Cím: Három egyszerű népességdinamikai modell
Szerző(k):  Simonovits András 
Füzet: 2013/március, 131 - 139. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Három egyszerű népességdinamikai modell
 

 
 
1. Bevezetés

Ebben az írásban a népességdinamika modellezésébe szeretném bevezetni azokat az igényes középiskolásokat, akiket érdekel a társadalmi jelenségek matematikai megfogalmazása.
Az egyes országok népességének (létszámának és korösszetételének) alakulása gazdaságilag és politikailag egyaránt érdekes. Miközben a harmadik világ jelentős részében még tart a népességrobbanás, a fejlett világ egyes országaiban drámai ütemű népességfogyás és öregedés tapasztalható. Például Magyarországon az 1980-as 10,7 milliós népességmaximum elérése óta ma már 10 millió alá csökkent a létszám. De ennél sokkal súlyosabb a nemzedéki (korosztályi) arányok eltolódása: jelenleg az idősek (60 éven felettiek) aránya 20%, de 2050-re 40% várható. Nem nehéz belátni, hogy ezek a fejlemények feszültségekhez vezetnek a nyugdíj- és az egészségügy területén, bár az optimisták szerint az idősek egészségi állapotának folyamatos javulása nyomán jelentősen emelkedik majd az idősek munkakínálata, s ez enyhíti e feszültségeket.
A társadalmi problémák jelentős részét matematikailag modellezzük, akárcsak a természettudományos problémákat. a) Egy jó modell elősegíti a probléma megértését, és b) a korábbi problémák megoldásában nyert tapasztalatokat alkalmazhatóvá teszi az újabb problémák kezelésében. Hasonlatokkal élve: a) más léptéket várunk egy Budapest-térképtől, mint egy Magyarország-térképtől. Mindkét térkép lehet jó is, rossz is, a céltól függően. Ha Budapestről Debrecenbe autózunk, akkor országos térképre van szükségünk; ha Pestről Budára megyünk, akkor viszont fővárosira. b) Ha tudjuk, hogy mitől függ az inga lengésideje, akkor megértjük az elektromos áramkörök rezgéseit is.
Már láttuk, hogy a demográfia fontos. Azt szeretném igazolni, hogy elméletileg is érdekes, és gazdag modellezési lehetőségei vannak. Három modellt mutatok be. Az első modell annyira egyszerű, hogy alig érdemli meg a modell nevet: az év eleji népesség egyenlő az előző év eleji népességgel + születések - halálozások. Ha feltesszük, hogy mind a születésszám, mind a halálozásszám arányos a népességgel, akkor egyszerűen alakul a népességszám stb.
A második és harmadik modell közös alapfeltevése, hogy az egyes korosztályok ugyanannyi évet fognak át. A második modellel a gyermekek‐szülők‐nagyszülők nemzedékeinek együttélése írható le. (Természetesen a nagyszülők a szülők szülei, de ezt a bonyodalmat figyelmen kívül hagyhatjuk.) Kulcsszerepet játszanak az átmeneti valószínűségek, amelyek azt mutatják, hogy egy adott gyermeknemzedék hányad része lesz szülő, illetve nagyszülő. A termékenységi együttható pedig azt mutatja, hogy egy átlagos családban hány gyermek van. A harmadik modellben eltekintek az időközi halandóságtól, elhagyom a nagyszülőket, de felbontom a szülőket fiatalabb és idősebb részre. Nemcsak kvalitatív, de kvantitatív eredményekhez jutunk: hogyan függnek a népesség növekedési üteme és korosztályi arányai a túlélési valószínűségektől és a termékenységi együtthatótól?
Az elemzésben először felírjuk az alapösszefüggéseket, majd egyszerűsítésként feltesszük, hogy a termékenységi együtthatók és túlélési valószínűségek időben állandók: ún. stabil népesség. A lineáris differenciaegyenlet-rendszerek elméletet menetközben elmagyarázva, majd alkalmazva, érdekes tételeket mondunk ki és bizonyítunk be. Végül levonok néhány következtetést.
 
