Cím:	Jelentés a 2012. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről
Szerző(k):	Fleiner Tamás
Füzet:	2013/február, 68 - 70. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Kürschák József (korábban Eötvös Loránd), Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Jelentés a 2012. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyről   A Bolyai János Matematikai Társulat a 2012. évi Kürschák József Matematikai Tanulóversenyt október 5-én, 14 órai kezdettel rendezte meg a következő húsz helyszínen: Békéscsaba, Bonyhád, Budapest, Debrecen, Eger, Győr, Kaposvár, Kecskemét, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Salgótarján, Sopron, Szeged, Székesfehérvár, Szolnok, Szombathely, Tatabánya, Veszprém és Zalaegerszeg. A Társulat elnöksége a verseny lebonyolítására az alábbi bizottságot kérte fel: Biró András, Fleiner Tamás (elnök), Frenkel Péter (titkár), Kós Géza, Maga Péter, Pach Péter Pál, Pelikán József. A bizottság július 23-i ülésén a következő feladatokat tűzte ki:   1. Az $ABC$ háromszög $A$-val, illetve $B$-vel szemközti hozzáírt köreinek középpontjait jelölje $J_A$, illetve $J_B$. Húzzuk meg a körülírt kör egy olyan $PQ$ húrját, amely párhuzamos az $AB$ oldallal, továbbá metszi az $AC$ és $BC$ oldalszakaszokat. Az $AB$ és $CP$ egyenesek metszéspontja legyen $R$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle J_{A}Q{J}_B\sphericalangle +J_{A}R{J}_B\sphericalangle ={180}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$   2. Jelölje $E\left(n\right)$ az $n$ pozitív egész szám $2$-es számrendszerbeli felírásában az $1$-esek számát. Nevezzünk egy $n$ pozitív egész számot érdekesnek, ha $n$ osztható $E\left(n\right)$-nel. Bizonyítsuk be, hogy $\left(a\right)$ nem lehet $5$ egymás utáni pozitív egész szám mindegyike érdekes, továbbá, hogy $\left(b\right)$ végtelen sok olyan $n$ pozitív egész szám van, amelyre az $n$, $n+1$ és $n+2$ számok mindegyike érdekes.   3. Tekintsünk $n$ eseményt, amelyek mindegyikének valószínűsége $\frac{1}{2}$, továbbá bármelyik kettő együttes bekövetkezésének valószínűsége $\frac{1}{4}$. $\left(a\right)$ Igazoljuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be, legfeljebb $\frac{1}{n+1}$. $\left(b\right)$ Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan $n$ természetes szám létezik, amelyre megadhatók az események oly módon, hogy pontosan $\frac{1}{n+1}$ legyen annak a valószínűsége, hogy egyik sem következik be.     A bizottság a beérkezett dolgozatok átnézése után, november 2-i ülésén a következő jelentést fogadta el: ,,A verseny minden helyszínen rendben zajlott le. Budapesten a megjelent 68-ból 65, míg a további helyszíneken összesen 41 versenyző adott be dolgozatot. Ezek a számok valamivel felülmúlják a tavalyiakat, reméljük a következő években még többen vesznek részt a versenyen. Az idei versenyen (akárcsak a tavalyin) a második feladat bizonyult a legkönnyebbnek. Az első feladatra négy helyes megoldás született, a harmadik feladatot azonban egyetlen versenyző sem tudta megoldani, bár néhányan részeredményt értek el a nehezebb $\left(a\right)$ részben és hatan lényegében helyesen oldották meg a könnyebb $\left(b\right)$ részfeladatot. Egyetlen versenyző dolgozata emelkedik ki a mezőnyből, aki az első két feladat világos és helyes megoldása mellett a harmadikban is lényeges eredményt ért el. Ezért a teljesítményéért a bizottság   Kürschák József díjat és 30 000 Ft pénzjutalmat adományoz   Janzer Olivérnek, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 12. osztályos tanulójának (tanárai Táborné Vincze Márta, Kiss Géza, Dobos Sándor, Pósa Lajos és Surányi László).   Két olyan versenyző akadt, aki egy teljes feladat és egy másik feladat könnyebb részének helyes megoldása mellett a nehezebb részben is lényeges részeredményt ért el. Ezért I. dicséretben és 8 000 Ft pénzjutalomban részesül   Gyarmati Máté, a pécsi Leőwey Klára Gimnázium érettségizett tanulója (tanárai Bereczkiné Székely Erzsébet, Ruff János és Dobos Sándor), aki jelenleg az ELTE matematika szakos hallgatója, és   Havasi Márton, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 12. osztályos tanulója (tanárai Táborné Vincze Márta, Kiss Géza, Dobos Sándor, Surányi László és Pósa Lajos). További hat versenyzőnek sikerült egy feladat helyes megoldása mellett egy másik feladat könnyebbik részét is lényegében helyesen megoldania. Így   II. dicséretet és 6 000 Ft pénzjutalmat kapnak   Ágoston Tamás, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. érettségizett tanulója (tanárai Surányi László, Hegedűs Pál, Táborné Vincze Márta, Dobos Sándor és Pósa Lajos),   Janzer Barnabás, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 10. osztályos tanulója (tanárai Dobos Sándor, Gyenes Zoltán és Pósa Lajos),   Machó Bónis, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 11. osztályos tanulója (tanárai Hraskó András és Hegedűs Pál),   Sándor András, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. érettségizett tanulója (tanárai Surányi László, Hegedűs Pál, Pósa Lajos, Dobos Sándor és Táborné Vincze Márta), aki jelenleg az ELTE matematika szakos hallgatója,   Szabó Attila, a pécsi Leőwey Klára Gimnázium 12. osztályos tanulója (tanárai Kiss Zoltán és Pósa Lajos), valamint   Tardos Jakab, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 12. osztályos tanulója (tanárai Táborné Vincze Márta, Kiss Géza, Dobos Sándor és Pósa Lajos).   Végül három tanuló oldott meg helyesen egy feladatot és ért el lényeges részeredményt egy másik feladat könnyebb részében. Mindezért   III. dicséretet és 4 000 Ft pénzjutalmat vehet át   Herczeg József, a szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Ginmnázium 11. osztályos tanulója (tanárai Schultz János és Mike János),   Kabos Eszter, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 11. osztályos tanulója (tanárai Hraskó András, Kiss Gergely, Hegedűs Pál, Dobos Sándor, Surányi László, Juhász Péter, Pósa Lajos és Frenkel Péter), valamint   Medek Ákos, a Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn. 12. osztályos tanulója (tanárai Táborné Vincze Márta és Kiss Géza). A versenybizottság ezúton köszöni meg minden versenyző és felkészítő tanár munkáját, a díjazottaknak pedig további sikereket kívánva szívből gratulál.''