Cím:	Jelentés a 2013. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Szerző(k):	Fleiner Tamás
Füzet:	2014/február, 66 - 67. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jelentés a 2013. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről   A Bolyai János Matematikai Társulat a 2013. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 11-én, 14 órai kezdettel rendezte meg a következő húsz helyszínen: Békéscsaba, Bonyhád, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém és Zalaegerszeg. A Társulat elnöksége a verseny lebonyolítására az alábbi bizottságot kérte fel: Biró András, Fleiner Tamás (elnök), Frenkel Péter, Kós Géza, Maga Péter, Pach Péter Pál (titkár), Pelikán József. A bizottság szeptember 20-i ülésén a következő feladatokat tűzte ki:   1. Legyen $a$ és $b$ két olyan pozitív valós szám, amelyekre $2ab=a-b$ teljesül. Tetszőleges pozitív egész $k$ esetén jelöljük $x_k$-val, illetve $y_k$-val az $ak$-hoz, illetve $bk$-hoz legközelebbi egész számot; ha egy számhoz két legközelebbi egész szám is van, akkor válasszuk ezek közül a nagyobbikat. Igazoljuk, hogy bármely $n$ pozitív egész szám akkor és csak akkor szerepel az $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozatban, ha $n$ legalább háromszor szerepel az $y_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozatban.   2. Tegyük fel, hogy a $P_1$, $P_2$ és $P_3$ zárt, konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az $A\in P_1$, $B\in P_2$ és $C\in P_3$ pontokat, az $ABC$ háromszög területe legfeljebb egységnyi. $\left(a\right)$ Bizonyítsuk be, hogy a $P_1$, $P_2$ és $P_3$ sokszöglemezek valamelyikének a területe $4$-nél kisebb. $\left(b\right)$ Mutassuk meg, hogy megadhatók $P_1$, $P_2$ és $P_3$ sokszöglemezek a fenti tulajdonsággal úgy, hogy $P_1$-nek is és $P_2$-nek is $4$-nél nagyobb legyen a területe.   3. Igaz-e, hogy ha $n\ge 2$ egész, és minden $1\le i<j\le n$ párra adott egy $l_{ij}$ nemnegatív valós szám, akkor léteznek olyan $a_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ nemnegatív valós számok, amelyek összege nem haladja meg az $l_{ij}$ számok összegét, és $|a_i-a_j|\ge l_{ij}$ teljesül minden $1\le i<j\le n$ párra?   A bizottság a beérkezett dolgozatok átnézése után, december 6-i ülésén a következő jelentést fogadta el: ,,A verseny minden helyszínen rendben zajlott le. Budapesten a megjelent 52-ből 45, míg a további helyszíneken összesen 42 versenyző adott be dolgozatot. Az idei versenyen a harmadik feladat bizonyult a legnehezebbnek. Míg az első feladatra 20, a második feladat első részére 12, a második feladat második részére pedig 30 megoldás született, addig a harmadik feladatot mindössze két versenyző tudta megoldani. Egyetlen versenyző munkája emelkedik ki a mezőnyből, két tekintetben is. Bár a beadott írásmű különösen nehezen olvasható és az abban szereplő okfejtést sem egyszerű követni, a dolgozatból rekonstruálható az első feladatnak, a második feladat második részének, valamint a harmadik feladatnak egy megoldása, továbbá a második feladat első részével kapcsolatos részeredmény. Ezért a teljesítményéért I. díjban és 50 000 Ft pénzjutalomban részesül Homonnay Bálint, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Hraskó András, Kiss Gergely, Hegedűs Pál, Jakucs Erika, Pósa Lajos, Dobos Sándor és Surányi László). Négy versenyző oldott meg lényegében két feladatot. Ezért II. díjat és 25 000 Ft pénzjutalmat kapnak Nagy Bence Kristóf, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Hraskó András, Kiss Gergely, Surányi László, Hegedűs Pál, Juhász Péter, Pósa Lajos, Dobos Sándor és Pelikán József) az első és a harmadik feladat megoldásáért; Janzer Barnabás, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Dobos Sándor, Gyenes Zoltán és Pósa Lajos) az első és a második feladat megoldásáért; Maga Balázs, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Hraskó András, Kiss Gergely, Surányi László, Dobos Sándor és Juhász Péter) az első és a második feladat megoldásáért; valamint Tardos Jakab, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium érettségizett tanulója, az ELTE matematika szakos hallgatója (tanárai Táborné Vincze Márta, Kiss Géza, Pósa Lajos, Dobos Sándor és Surányi László) az első és a második feladat megoldásáért. A versenybizottság idén is oklevéllel jutalmazza azokat a versenyzőket, akik a versenyen érdemi teljesítményt nyújtottak, azaz az első feladat, valamint a második feladat első és második része közül kettőt lényegében megoldottak. Az oklevéllel díjazott versenyzők a budapesti Berzsenyi Dániel Gimnázium, a Budapesti Fazekas Mihály Általános Iskola és Gimnázium, a hajdúszoboszlói Hőgyes Endre Gimnázium és Szakközépiskola, a szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, és a győri Révai Miklós Gimnázium tanulói, illetve volt tanulói. A versenybizottság ezúton köszöni meg minden versenyző és felkészítő tanár munkáját, a díjazottaknak pedig további sikereket kívánva szívből gratulál.''