Cím:	Mozaik mintázatok geometrikus szerkesztése. Műhelyleírás
Szerző(k):	Reza Sarhangi
Füzet:	2011/május, 264 - 269. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1   Bevezetés A középkori perzsa mozaiktervezők elsősorban körzővel és vonalzóval geometrikusan szerkesztett, sokszöges segédrácsokat alkalmaztak, erről részletes szakirodalom is a rendelkezésre áll [1]. A módszer széles körben elterjedt, s ez arra is utalhat, hogy a művészek és a kézművesek magas szintű geometriai ismeretekkel rendelkeztek. Tévedés volna azonban azt feltételezni, hogy a teljes perzsa díszítő és csempeművészet hátterében csupán egyetlenegy módszer állhat. A vágott csempék színeinek kontrasztján alapuló úgynevezett moduláris eljárások képezték valószínűleg ezeknek a díszítéseknek az alapját. Mindez arra is felhívja a figyelmet, hogy a körzővel és vonalzóval készült rekonstrukciók előtt, a fényképeken bemutatottnál több száz évvel régebbi, eredeti mintázatok megalkotásakor is talán a moduláris eljárásokat alkalmazták. A cikk következő részében egy konkrét példán keresztül mutatjuk be a moduláris eljárást. A harmadik részben néhány mintázat körzővel és vonalzóval történő megszerkesztését is megadjuk, a negyedik fejezetben pedig a négyzetes csempék oktagram és kereszt alakú mintázatok készítéséhez alkalmazott feldarabolásáról lesz szó.   A modularitásról röviden A moduláris megközelítés esetünkben azt jelenti, hogy két különböző színű csempét felvágunk, hogy alkalmas összeillesztésükkel kétféle színű modulokat kapjunk. A csempéket egyetlen egyenes szakasz mentén vágjuk ketté. Vágjunk szét például egy fekete és egy sárga csempét egy-egy olyan szakasz mentén, amely a csempék két szomszédos oldalának a felezőpontját köti össze, majd cseréljük fel a darabokat. Kétféle színű modulokat kapunk, amelyek egymás ,,negatívjainak'' felelnek meg. A két eredeti, egyszínű négyzetes csempét is beleértve így már négy olyan modul áll a rendelkezésünkre, amellyel új síklefedéseket hozhatunk létre (1.$\left(a\right)$ ábra). Az 1.$\left(b\right)$ ábra egy olyan síklefedést mutat, amelyet ezekkel a modulokkal készítettünk. A modularitással kapcsolatban további információkat találunk a hivatkozott irodalomban [2, 3].   1. ábra. $\left(a\right)$ Két különböző színű, egybevágó négyzetlapból kialakított négy különböző modul; $\left(b\right)$ A modulokból alkotott mozaik mintázat     Süveg, juharlevél és egyéb mintázatok Egyes szakirodalmi hivatkozások süveg mintázatnak nevezik azt a rajzolatot, amely a 2.$\left(a\right)$ ábrán szereplő XIV. századi iráni edényen látható [4]. Ennek a mintázatnak egy korábbi változata a nyugat-iráni Kharraqan városban álló XI. századi páros sírtorony nyugati darabján is megtalálható (2.$\left(b\right)$ ábra). A tornyok legérdekesebb jellegzetessége, hogy teljes felületüket geometrikus mintázat borítja, amelyet kizárólag formára vágott és habarccsal rögzített téglából alakítottak ki [5] (sajnos az egyik torony a közelmúltban részben összedőlt).   2.$\left(a\right)$ ábra. XIV. századi iráni edény     2.$\left(b\right)$ ábra. XI. századi nyugati sírtorony az iráni Kharraqan városában. Ann Gunter fotója   A 3. ábra azokat a lépéseket mutatja be, amelyekkel a süvegrácsozatot körzővel és vonalzóval megszerkeszthetjük. Az érdeklődő olvasó további hasonló szerkesztéseket találhat a [6, 7] művekben.     3. ábra. A süveg mintázat rácsszerkezetének előállítása sokszög szerkesztéssel   A 4. ábra egy olyan módszert mutat be, amellyel a süveg mintázat csupán két ellentétes modul használatával is létrehozható (az egyszínű, eredeti csempék felhasználása nélkül). A csempe vágása itt az egyik oldal felezőpontjától a szemben levő oldal végpontjáig halad.     4. ábra. A süveg modulok és ezek síklefedései   A motívumot alkotó mintázat előállítása során egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget használunk a síklefedés megszerkesztéséhez. A motívum kialakításakor a következő egybevágósági transzformációkat alkalmazzuk: az egyik befogó átforgatása a másikba negyed fordulattal és az alakzat tükrözése az átfogóra (5. ábra). Az így kapott mintázatot a továbbiakban jelölje $p4m$ (az ún. kristálytani csoport-besorolás szerint). Ez a négyzetes rácsú tapétamintákhoz tartozik, ahol a legmagasabb rendű forgatás negyedrendű. Ha egy négyzetnek megrajzoljuk az átlóit és a középvonalait, akkor a négyzetet 8 egybevágó egyenlőszárú derékszögű háromszögre bontottuk, s ezek bármelyike tekinthető a minta alaptartományának. Ha az így nyert mintát kétféle színnel színezzük ki, akkor a mintázat a szimmetriái szerint $p4\text{'}g\text{'}m$ típusú lesz (másodrendű forgásszimmetria, két egymásra merőleges tengelyű tükörszimmetria).     