 
2. Születés és halálozás

Bár elvileg minden pillanatban születik egy csecsemő és meghal egy aggastyán, a gyakorlatban célszerűtlen évesnél finomabb bontású népességmodellekkel dolgoznunk. (Elméleti elemzésben azonban jogosult lehet folytonos koreloszlás alkalmazása is, de az nagyon elbonyolítja a matematikai elemzést.) A legegyszerűbb demográfiai modellben nincsenek korosztályok. Éves keretben dolgozva, jelölje a naptári éveket t=0,1,..., a születések számát Bt, a halálozásokét Dt, végül a népesség év eleji értékét Nt. Könnyen belátható a következő azonosság:
Nt+1=Nt+Bt-Dt,t=0,1,....
Ha ismerjük a (Bt) és (Dt) sorozatot, és N0 kezdőértéket, akkor ismert a népesség bármilyen évi értéke.
Kicsit továbbjutunk, ha az adott évbeni születések és a halálozások számát arányosnak vesszük az az év eleji népességszámmal, ahol bt és dt rendre a születési és halálozási arányszám: Bt=btNt és Dt=dtNt. Behelyettesítve a második egyenletet az elsőbe:
Nt+1=Nt+btNt-dtNt=(1+bt-dt)Nt,t=0,1,....

Ezzel eljutottunk a legegyszerűbb tételhez.
 
1. tétel. a) Ha a születési arányszám minden évben nagyobb mint a halálozási, akkor a népességszám nő. b) Ha a születési arányszám minden évben kisebb mint a halálozási, akkor a népességszám csökken. c) Ha a születési arányszám minden évben azonos a halálozásival, akkor a népességszám állandó.
 

1. táblázat. Születések, halálozások, népesség, Magyarország, ezer fő
 

évSzületési számHalálozási számNépességtBtDt   Nt1950   190,4    110,0   9 2931960   146,5    101,5   9 9611970   151,8    120,2   10 3221980   146,7    145,4   10 7091990   125,7    145,7   10 3752000   97,6    135,6   10 2222010   90,3    130,4   10 014  
[b!ht
Figyeljük meg, hogy a tételben nem tesszük fel, hogy a születési és halálozási arányok időben változatlanok, csak a különbségük előjeléről beszélünk. A valóságban nem is volna helyes feltenni, hogy ezek az arányok időben változatlanok, hiszen például ha egy ország népességéből eltűnnének a szülőképes nők, akkor a népesség hosszabb távon kihalásra van ítélve. Ideje áttérni egy reálisabb modellre. De még beillesztjük az 1. táblázatot, amely válogatott évekre tartalmazza a hazai népesség szülési, halálozási és állományi adatait. (Ha a táblázattal akarnánk ellenőrizni az alapegyenlet érvényességét, akkor vagy minden évet fel kellett volna tüntetnünk, vagy összesíteni kellett volna az évtizedes születéseket és halálozásokat!)
 
 
3. Gyermekek, szülők, nagyszülők

Mostantól kezdve a népességet korosztályokra tagoljuk. A középiskolai keretekre való tekintettel azonban az éves bontásnál jóval durvább tagolással élünk: csak 3 nemzedéket különböztetünk meg. Ebben a modellünkben gyermekeket, szülőket és nagyszülőket különböztetünk meg. Legyen egy elemzési időszak hossza 25 év, ezt régen emberöltőnek nevezték. A naptári időszakok indexe t=0,1,....
Legyen a t-edik időszakban a gyermekek száma Kt, a szülőké Wt és a nagyszülőké Pt. A népesség teljes létszáma Nt=Kt+Wt+Pt. A demográfusok megkülönböztetik a következő három függőségi hányadost, ahol a szülők létszámához viszonyítják a gyermekek, a nagyszülők, illetve a gyermekek és a nagyszülők létszámát.
 

