Cím:	A 2010. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai
Füzet:	2011/március, 140 - 141. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 2010. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai${}^1$   1   A1. Adott $n$ pozitív egészre melyik az a legnagyobb $k$, amelyre a $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n$ számokat el lehet helyezni $k$ dobozban úgy, hogy minden dobozban ugyanannyi legyen a számok összege? ($n=8$ esetén a $\left\{\mathrm{1,2,3,6}\right\}$, $\left\{\mathrm{4,8}\right\}$, $\left\{\mathrm{5,7}\right\}$ példa mutatja, hogy $k$ legalább 3.)   A2. Határozzuk meg az összes olyan differenciálható $f:\text{R}\to \text{R}$ függvényt, amelyre minden $x$ valós szám és minden $n$ pozitív egész esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=\frac{f\left(x+n\right)-f\left(x\right)}{n}\mathrm{.}}\end{array}$     A3. Tegyük fel, hogy a $h:{\text{R}}^2\to \text{R}$ függvény parciálisan deriválható és a parciális deriváltak folytonosak, továbbá, hogy a függvény valamely $a$, $b$ konstansok esetén kielégíti a $\begin{array}{c}{\displaystyle h\left(x\mathrm{,}y\right)=a\frac{\partial h}{\partial x}\left(x\mathrm{,}y\right)+b\frac{\partial h}{\partial y}\left(x\mathrm{,}y\right)}\end{array}$ egyenletet. Bizonyítsuk be, hogy ha létezik olyan $M$ konstans, amelyre minden $\left(x\mathrm{,}y\right)\in {\text{R}}^2$ esetén $|h\left(x\mathrm{,}y\right)|\le M$, akkor $h$ azonosan egyenlő nullával.   A4. Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ pozitív egész, akkor ${10}^{{10}^{{10}^n}}+{10}^{{10}^n}+{10}^n-1$ nem prímszám.   A5. Tekintsük a $G$ halmaz és a $*$ művelet által meghatározott csoportot. Tegyük fel, hogy $\left(i\right)$ $G$ részhalmaza ${\text{R}}^3$-nek (de a $*$ művelet nem szükségképpen kötődik a vektorösszeadáshoz); $\left(ii\right)$ Minden $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\in G$ esetén $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\times \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}=\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}*\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}$ vagy $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\times \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}=0$ (vagy mindkettő), ahol $\times$ a szokásos ${\text{R}}^3$-beli vektoriális szorzás művelete. Bizonyítsuk be, hogy minden $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}\in G$ esetén $\text{<span style="font-weight: bold;">a</span>}\times \text{<span style="font-weight: bold;">b</span>}=0$.   A6. Az $f:\left[\mathrm{0,}\infty \right)\to \text{R}$ szigorúan monoton csökkenő folytonos függvényre $\underset{x\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}f\left(x\right)=0$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{f\left(x\right)-f\left(x+1\right)}{f\left(x\right)}dx}\end{array}$ divergens.   B1. Létezik-e olyan valós számokból álló $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{a}_3\mathrm{,}\text{...}$ végtelen sorozat, amelyre minden $m$ pozitív egész esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1^m+a_2^m+a_3^m+\cdots =m?}\end{array}$     B2. Az $A$, $B$ és $C$ pontok nincsenek egy egyenesen, koordinátáik egész számok, és az $AB$, $AC$ és $BC$ távolságaik is egészek. Mennyi $AB$ legkisebb lehetséges értéke?   B3. Van 2010 darab $B_1\mathrm{,}{B}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{B}_{2010}$ feliratú dobozunk, amelyekben $2010n$ számú golyó van szétosztva, ahol $n$ pozitív egész. A golyókat lépések sorozatával átrendezhetjük a dobozok között. Minden lépésben választunk egy $i$ számot, és a $B_i$ feliratú dobozból pontosan $i$ darab golyót áthelyezünk valamelyik másik dobozba. $n$ mely értékeire tudjuk a golyók eredeti elrendezésétől függetlenül elérni, hogy mindegyik dobozban $n$ darab golyó legyen?   B4. Határozzuk meg az összes olyan $p\left(x\right)$, $q\left(x\right)$ valós együtthatós polinompárt, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(x\right)q\left(x+1\right)-p\left(x+1\right)q\left(x\right)=1.}\end{array}$     B5. Létezik-e olyan szigorúan monoton növekvő $f:\text{R}\to \text{R}$ függvény, amelyre $f\text{'}\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ minden $x$ esetén?   B6. Legyen $n\ge 1$, és legyenek az $n\times n$-es $A$ mátrix elemei valós számok. Az $A^{\left[k\right]}$ mátrixot minden $k$ pozitív egészre úgy kapjuk, hogy a mátrix minden elemét $k$-adik hatványra emeljük. Bizonyítsuk be, hogy ha $k=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n+1$ esetén $A^k=A^{\left[k\right]}$, akkor minden $k\ge 1$ esetén $A^k=A^{\left[k\right]}$. 1A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.