Kezdőlap


Cím:	A 42. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai
Füzet:	2011/október, 423 - 426. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 42. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia elméleti feladatai^{$^{*}$}

1. feladat. Egy háromtest-probléma és a LISA

1.1.

M

és

m

két egymást vonzó tömegpont, melyek

R

, illetve

r

sugarú körpályán mozognak a közös tömegközéppontjuk körül. Fejezd ki az

M

és

m

tömegpontokat összekötő szakasz

ω_{0}

szögsebességét

R

r

M

m

és a

G

gravitációs állandó segítségével!

1.2. Egy harmadik, infinitezimálisan kicsi

μ

tömegű testet úgy helyezünk el, hogy azonos síkban, körpályán mozogjon a közös tömegközéppont körül, és maradjon nyugalomban az

M

és

m

tömegű testekhez képest, ahogy az 1. ábrán látható. Tegyük fel, hogy ez a test nem esik egy egyenesbe az

M

és

m

testekkel. Fejezd ki a következő mennyiségeket

R

és

r

függvényében:
1.2.1.

μ

és

M

távolságát,
1.2.2.

μ

és

m

távolságát,
1.2.3.

μ

és a tömegközéppont távolságát.

1. ábra. Három test pályája egy síkban

1.3. Tekintsd az

M = m

esetet. A

μ

testet kicsit kitérítjük radiális irányban (az

O

‐

μ

egyenes mentén). Mekkora

μ

egyensúlyi helyzet körüli rezgésének körfrekvenciája

ω_{0}

-lal kifejezve? Tedd fel, hogy

μ

perdülete megmarad.
A Laser Interferometry Space Antenna (LISA) három egyforma űrhajó együttese a kisfrekvenciás gravitációs hullámok detektálására. A három űrhajó egy szabályos háromszög csúcsaiban helyezkedik el, ahogy a 2. és 3. ábrán látható. Az oldalak (más néven ,,karok'') kb. 5,0 millió km hosszúak. A LISA-együttes egy, a Földéhez hasonló pályán

20^{\circ}

-kal lemaradva követi a Nap körül a Földet. Mindegyik űrhajó egy saját, kicsit döntött pályán kering a Nap körül. Ennek eredményeként a három űrhajó keringeni látszik a közös középpontjuk körül, évente egy fordulatot megtéve.

2. ábra. A LISA pálya vázlata. A három űrhajó közös középpontjuk körül kering 1 éves periódusidővel. Kezdetben

20^{\circ}

-kal lemaradva követik a Földet^{$^{*}$}

3. ábra. A Földet követő három űrhajó nagyított képe.

A

B

és

C

a három űrhajó a szabályos háromszög csúcsaiban

Az űrhajók folyamatosan lézerjeleket bocsátanak ki és fogadnak egymás közt. A gravitációs hullámokat úgy mutatják ki, hogy a karok hosszának kicsiny változásait detektálják interferometriás módszerekkel. Gravitációs hullámok pl. úgy keletkezhetnek, hogy nagytömegű testek (pl. fekete lyukak) ütköznek a szomszédos galaxisokban.

1.4. A három űrhajó síkjában mekkora egy űrhajó relatív sebessége egy másik űrhajóhoz képest?

2. feladat. Elektromosan töltött szappanbuborék
Egy gömb alakú szappanbuborék belsejében a levegő sűrűsége

ϱ_{i}

, a hőmérséklet

T_{i}

, a buborék sugara

R_{0}

, amit

ϱ_{a}

sűrűségű,

P_{a}

atmoszférikus nyomású és

T_{a}

hőmérsékletű külső levegő vesz körül. A szappanhártya felületi feszültsége

γ

, sűrűsége

ϱ_{s}

, vastagsága pedig

t

. A szappanhártya tömege és felületi feszültsége nem változik a hőmérséklet változásával. Feltehetjük, hogy

R_{0} ≫ t

.
Jól ismert, hogy a

d E

energia, ami a szappanhártya-levegő egy oldali határfelületét

d A

területtel megnöveli, így adható meg:

d E = γ d A

, ahol

γ

a hártya felületi feszültsége.

2.1. Fejezd ki a

\frac{ϱ_{i} T_{i}}{ϱ_{a} T_{a}}

arányt a következő változókkal:

γ

P_{a}

és

R_{0}

2.2. Add meg a

\frac{ϱ_{i} T_{i}}{ϱ_{a} T_{a}} - 1

kifejezés számszerű értékét a következő adatok felhasználásával:

γ = 0, 0250 {Nm}^{- 1}

R_{0} = 1

,00 cm, illetve

P_{a} = 1, 013 \cdot 10^{5} {Nm}^{- 2}

2.3. Kezdetben a buborék belsejében a levegő melegebb, mint kívül. Add meg számszerűen azt a minimális

T_{i}

belső hőmérsékletet, ami elegendő ahhoz, hogy a buborék lebegjen a nyugvó levegőben! Az előzőekben megadottakkal együtt használd fel a következő adatokat:

T_{a} = 300

ϱ_{s} = 1000 {kgm}^{- 3}

ϱ_{a} = 1, 30 {kgm}^{- 3}

t = 100

nm és

g = 9, 80 {ms}^{- 2}

.
A keletkezése után hamarosan a buborék hőmérsékleti egyensúlyba kerül a környezetével. Természetesen ekkor a buborék a talaj felé esik, ha a levegő nem mozog.

