Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs László
Füzet:	2011/január, 3 - 5. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   Gerőcs László Budapest   I. rész   1. Egy vásáros vattacukrot és főtt kukoricát árult a piacon. Egy vattacukron 40%, egy főtt kukoricán pedig 25% a haszna. Egy napon kétszer annyi vattacukrot adott el, mint főtt kukoricát, és így 36%-os lett a haszna. Másnap viszont kétszer annyi főtt kukoricát adott el, mint vattacukrot. Hány százalék haszna lett ezen a napon?  (11 pont)   2. A BKV megfigyelései alapján az utasoknak kb. 8%-a bliccel, azaz érvényes jegy vagy bérlet nélkül utazik a járatokon. $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy buszon, amelyen 24-en utaznak, a jegyellenőr nem talál bliccelőt? $b)$ Hány utas esetén lesz legalább 90% annak az esélye, hogy az ellenőr talál bliccelőt a járaton? $c)$ Egy buszon 24 utas tartózkodott. Mekkora annak a valószínűsége, hogy pontosan két bliccelőt talál az ellenőr?  (12 pont)   3. Az $ABCDA\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ négyzet alapú egyenes csonkagúla egyik határoló négyzetének oldala 24 cm (lásd az ábrát).     Tudjuk, hogy a $BC\text{'}D$ háromszög szabályos, az $A\text{'}TC\text{'}$ háromszög pedig derékszögű, ahol $T$ a 24 cm oldalú négyzet átlóinak a metszéspontja. Mekkora a gúla térfogata?  (14 pont)   4. Pisti külföldi útja során meglátott egy kirakatban egy igen kedvező árú laptopot, melynek ára euróban háromjegyű pozitív egész szám volt. Bement, hogy megvásárolja, de döbbenten tapasztalta, hogy a pénztárnál 1 euróval kevesebbet számláztak, mint a kirakatban látott ár kétszerese. Mikor reklamált, kiderült, hogy a kirakatban az árcédulán a számjegyeket véletlenül fordított sorrendben írták ki. Mennyibe került a laptop?  (14 pont)   II. rész   5. $a)$ A valós számok halmazán értelmezett $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ függvényről tudjuk, hogy egyetlen zérushelye az $x=1$-ben van és $f\left(2\right)=2$. Határozzuk meg az $a$, $b$, $c$ együtthatókat. $b)$ Legyenek a valós számok halmazán értelmezett függvények $g\left(x\right)=x^2-3x+2$ és $h\left(x\right)=2x-a$. Határozzuk meg az $a$ valós paraméter értékét úgy, hogy a $g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)$ egyenletnek ne legyen valós megoldása.  (16 pont)   6. Egy arab épületet és annak egy tengelymetszetét látjuk az ábrán.     A tengelymetszet $ABCD$ téglalapjának $AD$ oldala 7 m, $AB$ oldala pedig nagyobb, mint 14 m. Egy kis kör érinti az $AD$ és $DC$ oldalakat, valamint kívülről érinti az $AB$ oldalra emelt félkört. Egy másik kis kör a $DC$ oldalt és a félkört belülről érintő körök legnagyobbika. Mekkora e kis körök sugara, ha tudjuk, hogy e sugarak egyenlők?  (16 pont)   7. Egymás mellé rajzoltunk $n$ db négyzetet. Az egyes négyzetek oldalai sorban $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,}n$ (lásd az ábrát).     Van-e olyan négyzet, melynek területét az $AP$ szakasz felezi?  (16 pont)   8. Egy összecsukható sátor vázát látjuk az ábrán.     A két 2 m magas függőleges rúd között az $A$, $B$ és $C$ pontokban található csuklók mentén állítható a sátor keresztmetszetének váza oly módon, hogy a két függőleges rudat közelítjük egymáshoz. A rudak 2 m hosszúak. A sátor használói tapasztalatból tudják, hogy a két függőleges rudat egymáshoz közelítve, a sátor légtere egy darabig növekszik, aztán újra csökken. $a)$ Számítsuk ki $\alpha ={20}^{\circ }$ esetén a sátor keresztmetszetének területét. $b)$ Mekkora $\alpha$ szög esetén lesz a sátor légtere maximális?  (16 pont)   9. Legyenek $a$ és $b$ 1-nél nagyobb valós számok. Egy téglatest élei $\text{log}{}_{a}b$, $\text{log}{}_{b}a$ és $\text{log}{}_{a}ab$. Bizonyítsuk be, hogy a téglatest felszínének mérőszáma a térfogat mérőszámának több mint 4-szerese.  (16 pont)