Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gedeon Veronika
Füzet:	2011/március, 142 - 143. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész   1. A királyfi Csipkerózsikához sietett a toronyba. Először egyesével, majd kettesével, végül már hármasával vette a lépcsőfokokat a 232 fokos csigalépcsőn. Ha az elején lépett volna hármasával, majd kettesével, végül egyesével rendre ugyanennyit, akkor egy 276 fokos lépcsősor tetejére is feljuthatott volna. $a)$ Mennyit lépett a királyfi, míg felért a lépcső tetejére? $b)$ Hány lépcsőt lépett egyesével, ha kettesével másfélszer annyit lépett, mint hármasával?  (10 pont) 2. Három kétjegyű prímszám egy számtani sorozat három egymást követő tagja. Az összegük olyan háromjegyű szám, melyben a számjegyek egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagját adják. A számjegyek közötti különbségnek a másfélszerese a prímszámok közötti különbség. Melyik ez a három prímszám?  (13 pont) 3. Bori a körzőjével hatszirmú virágot szerkesztett az ábrán látható módon, majd kiszínezte.       $a)$ Mekkorára nyitotta a körzőjét Bori, ha a hatszirmú virág határvonalának hossza $18\pi$ cm-ben? $b)$ A kör területének hány százalékát színezte ki?  (14 pont) 4. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_5\left(x-2\right)+\text{log}{}_{25}\left(4x^3+29x^2+16x\right)=\text{log}{}_5\left(x^3-8\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (14 pont)     II. rész   5. Adott a síkon 2011 egyenes, melyek között nincsenek párhuzamosok, továbbá 1011 egyenes átmegy a sík $P$ pontján. A $P$-n kívül a sík egyetlen pontjára sem illeszkedik kettőnél több egyenes. $a)$ Hány metszéspontja van a 2011 egyenesnek? $b)$ Mekkora valószínűséggel van 3 véletlenszerűen választott egyenesnek közös pontja? $c)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy 3 véletlenszerűen választott egyenes egy háromszög három oldalegyenese? $d)$ Az egyenesek közül kiválasztunk ötöt. Az általuk meghatározott tartományokat kiszínezzük a lehető legkevesebb színnel úgy, hogy az élben szomszédos részek ne legyenek azonos színűek. Hány színre lesz szükségünk?  (16 pont)       6. Egy esztergályos megrendelést kapott forgásszimmetrikus díszítőelemek készítésére. A megrendelő az ábrán látható tengelymetszetet adta le, de elfelejtette bejelölni a forgástengelyt. A díszítőelemeket olyan hengerből kell elkészíteni, amelyek átmérője és magassága is 10 cm, a kész elem közepén látható gömb átmérője pedig 5 cm. Az esztergályos mindkét lehetséges változatból elkészített egy-egy mintapéldányt. Hány százalék a hulladék az egyes esetekben?  (16 pont) 7. Egy háromszög csúcsainak koordinátái: $A\left(-7;-2\right)$, $B\left(11;-2\right)$, $C\left(-1;10\right)$. $a)$ Adjuk meg a háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra található $K$ pont koordinátáit. $b)$ Adjuk meg a háromszög $M$ magasságpontjának koordinátáit. $c)$ Igazoljuk számítással, hogy az $ABC$ háromszögben az $S$ súlypont harmadolja az $MK$ szakaszt.  (16 pont)       8. Anna ajándékba olyan 56 dm${}^3$ térfogatú csomagot kapott, melynek csomagolásához (az ábrán látható módon) a lehető legkevesebb zsineget használták. Mekkora a téglatest alakú doboz éleinek hossza, ha az egyik alapélének hossza egyenlő a magasság kétszeresével az ábra szerint?  (16 pont) 9. Az azonos tengerszint feletti magasságban fekvő Hencida és Boncida között a távolság 5 km. Hencidából egy közeli hegy csúcsa ${30}^{\circ }$-os, Boncidából pedig ${11}^{\circ }$-os szögben látszik. Hencidából a hegy csúcsát és Boncidát összekötő szakasz látószöge ${120}^{\circ }$-os. $a)$ Mennyivel van magasabban a hegy csúcsa a két város szintjéhez képest? $b)$ A két várost összekötő egyenes út felénél felröppen egy madár. Röppályájának minden pontja egyenlő távolságra van a két várostól. Mennyire közelítheti meg röpülés közben a hegy csúcsát?  (16 pont)   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Gedeon Veronika</span>}}\hfill \end{array}}$   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{Budapest}}\hfill \end{array}}$