Fiatalkori függőségi hányados:
kt=KtWt.
Időskori függőségi hányados:
pt=PtWt.
Teljes függőségi hányados:
dt=Kt+PtWt=kt+pt.
Ezek a hányadosok mutatják, hogy milyen teher hárul a szülőkre a gyermekek és a nagyszülők eltartásában. (Az eltartás szó nem azt jelenti, hogy a gyermekek és az idősek henyélők!) Például a gazdasági fejlődés korai szakaszaiban a fiatalkori függőségi hányados nagyon nagy, 1 közeli, nehézzé téve a magas színvonalú kötelező iskolai képzés finanszírozását. A fejlődés késői szakaszában viszont az időskori függőségi hányad nagy, 1 közeli érték, megdrágítva a nyugdíj- és egészségügyi rendszer finanszírozását. A teljes függőségi hányad viszonylag stabil. A 2. táblázat a magyar népességre mutatja be e mutatók alakulását (azonban ideiglenesen lemondva arról a kulcsfeltevésünkről, hogy a korosztályok azonos számú évjáratot tartalmaznak).
 
2. táblázat. Korosztályi és függőségi hányadok alakulása Magyarországon
 
 Gyermekek   Idősek   Időskori   Teljes  Évarányafüggőségi hányadt Kt/Nt    Pt/Nt    pt    dt   1970   0,283   0,131    0,224  0,7062000   0,236   0,146    0,236  0,6182050   0,189   0,262    0,477  0,821  
 

Megjegyzés: gyermekek: 0‐19 év, idősek: 65‐. 2050: előrejelzés.
[h!tb
Visszatérünk az azonos számú évjáratokat tartalmazó modellhez. Az adott korosztály létszámcsökkenését a 0 és 1 közti αt és ωt pozitív számok, az ún. túlélési valószínűségek határozzák meg, amelyek feltevésünk szerint kívülről adottak:
Wt=αtKt-1ésPt=ωtWt-1.
Az időben változó φt termékenységi együttható pedig kapcsolatot teremt a szülők és a gyermekek száma között:
Kt=φtWt,φt>0.

Megjegyezzük, hogy korábban nagyfokú volt a gyermekhalandóság, s ezen belül a csecsemő halandóság. Például 100 évvel ezelőtt hazánkban még minden ötödik csecsemő meghalt 1 éves kora előtt, és még 50 évvel ezelőtt is minden huszadik csecsemő meghalt. Ma már a csecsemőhalandóság gyakorlatilag megszűnt. Magas csecsemőhalandóság esetén félrevezető termékenységi egyenletünk. Hasonló a helyzet a szülői és a nagyszülői halandósággal.
A termékenységi együttható általában tört szám, s ez csak úgy értelmezhető, hogy vannak családok, ahol 0, 1, 2 stb. számú csecsemő születik, és ezek gyakorisága időben változik, jelük f0,t, f1,t, f2,t, f3,t. Képletben:
φt=f1,t⋅1+f2,t⋅2+f3,t⋅3+....
A továbbiakban e bonyodalommal nem foglalkozunk.
Szokás korfáról beszélni, amikor a vízszintes tengelyre mérjük föl a korosztályok létszámát, és a függőlegesre a korosztály életkorát, balra a nőkét, jobbra a férfiakét. Mi az egyszerűség kedvéért egynemű népességet modellezünk, elhanyagolva a férfi és női szaporodási szerepek közti alapvető különbségeket. Bármilyen visszásnak látszik e feltevés, a demográfiában nagyon elfogadott és hasznos. Az interneten számos valóságos és képzelt korfát találhatunk.
A rendszer dinamikájának meghatározásához meg kell adnunk két kezdőértéket: W-1-et és W0-t. Ekkor meghatározható P0=ω0W-1 és K0=φ0W0 stb. De mélyebb értelemben W-1-re nincs igazából szükségünk. Ha ismert W0, akkor ismert K0 is, és abból már t≥1-re minden ismert.
A 3. táblázat szemlélteti az idealizált kínai népességdinamikát, halandóság nélkül: αt=1 és ωt=1. Számolási könnyebbség kedvéért a kezdő időszak szülőinek létszámát vesszük 1 egységnek. Abszolút számokra gondolva 1950-ben Kínának körülbelül 0,5 milliárd lakója volt, jelenleg pedig körülbelül 1,4 milliárd lakója van. Ismert, hogy 1925‐1975 között a sokgyermekes család volt tipikus Kínában, vegyünk például 4 gyermeket: φ0=2 volt (egy család 2 felnőttből állt, a férjre és a feleségre 2-2 gyermek jutott). Aztán a Mao Ce-tung halála után a kirakatpereket túlélő kínai politikusok végre valahára felfedezték, hogy egy ilyen gyorsan szaporodó népesség nem fér el Kínában, és hajtűkanyart téve, bevezették az egygyermekes családmodellt, φ1=0,5-del. De a késleltetés miatt a népességszám egyelőre nem csökken. Nagyon elnagyolt modellünk 2025-ig vár, hogy visszatérjen a kétgyermekes családmodellhez, de akkorra már felére csökkenne a népesség.
 
