s

, és

ϑ = 10, 0000^{\circ}

. A II-es tartományban olyan a potenciál, hogy a sebesség

v_{2} = 1, 0000 \cdot 10^{7} m/s

. Az

x_{0} - x_{1}

távolság

250, 00 mm

. (Az elektronok közötti kölcsönhatást hanyagoljuk el.)

5. ábra

D.1. Számítsuk ki az elektronágyú

U_{1}

gyorsítófeszültségét, ha

O

-ban az elektronokat nyugalmi helyzetből gyorsítjuk fel! (0,3 pont)
D.2. Az

A_{1} B_{1}

elválasztófalon az

F

rés alatt, attól 215,00 nm távolságra egy másik (

G

jelű) keskeny rést is létrehozunk. Az

F

és

G

réseken át a

P

pontba érkező de Broglie-hullámok fáziskülönbsége

2 π β

. Számítsuk ki

β

értékét! (0,8 pont)
D.3. Mekkora az a

P

-től mért legkisebb

Δ y

távolság, ahol nem várható elektron becsapódása az ernyőn? (1,2 pont)
Figyelem! Hasznos lehet a

sin (ϑ + Δ ϑ) \approx sin ϑ + Δ ϑ cos ϑ

közelítés.

D.4. A sugár négyzetes keresztmetszete

500 nm \times 500 nm

, és a mérési összeállítás hossza

2 m

. Mekkora az a minimális

I_{min}

fluxussűrűség (elektron darabszám/egységnyi merőleges felület/egységnyi idő), amely esetében egy adott időpillanatban átlagosan legalább 1 elektron található a mérési összeállításban? (0,4 pont)

3. feladat. Nukleáris reaktor tervezése (összesen 10 pont).
Az urán a természetben

{UO}_{2}

formájában fordul elő, és az uránatomoknak csupán 0,720%-a

^{235} U

. Neutron hatására az

^{235} U

könnyen elhasad, melynek során 2-3 nagy mozgási energiájú hasadványneutron is kibocsátódik. Ennek a hasadásnak a valószínűsége megnő, ha a hasadást kiváltó neutronok mozgási energiája kicsi. Tehát a hasadványneutronok mozgási energiájának csökkentésével az

^{235} U

magok hasadási láncreakciója idézhető elő. Ez képezi az energiatermelő nukleáris reaktor (NR) elvét.
Egy tipikus NR egy

H

magasságú,

R

sugarú hengeres tartályból áll, ami az ún. moderátoranyaggal van feltöltve. Ebben tengelyirányban hengeres csövek, az ún. üzemanyag-kazetták helyezkednek el négyzetrácsba rendezve, melyek belsejében

H

magasságú, szilárd állapotban lévő, természetes

{UO}_{2}

üzemanyagrudak találhatók. A kazettából kilépő hasadványneutronok ütköznek a moderátorral, így energiát veszítenek, hogy aztán a környező kazettákat a hasításhoz szükséges kicsi energiával érjék el. A 6. ábrán csak a feladat szempontjából releváns alkatrészek láthatók (pl. a szabályozórudak és a hűtőközeg nem). A hasadás miatt az üzemanyagrudakban fejlődő hő a hosszirányban áramló hűtőközegnek adódik át. Ebben a feladatban az üzemanyagrudakban (A rész), a moderátorban (B rész) és a hengeres geometriájú NR-ben (C rész) zajló fizikai folyamatokat tanulmányozzuk.

6. ábra. A nukleáris reaktor (NR) vázlatos rajza.
(a) Egy üzemanyag-kazetta nagyított képe (1 ‐ üzemanyagrúd).
(b) Az NR képe (2 ‐ üzemanyag-kazetta).
(c) NR felülnézetben (3 ‐ az üzemanyag-kazetták négyzetrácsba rendezve;
4 ‐ tipikus neutronpályák).

A rész. Az üzemanyagrúd

{UO}_{2}

adatai: móltömege

M = 0, 271 {kg mol}^{- 1}

; sűrűsége

ϱ = 1, 060 {kg m}^{- 3}

; olvadáspontja

T_{olv} = 3, 138 \cdot 10^{3} K

; hővezetési tényezője

λ = 3, 280 Wm^{- 1}K^{- 1}

.
A.1. Tekintsük a következő hasadási reakciót, melyben egy álló

^{235} U

elnyel egy elhanyagolható mozgási energiájú neutront:

\begin{matrix} ^{235} U +^{1} n \to^{94} Zr +^{140} Ce + 2^{1} n + Δ E . \end{matrix}

Becsüljük meg a hasadás során felszabaduló teljes

Δ E

energiát MeV-ben! Az atommagtömegek:

m (^{235} U) = 235, 044 u

;

m (^{94} Zr) = 93, 9063 u

;

m (^{140} Ce) = 139,905 u

;

m (^{1} n) = 1, 00867 u

és

1 u = 931, 502 MeV c^{- 2}

. A töltés megmaradásával ne foglalkozzunk. (0,8 pont)
A.2. Adjunk becslést a természetes

{UO}_{2}

-ban lévő

^{235} U

atomok térfogategységre eső

N

számára! (0,5 pont)
A.3. Tegyük fel, hogy a neutronfluxus-sűrűség az üzemanyagban homogén, nagysága

φ = 2, 000 \cdot 10^{18} m^{- 2} s^{- 1}

. Egy

^{235} U

atommag hasadási hatáskeresztmetszete (a céltárgy atommag effektív keresztmetszete)

σ_{f} = 5, 400 \cdot 10^{- 26} m^{2}

. Határozzuk meg az üzemanyagrúdban térfogategységenként fejlődő hő

Q

keletkezési ütemét (W m

^{- 3}

-ben), ha a hasadásból származó energia

80, 00 %

-a alakul hővé!