5. ábra (balról jobbra). Egyenlő szárú derékszögű háromszög; az egyik oldal módosítása a ,,kis'' háromszög kivágásával; a kivágott háromszög ${90}^{\circ }$-os elforgatása a derékszögű csúcs körül; tükrözés az átfogóra   A 6. ábra a körzővel és vonalzóval történő szerkesztést mutatja be.     6. ábra. A juharlevél mintázat szerkesztése   A modulok elemeit kétféle színű csempe átlós kivágásával hozzuk létre (7. ábra).     7. ábra. Juharlevél síklefedés létrehozása három modul felhasználásával   A 8. ábrán egy a Mossal$^$a falán (Her257;t, Afganisztán) levő mintázat látható. A mintázat motívumának körzővel és vonalzóval történő szerkesztését a 9. ábra mutatja be. A mintázatnak a moduláris eljárással való elkészítését a 10. ábrán láthatjuk.     8. ábra. Mintázat a Mossal$^$a falán Afganisztánban (Her257;t)       9. ábra. A 8. ábrán látható mintázat megszerkesztése körzővel és vonalzóval       10. ábra. A 8. ábrán látható mozaik terv moduláris eljárással     Összetett négyzet-felosztásokkal képezett további modulok A 11. ábra az iráni Shirazban található Arge Karim Khani erőd falának csempemintázatáról készült fotó. A díszítés geometriai alapmintázatának körzővel és vonalzóval történő megszerkesztését a 12. ábra mutatja.     11. ábra. Mozaik mintázat az iráni Shiraz város Arge Karim Khani erődjének falán       12. ábra. A 11. ábrán látható mintázat szerkesztése körzővel és vonalzóval   A 13. ábrán látható modulok úgy keletkeztek, hogy a csempét az egyik oldal felezőpontjától a szomszédos oldal felezőpontjáig vágtuk el. Ezzel a készlettel oktagram-kereszt csempézést is létrehozhatunk, viszont nem tudunk vele egyenlő oldalú oktagramot készíteni. A 13. ábra tehát nem felel meg a 11. ábrán látható csempézés pontos vázlatának. Az ezekkel a modulokkal készített oktagram oldalainak hossza $1/2$ és $\sqrt[]{2}/2$. A négyzetes csempéket másképpen kell kivágni ahhoz, hogy az ,,oktagram es kereszt'' mintázatot pontos méretekkel is el tudjuk készíteni.   13. ábra. A 11. ábrán látható csempézés moduláris kivitelezése       14. ábra. Egy tökéletes ,,pentagram és kereszt'' csempézés szerkesztése a modularitás módszerével és a síklefedések   Ezt a következőképpen tehetjük meg: Legyen $ABCD$ egy egységnyi oldalú négyzet alakú csempe (14. ábra). Egy egyenlő oldalú oktagram moduláris létrehozásához a négyzetet úgy vágjuk fel, hogy az $AFGCHI$ (nem szabályos) hatszög egyenlő oldalú legyen. Tegyük fel, hogy a hatszög oldala $a$ egység. Legyen $\overline{FB}=b$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle a+b=1.}\end{array}$ (1) A $BGF▵$ egyenlő szárú derékszögű háromszög, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2=2b^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A fenti (1) és (2) egyenletekből $b=\sqrt[]{2}-1$. Így a helyes kivágáshoz rajzoljunk egy $A$ középpontú körívet $AC$ sugárral, és messük el az $AB$ szakasz meghosszabbítását az $E$ pontban ($AC=AE=\sqrt[]{2}$). Rajzoljunk egy másik körívet $B$ körül $BE$ sugárral, és messük el vele a négyzet oldalait az $F$ és $G$ pontokban. A modul többi részének megszerkesztése innen már egyszerűen adódik.   Hivatkozások [1] Jazbi, S. A., Applied Geometry, Soroush Press (Tehran, 1997). [2] Sarhangi, R., Modules and Modularity in Mosaic Patterns, The Journal of the Symmetrion, Raymond Tennant and György Darvas, editors, Volume 19, Numbers 2‐3 (2008), pp. 153‐163. [3] Sarhangi, R., Jablan, S. and Sazdanovic, R., Modularity in Medieval Persian Mosaics: Textual, Empirical, Analytical, and Theoretical Considerations, 2004 Bridges Proceedings, Central Plain Book Manufacturing (Kansas, 2004), pp. 281‐292. [4] Broug, Eric, www.broug.com. [5] Bier, Carol, Geometric Patterns and the Interpretation of Meaning: Two Monuments in Iran, 2002 Bridges Proceedings, Central Plain Book Manufacturing (Kansas, 2002), pp. 67‐78. [6] El-Said, Issam and Ayse Parman, Geometric Concepts in Islamic Art, WIFT (1976). [7] Broug, Eric, Islamic Geometric Patterns (Iszlám geometriai mintázatok), Thames and Hudson (2008). 1Fenyvesi Kristóf és Kabai Sándor fordítása nyomán.