3. táblázat. Stilizált kínai népességdinamika
 
  Teljes  Modell-  Negyed-  Termé-    Gyermek  Szülők    Nagyszülők    Összesenfüggőségiidő  század  kenység  létszáma  hányadt   ‐  φt   Kt   Wt   Pt   Nt   dt-1-1925‐  2,5     2    1    0,53,5  2,50  1950‐  2,5     4    2    1,5     7,5   2,51  1975‐  0,5    2    4    2,5     8,5   1,52  2000‐  0,5    1    2    4,5     7,5   2,53  2025‐  1,5     1    1    2,5     4,5   3,5
[h!tb
A 3. táblázat utolsó oszlopa élesen megvilágítja a kínai gazdasági csoda egyik forrását: az elmúlt évtizedekben a teljes függőségi hányad 2,5-ről ideiglenesen 1-re csökkent, de majd vissza fog térni a magas értékre.
A népességtudományban kiemelkedő szerepet játszik az ún. stabil népesség fogalma. Egy népességet stabilnak nevezünk, ha a korosztályi arányai állandók. Képletben:
kt=k0éspt=p0,t=0,1,...,
Fontos speciális eset a stacionárus népesség, azaz amikor nemcsak az arányok, de maguk a korosztályi létszámok is állandók. Képletben:
Kt=K0ésPt=P0,t=0,1,...,

Legegyszerűbben állandó termékenységi és túlélési paraméterértékekkel lehet stabil népességeket előállítani. Tegyük föl, hogy φt=φ, αt=α és ωt=ω.
Ekkor belátható a következő tétel.
 
2. tétel. Állandó túlélési és termékenységi paraméterértékek esetén a népesség stabil és a növekedési tényezője ν=αφ. Ha ν=1, akkor a népesség stacionárius.
 
Bizonyítás. Behelyettesítve Wt=αKt-1-t Kt=φWt-be: Kt=φαKt-1, azaz a gyermekszám mértani sorozatot alkot, ν hányadossal. A Kt=φWt termékenységi egyenlet alapján ugyanez igaz a szülők létszámára is. Végül Pt=ωWt-1 szerint az idősek létszáma is ugyanazzal a növekedési ütemmel nő.  □
 
 

Érdekes a függőségi hányadosok alakulása.
 
3. tétel. Stabil népesség esetén a fiatalkori függőségi hányados kt=φ, az időskori függőségi hányados pt=ω/(αφ), míg a teljes függőségi hányados dt=kt+pt.
 
Bizonyítás. A fiatalkori függőségi hányados
kt=φWtWt=φ.
Az időskori függőségi hányados
pt=PtWt-1Wt-1Wt=ωαφ.□
 

Érdekes, hogy adott α, ω túlélési valószínűségek mellett a d teljes függőségi hányados a minimumát a
φ*=ωα
termékenységi együttható esetén éri el. Valóban, a számtani és a mértani közép összehasonlítása alapján
d=φ+ωαφ≥2ωα
teljesül, és a bal oldal a minimumát a két tag egyenlősége esetén éri el, azaz tényleg φ=φ*.
 
