Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 2014/szeptember, 327 - 328. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emelt szintű gyakorló feladatsor
 

 

I. rész
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket:
a) cos(3x-π6)=-32;
b) log2x+log4x=21.  (11 pont)
 

2. a) Gábor 18. születésnapjára 18 vendég volt hivatalos. A vendégek mindegyike pontosan négy vendéget ismert. Az est folyamán minden vendég tombolasorsoláson vett részt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a tombolasorsolás két nyertese ismeri egymást?
b) Hány csúcsa van annak a fagráfnak, amelybe 78 élt kell berajzolnunk, hogy teljes gráfot kapjunk?  (12 pont)
 

3. A vázlatrajz egy házikóra hasonlító ötszögalapú egyenes hasáb vázlatát mutatja. Ezt a szemléltetőeszközt egy 12 cm élű bükkfakockából fűrészelték ki. A házikó hossza, szélessége, magassága 12 cm, a tető két síkja merőleges egymásra és egybevágó.

 
 

a) Mekkora a test felszíne?
b) Mennyivel lenne könnyebb ez a szemléltetőeszköz, ha lucfenyőből készítették volna?
(A bükkfa sűrűsége 0,68gcm3, a lucfenyő sűrűsége 0,43gcm3.)  (14 pont)
 

4. Két dobókockával 24-szer dobtunk. A dobott számok összege a következő gyakorisági táblázatot adta:
 
Dobott érték23456789101112Gyakoriság01245731100
 

a) Mutassuk meg, hogy a huszonötödik dobás értéke nem lehet olyan, hogy a dobások értékének számtani közepe, mediánja, módusza valamilyen sorrendben egy nem állandó számtani sorozat három egymást követő tagja legyen.
b) Az elméletileg számított valószínűségekhez képest melyiket mondhatjuk szélsőségesebbnek, azt hogy 7 darab 7-est, vagy azt, hogy csak 3 darab 8-ast dobtunk?  (14 pont)
 

II. rész
 

5. Adott a koordináta-rendszerben az A(-1;0), B(1;0) pontpár, továbbá a Cn nemnegatív koordinátájú pontok, amelyekre ACn=BCn=n, ahol n∈N+. Legyen an=Cn+1Cn.
a) Adjuk meg az {an} sorozat első három tagját.
b) Igazoljuk, hogy {an} szigorúan monoton csökkenő sorozat.
c) Mutassuk meg, hogy az {an} sorozatnak az 1 alsó korlátja.  (16 pont)
 

6. a) A valós számok halmazán értelmezett f(x)=x3+ax2+bx+c hozzárendeléssel adott függvényről tudjuk a következőket:
I. ∫01f(x)dx=5312.
II. A -2 abszcisszájú pontjában húzott érintő egyenlete: y=7x+29.
Adjuk meg f(13) értékét.
b) Igazoljuk, hogy a valós számok halmazán értelmezett f(x)=x3-x2-9x+9 hozzárendeléssel adott függvénynek három zérushelye van.  (16 pont)
 

7. a) A K(4;2) középpontú, 40 sugarú kör és az x tengely két metszéspontja legyen A és B. Az ABC háromszögben AC=BC, továbbá az ABC háromszög beírt körének középpontja K. Adjuk meg a C pont koordinátáit.
b) Az y=x2-2x-3 egyenletű parabola és az x tengely két metszéspontja legyen A és B. Az AB szakasz felezőpontját F-fel, a parabola tengelypontját T-vel jelöljük, a parabolához A-ban és B-ben húzott érintők metszéspontját pedig C-vel. Mutassuk meg az egy egyenesre illeszkedő F, T, C pontokra, hogy T az FC szakasz felezőpontja.  (16 pont)
 
8. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív x értéket, amelyre
a) lgx és lg2x egy derékszögű háromszög befogói, lg3x pedig az átfogója;
b) sinx és sin2x egy derékszögű háromszög befogói, sin3x pedig az átfogója.
  (16 pont)
 

9. A magyar kártyában négy szín található (zöld, makk, tök, piros) és minden színhez nyolc figura tartozik (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász). Gyuri, Csaba és István ultiznak. Ezt a kártyajátékot magyar kártyával játsszák. Az osztás során mindenki tíz lapot kap, és két lap marad talonban.
a) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a talonba kerülő két lapon különböző figura lesz.
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy Gyuri megkapja mind a négy ászt?
c) Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy Csabánál nem lesz VII-es lap.
d) Ha tudjuk, hogy István kapott legalább egy VII-es lapot az osztáskor, akkor számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy mind a négy VII-es hozzá kerül.  (16 pont)