Cím:	Az 55. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2014/szeptember, 324. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1 Első nap   1. feladat. Legyen $a_0<a_1<a_2<\text{...}$ pozitív egészeknek egy végtelen sorozata. Bizonyítsuk be, hogy létezik egy egyértelműen meghatározott $n\ge 1$ egész szám, amire $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n<\frac{a_0+a_1+\text{...}+a_n}{n}\le a_{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$   2. feladat. Legyen $n\ge 2$ egész szám. Tekintsünk egy $n^2$ egységnégyzetből álló $n\times n$-es sakktáblát. $n$ bástyának az elhelyezését ezen a sakktáblán békésnek nevezzük, ha minden sorban és minden oszlopban pontosan egy bástya áll. Határozzuk meg a legnagyobb olyan $k$ pozitív egész számot, amire igaz az, hogy $n$ bástya minden békés elhelyezéséhez található egy olyan $k\times k$-as négyzet, amelynek a $k^2$ egységnégyzete egyikén sem áll bástya.   3. feladat. Az $ABCD$ konvex négyszögben $ABC\sphericalangle =CDA\sphericalangle ={90}^{\circ }$. A $H$ pont az $A$-ból $BD$-re bocsátott merőleges talppontja. Az $S$, illetve $T$ pont úgy helyezkedik el az $AB$, illetve $AD$ oldalszakaszon, hogy $H$ az $SCT$ háromszög belsejében van, és $\begin{array}{c}{\displaystyle CHS\sphericalangle -CSB\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{,}THC\sphericalangle -DTC\sphericalangle ={90}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy a $BD$ egyenes érintője a $TSH$ háromszög körülírt körének.   Második nap   4. feladat. $P$ és $Q$ az $ABC$ hegyessszögű háromszög $BC$ oldalszakaszán úgy helyezkednek el, hogy $PAB\sphericalangle =BCA\sphericalangle$ és $CAQ\sphericalangle =ABC\sphericalangle$. Az $M$, illetve $N$ pontok az $AP$, illetve $AQ$ egyenesen úgy helyezkednek el, hogy $P$ az $AM$ szakasz felezőpontja és $Q$ az $AN$ szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy a $BM$ és $CN$ egyenesek az $ABC$ háromszög körülírt körén metszik egymást.   5. feladat. Minden pozitív egész $n$-re a Fokvárosi Bank $\frac{1}{n}$ címletű érméket bocsát ki. Ha adott egy véges készlet ilyen (nem feltétlenül különböző címletű) érmékből, mely készletnek az összértéke legfeljebb $99+\frac{1}{2}$, bizonyítsuk be, hogy a készletet feloszthatjuk $100$ vagy kevesebb csoportra úgy, hogy minden csoportban az érmék összértéke legfeljebb $1$.   6. feladat. A sík egyeneseinek egy halmazát általános helyzetűnek nevezzük, ha közöttük nincs két párhuzamos egyenes, és semelyik három egyenesnek nincs közös pontja. Általános helyzetű egyenesek egy halmaza a síkot tartományokra bontja, amelyek közül némelyek véges területűek; ezeket az egyeneshalmaz véges tartományainak nevezzük. Bizonyítsuk be, hogy minden elég nagy $n$-re teljesül az, hogy bármely, $n$ általános helyzetű egyenesből álló halmaz egyenesei közül legalább $\sqrt[]{n}$ egyenest kékre tudunk színezni úgy, hogy nincs olyan véges tartomány, aminek a határa teljesen kék. Megjegyzés: Olyan megoldásokra is adható pont, amelyek az állítást $\sqrt[]{n}$ helyett $c\sqrt[]{n}$-re bizonyítják; a pontszám a $c$ konstans értékétől függ. 1Az olimpia honlapja: http://www.imo2014.org.za/.