 
4. Fiatal és idős szülők modellje

Több szempontból is érdemes módosítani az előbbi modellt, és a szülőkön belül megkülönböztetni a fiatal és az idős szülőket. Ez annak felel meg, hogy az időszak hosszát lerövidítjük 25-ről 15 évre. Az egyszerűség kedvéért eltekintünk a termékenység és a halandóság változásától: a stabil népességre szorítkozunk. Sőt, eltekintünk a halandóságtól, és feltesszük, hogy senki sem hal meg idő előtt. Mint matematikailag felesleges toldaléktól, szintén eltekintünk az idősektől, pontosabban a terméketlen idősektől. A fiatal szülők számát Ut, az idős szülőkét pedig Vt jelöli; a fiatal és az idős szülők termékenységi együtthatóját rendre χ és ψ jelöli.
Újra felírjuk az alapegyenleteket, de most megbontva a két szülői kategóriát.
 

Túlélési egyenletek:
Ut=Kt-1ésVt=Ut-1=Kt-2.
Termékenységi egyenlet:
Kt=χUt+ψVt,χ≥0,ψ>0.

Az elemzés előtt a 4. táblázattal szemléltetjük modellünket. Legyen χ=ψ=0,5 és K-1=60000 és K0=40000. Látni fogjuk, hogy φ=1 miatt a népesség egy stacionárius népességhez tart.
 
4. táblázat. Számított népességdinamika
 
Időszak  Gyermekek  Fiatal szülők    Idős szülőkt    Kt    Ut    Vt   0    40 000    60 000    ‐  1    50 000    40 000    60 000  2    45 000    50 000    40 000  3    47 500    45 000    50 000  4    46 250    47 500    45 000  5    46 875    46 250    47 500  6    46 563    46 875    46 250  7    46 719    46 563    46 875  8    46 641    46 719    46 563  9    46 680    46 641    46 719  
[h!tb
Akinek jó szeme van, az láthatja, hogy a folyamat tart egy végállapothoz, ahol K*=U*=V*=46667. (A határérték valójában egy végtelen tizedestört: 46666,666..., de ennek nincs gyakorlati jelentősége.)
Visszatérünk az elméleti elemzéshez. Behelyettesítve a túlélési egyenleteket a termékenységi egyenletbe, egy érdekes rekurziót kapunk az egymást követő gyermekszámok között:
Kt=χKt-1+ψKt-2,t=0,1,...K-1,K-0adott.

Ilyen feladatot először Fibonacci pisai matematikus vizsgált először 1202-ben, de ő nem tudta a megoldást zárt alakban előállítani. Szerencsére 1740 körül
Leonhard Euler talált egy viszonylag egyszerű módszert az ún. másodrendű homogén lineáris rekurzió megoldására, ezt ismertetjük a következőkben. (Egyébként Euler volt a valaha élt egyik legnagyobb és legtermékenyebb matematikus, a stabil népesség elméletét is ő dolgozta ki.)
Most is mértani sorozat alakjában keressük a megoldást: Kt=κλt, ahol κ és λ valós számok. Behelyettesítjük a feltételezett megoldást a rekurzióba:
λt=χλt-1+ψλt-2.
Egyszerűsítés után a
λ2=χλ+ψ
másodfokú egyenlethez jutunk. Ennek az egyenletnek két különböző valós gyöke van, és ezek lineáris kombinációjaként adódik a megoldás. Pontosabban a következő igaz.
 
4. tétel. a) A rekurzió általános (kezdeti értéktől független) megoldása
Kt=κ1λ1t+κ2λ2t
alakú, ahol λ1,2 a
λ2-χλ-ψ=0
másodfokú egyenlet két különböző valós megoldása, valamint κ1 és κ2 tetszőleges valós szám.
b) Adott kezdeti feltételek mellett a (κ1,κ2) együtthatópár egyértelműen meghatározható a következő lineáris egyenletrendszerből:
K0=κ1+κ2ésK-1=κ1λ1-1+κ2λ2-1.
 