2.4. Add meg paraméteresen a felfelé áramló levegő minimális

u

sebességét, ami ahhoz kell, hogy megakadályozza a termikus egyensúlyban lévő buborék leesését! Válaszodat add meg

ϱ_{s}

R_{0}

g

t

és a levegő

η

viszkozitása segítségével! Feltételezheted, hogy az áramlási sebesség olyan kicsiny, hogy a Stokes-törvény alkalmazható, továbbá elhanyagolhatod a buborék sugarának változását, miközben a hőmérséklet a buborék belsejében az egyensúlyi értékre csökken. A Stokes-törvény így adja meg a közegellenállási fékező erőt:

F = 6 π η R_{0} u

2.5. Számítsd ki az

u

áramlási sebesség számszerű értékét, ha

\begin{matrix} η = 1, 8 \cdot 10^{- 5} kg \cdot m^{- 1} s^{- 1} . \end{matrix}

Az eddigi számítások azt sugallják, hogy a

γ

felületi feszültség figyelembe vétele csak nagyon kis mértékben befolyásolja az eredmények pontosságát. A további alkérdések esetében hanyagold el a felületi feszültségből adódó tagokat.

2.6. Most a gömb alakú buborék legyen egyenletesen feltöltve

q

töltéssel. Vezess le egy olyan egyenletet, ami tartalmazza a buborék

R_{1}

új sugarát, továbbá a következő mennyiségeket:

R_{0}

P_{a}

q

és a vákuum

ε_{0}

permittivitását (más néven a vákuum dielektromos állandóját)!

2.7.

Tegyük fel, hogy a buborék teljes töltése nem túlságosan nagy (azaz

\frac{q^{2}}{ε_{0} R_{0}^{4}} ≪ P_{a}

), és ezért a buborék sugarának növekedése kicsiny. Add meg közelítőleg a buborék sugarának

Δ R

megváltozását, ahol

R_{1} = R_{0} + Δ R

! Használd a következő közelítést:

{(1 + x)}^{n} \approx 1 + n x

, ha

x ≪ 1

2.8. Fejezd ki a buborék álló levegőben való lebegéséhez szükséges

q

töltést a következő mennyiségek függvényében:

t

ϱ_{a}

ϱ_{s}

ε_{0}

R_{0}

P_{a}

! Számítsd ki a

q

töltés számszerű értékét is! A vákuum permittivitása:

ε_{0} = 8, 85 \cdot 10^{- 12}

farad/m.

3. feladat. Ion szóródása semleges atomon

(100 éves a Rutherford-atommodell)
Egy

m

tömegű,

Q

töltésű iont indítunk nagyon távolról, nemrelativisztikus

v_{0}

kezdeti sebességgel egy

M ≫ m

tömegű, semleges atom felé, melynek elektromos polarizálhatósága

α

. Az ütközési paraméter nagysága

b

(lásd a 4. ábrát).

4. ábra

A közeledő ion

\vec{E}

elektrosztatikus tere folyamatosan polarizálja az atomot, melynek következtében az atom

\begin{matrix} \vec{p} = α \vec{E} \end{matrix}

elektromos dipólmomentumra tesz szert. A feladat megoldása során minden sugárzási veszteséget hagyj figyelmen kívül!

3.1. Számítsd ki az

{\vec{E}}_{p}

elektromos térerősséget egy, az

O

origóban elhelyezkedő

\vec{p}

dipólmomentumú ideális elektromos dipólustól

r

távolságra a dipólus tengelye mentén (lásd az 5. ábrát)!

5. ábra

3.2. Vezesd le a polarizált atom által az ionra ható

\vec{f}

erő kifejezését! Mutasd meg, hogy ez az erő ‐ az ion töltésének előjelétől függetlenül ‐ vonzó jellegű.

3.3. Határozd meg az ion és az atom kölcsönhatásából származó elektromos potenciális energiát

α

Q

és

r

függvényében!
3.4. Határozd meg az ion és az atom közötti legkisebb, a 4. ábrán

r_{min}

-nel jelölt távolságot!

3.5. Ha a

b

ütközési paraméter kisebb egy kritikus

b_{0}

értéknél, az ion spirális pályán az atomba zuhan. Ebben az esetben az ion semlegesítődik, az atom töltése pedig megnő. Ez a folyamat ,,töltés-kicserélődési'' kölcsönhatás néven ismert. Mekkora az ion‐atom ütközés

A = b_{0}^{2} π

módon számolható hatáskeresztmetszete egy ilyen töltés-kicserélődéses folyamat esetén?

^{$^{*}$} A hivatalos megoldást és a mérési feladatokat a KöMaL novemberi számában ismertetjük.
A feladatok kidolgozására 5 óra állt rendelkezésre.

^{$^{*}$}Forrás: D. A. Shaddock, ``An Overview of the Laser Interferometer Space Antenna'', Publications of the Astronomical Society of Australia, 2009, 26, pp. 128‐132.