Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Lorántfy László
Füzet:	2015/szeptember, 329 - 330. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Egy közvélemény-kutatás kérdéseire az első hónapban 700 ember válaszolt, mindenki pontosan egyet választott a felkínált három lehetőségből. A feleletek aránya $4:7:14$ volt. Ezután még néhány ember részt vett a közvélemény-kutatásban, így a feleletek aránya $6:9:16$ lett. Legkevesebb hány ember válaszolt utólag a kérdésekre? Ebben az esetben végül melyik lehetőséget hányan választották?  (11 pont)   2. A mosogatógépünkön háromféle program van. Egy mosogatáshoz az $A$ program $30\%$-kal több elektromos energiát, viszont $20\%$-kal kevesebb vizet használ, mint a $B$ program. A $B$ program $15\%$-kal kevesebb elektromos energiát és $25\%$-kal több vizet használ egy mosogatáshoz, mint a $C$ program. Mindhárom program futtatásakor 50 Ft-ba kerül az alkalmazott mosogatószer. Egy mosogatás az $A$ programmal 165 Ft-ba, a $B$ programmal 150 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül a $C$ programmal egy mosogatás?  (12 pont)   3. Hányféleképpen húzhatunk ki a 32 lapos magyar kártyából 6 lapot úgy, hogy legyen köztük pontosan két piros, két zöld és két ász?  (14 pont)   4. Egy kecske egy kerítéssel védett $10\times 3$ m-es virágágy körüli, elegendően nagy réten legel. A kecskét 16 m hosszú kötéllel a kerítés 10 méteres oldalának felezőpontjánál levert cölöphöz kötötték. Mekkora területen legelheti le a füvet a kecske? Hányadrészére csökken ez a terület, ha a kötél hosszát 10 méterre csökkentik?  (14 pont)   II. rész     5. Oldjuk meg az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_4\left(4\text{sin}{}^{2}2x\right)=2-\text{log}{}_2\left(-2\text{tg}x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   6. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hatoslottó húzáson a 45 számból (visszatevés nélkül) 6-ot kihúzva, a hat lottószámot növekvő sorrendbe rakva egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk?  (16 pont)   7. Milyen görbét ír le az $y=x^2-2\left(m-3\right)x+m-8$ parabola csúcsa, ha az $m$ paraméter értéke végigfut a valós számok halmazán? Az $m$ paraméter mely értékénél lesz a csúcs ordinátája maximális? Adjuk meg ebben az esetben a parabola $P\left(0;-5\right)$ ponton átmenő érintőinek egyenletét.  (16 pont)   8. Az azonos tengerszint feletti magasságban fekvő Hencida és Boncida között a távolság 5 km. Hencidából egy közeli hegy csúcsa $30{}^{\circ }$-os, Boncidából pedig $11{}^{\circ }$-os szög alatt látszik. Hencidából a hegy csúcsát és Boncidát összekötő szakasz látószöge ${120}^{\circ }$-os. $a)$ Milyen magas a hegy? $b)$ A két várost összekötő szakasz felénél elindítanak egy távirányításos repülőgép modellt, ami végig a szakaszfelező merőleges síkjában mozog. Mennyire közelítheti meg repülés közben a hegy csúcsát?  (16 pont)   9. János egy vízzel teli hordó aljára 4 mm átmérőjű lyukat fúrt és a kifolyó víz sebességét vizsgálta. A Bernoulli-egyenletből levezette, hogy $v=\sqrt[]{2gx}$, ahol $x$ a vízszint pillanatnyi magassága. Megmérte, hogy a teli hordóból az első másodpercben 62,8 cm${}^3$ víz folyt ki. (A sebességet itt állandónak vehetjük, a rövid mérési idő miatt.) Ezután megállapította, hogy 5 perc alatt pontosan 10 cm-rel csökkent a vízszint. Feltételezzük, hogy a vízszint exponenciálisan csökken az $x=h\cdot 2^{-t/T}$ függvény szerint, ahol $h$ a kezdeti vízszint magassága, $T$ pedig a hordóban lévő víz ,,felezési ideje''. A hordót üresnek tekinthetjük, ha már csak 1 cm magas a vízszint benne. A teli állapotból mennyi idő alatt ürül ki a hordó?  (16 pont)