 
Bizonyítás. Ha χ>0 és ψ>0, akkor a gyökök és együtthatók összefüggése alapján λ1+λ2=χ<0 és λ1λ2=-ψ<0, azaz λ1>0>λ2>-λ1. Ha χ=0, akkor λ2=-λ1; ha ψ=0, akkor λ2=0.
a) Ha mindkét λt megoldás kielégíti a rekurziót, ekkor tetszőleges lineáris kombinációjuk is kielégíti. b) Konstrukciója miatt a választott kombináció kielégíti a két kezdeti feltételt.
Adós maradok annak az igazolásával, hogy más megoldás nincs, ami kétszeres gyök esetén nem is igaz. (Külön bonyodalmat okoz, amikor a másodfokú egyenletnek nincs valós gyöke, de ez is megoldható.)  □
 
 

Tovább finomítjuk az elemzést. Kizárjuk az atipikus χ=0 esetet. (A kizárt esetben Kt+1/Kt növekedési tényező ciklikusan változik!) Általában nem igaz, hogy a népesség stabil, hiszen két különböző mértani sorozat zavarja egymást. (A kivételes eset ψ=0!) Mivel a negatív gyök abszolút értéke kisebb mint a pozitív gyök, még inkább áll egyre magasabb hatványaikra, tehát az aszimptotikus megoldás κ1λ1t, κ1≠0.
Igazoltuk tehát a következő tételt.
 
5. tétel. a) Ha χ>0, akkor a Kt megoldás aszimptotikusan tart a κ1λ1t pályához, κ1>0.
b) Ha χ+ψ>1, akkor a népesség létszáma növekvő; ha χ+ψ<1, akkor a népesség létszáma csökkenő; végül ha χ+ψ=1, akkor a népesség létszáma állandó.
 

Végül egy érdekes állítást igazolunk, amely megvilágítja, hogy milyen fontos hatással van a stabil népesség növekedési ütemére az, hogy az adott termékenység hogyan oszlik meg a fiatal és az idős szülők között. Az egyszerűség kedvéért továbbra is eltekintünk az idő előtti halálozástól.
 
6. tétel. Stabil népességen belül rögzítjük a φ=χ+ψ együttes termékenységi arányszámot. a) Csökkenő népességben (φ<1), minél kisebb a fiatalkorú szülések aránya, annál lassabban csökken a népesség: ν(χ)<1 növekvő függvény. b) Növekvő népességben (φ>1), minél kisebb a fiatalkorú szülések aránya, annál lassabban nő a népesség: ν(χ)>1 csökkenő függvény. c) Állandó létszámú népességben (φ=1) a születések eloszlása közömbös: ν(χ)=1.
 
Bizonyítás. Már beláttuk, hogy a ν növekedési tényező másodfokú egyenletünk nagyobbik gyöke:
ν=χ+χ2+4(φ-χ)2.
A ν(χ) deriválásával mechanikusan belátható állításunk, de elemi meggondolás is segít.
Vegyünk egy csökkenő stabil népességet. Ebben a korosztályok létszáma monoton időben csökken. A fiatal szülők létszáma kisebb mint az időseké, tehát szerepük csökkenése lassítja a népességszám csökkenési ütemét.  □
 

 
 
5. Következtetések

 
Mondandónk végére értünk. Bemutattunk három népességdinamikai modellt: az elsőben az életkor alig játszott szerepet. A másodikban a szülőkorúak nem voltak megbontva, a harmadikban ketté voltak bontva. A második modell viszonylag egyszerű volt, és annak elemzésekor még arra is volt módunk, hogy a túlélési valószínűségeket és az időskorúakat is figyelemmel kísérjük. A harmadik modellben a másodrendű rekurzió kezelése annyira lefoglalta erőnket, hogy lemondtunk ezekről a bonyodalmakról. Megismerkedtünk viszont egy új technikával, amely elvileg lehetővé teszi, hogy tetszőleges korosztályra bontva elemezzük a népességdinamikai modellt. Ez azonban már felsőbb matematikai ismereteket igényelne, és erről itt lemondtunk.
 
Simonovits András