1 MeV = 1, 602 \cdot 10^{- 13} J

. (1,2 pont)
A.4. Az üzemanyagrúd közepének (

T_{c}

) és felületének (

T_{s}

) hőmérséklete közötti különbség állandósult állapotban

T_{c} - T_{s} = k F (Q, a, λ)

alakban írható fel, ahol

k = \frac{1}{4}

egy dimenziótlan állandó,

a

pedig az üzemanyagrúd sugara. Határozzuk meg

F (Q, a, λ)

-t dimenzióanalízissel! Itt

λ

{UO}_{2}

hővezetési tényezője. (0,5 pont)
A.5. A hűtőközeg kívánt hőmérséklete

5, 770 \cdot 10^{2}

K. Adjunk becslést meg az üzemanyagrúd a sugarának

a_{u}

felső határára! (1,0 pont)

B rész. A moderátor
Tekintsünk egy kétdimenziós rugalmas ütközést egy 1 u tömegű neutron és egy

A \cdot u

tömegű moderátoratom között. Az ütközés előtt mindegyik moderátoratomot tekintsük nyugvónak a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerben (LR). Jelölje

\vec{v_{b}}

és

\vec{v_{a}}

a neutron sebességvektorát rendre az ütközés előtt (before) és után (after) az LR-ben. Legyen

\vec{v_{m}}

a tömegközépponti (TKP) vonatkoztatási rendszer sebességvektora az LR-hez képest,

ϑ

pedig a neutron szóródási szöge a TKP rendszerben. Az ütközésekben résztvevő összes részecske nemrelativisztikus sebességgel mozog.
B.1. A 7. ábrán látható az ütközés vázlata az LR-ben, ahol

ϑ_{L}

a szóródási szög. Vázoljuk fel az ütközést a TKP rendszerben!

7. ábra. Az ütközés a laboratóriumi rendszerben.
1 ‐ a neutron az ütközés előtt; 2 ‐ a neutron az ütközés után;
3 ‐ moderátoratom ütközés előtt; 4 ‐ moderátoratom ütközés után

Tüntessük fel a részecskék sebességvektorát az

1

-es,

2

-es és

3

-as állapotokban

\vec{v_{b}}

\vec{v_{a}}

és

\vec{v_{m}}

segítségével! Jelöljük be a

ϑ

szóródási szöget is! (1,0 pont)
B.2. Adjuk meg a neutron

v

, illetve a moderátoratom

V

ütközés utáni sebességét a TKP rendszerben

A

és

v_{b}

segítségével! (1,0 pont)
B.3. Fejezzük ki a

G (α, ϑ) = E_{a} / E_{b}

mennyiséget, ahol

E_{b}

és

E_{a}

a neutron LR-beli mozgási energiája rendre az ütközés előtt és után, valamint

\begin{matrix} α \equiv {(\frac{A - 1}{A + 1})}^{2}! \end{matrix}

(1,0 pont)

B.4. Tegyük fel, hogy az előző kifejezés érvényes

D_{2} O

molekulára is. Számítsuk ki a neutron lehetséges legnagyobb relatív energiaveszteségét, az

f_{l} \equiv \frac{E_{b} - E_{a}}{E_{b}}

mennyiséget,

D_{2} O

(20 u) moderátor esetén. (0,5 pont)

C rész. A nukleáris reaktor
Ahhoz, hogy az NR-t állandó

ψ

neutronfluxussal működtessük (állandósult állapot), az elszökő neutronokat a reaktorban keletkező többletneutronoknak pótolniuk kell. Egy hengeres geometriájú reaktornál a neutronok szökési üteme

k_{1} [{(2, 405 / R)}^{2} + {(π / H)}^{2}] ψ

, a többletneutronok keletkezési üteme pedig

k_{2} ψ

. A

k_{1}

és

k_{2}

állandók az NR anyagi tulajdonságaitól függenek.
C.1. Tekintsünk egy NR-t, melyre

k_{1} = 1, 021 \cdot 10^{- 2} m

és

k_{2} = 8, 787 \cdot 10^{- 3} m^{- 1}

. Figyelembe véve, hogy adott térfogat mellett szeretnénk minimalizálni a szökési ütemet a hatékony üzemelés érdekében, határozzuk meg az NR méreteit állandósult állapotban! (1,5 pont)
C.2. Az üzemanyag-kazetták négyzetrácsba vannak rendezve (6/c. ábra), a legközelebbi szomszédok közötti távolság 0,286 m. Az üzemanyag-kazetták effektív sugara (mintha tömörek lennének)

3, 617 \cdot 10^{- 2} m

. Becsüljük meg az üzemanyag-kazetták

F_{n}

számát a reaktorban, valamint az NR állandósult állapotban történő üzemeltetéséhez szükséges

{UO}_{2}

anyag

M

tömegét! (1,0 pont)

¹A hivatalos megoldást és a mérési feladatokat a KöMaL novemberi számában ismertetjük.
A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre. A három elméleti feladatra összesen 30 pontot lehetett kapni. A részfeladatok után közölt pontszámok az egyes kérdések nehézségi fokára utalnak.

² $c$ a fénysebességet, $h$ a Planck-állandót, $k_{B}$ pedig a Boltzmann-állandót jelöli. Ezek (és még más fizikai állandók) számértékét egy külön táblázatban megkapták a versenyzők.

³A ,,g'' index az angol gap (rés) szóra, vagyis a tiltott sáv szélességére utal.

⁴Ezen jelenség, az ún. neutrínóoszcilláció kísérleti igazolásáért Kadzsita Takaaki japán és Arthur B. McDonald kanadai tudósnak ítélték oda a 2015. évi fizikai Nobel-díjat (‐ a szerk.).