Cím:	Megoldásvázlatok a 2012/9. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2013/január, 14 - 22. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldásvázlatok a 2012/9. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz   Számadó László   I. rész     1. Értelmezzünk az $\text{R}\setminus \left\{3;4\right\}$ halmazon az $f\left(x\right)=\frac{x-671}{x-4}-\frac{x-503}{x-3}$ hozzárendeléssel egy függvényt. $a)$ Határozzuk meg az $f$ függvény zérushelyeit. $b)$ Benne van-e az $f$ értékkészletében a $-417?$ Ha igen, akkor adjuk meg az értelmezési tartomány megfelelő elemeit.  (11 pont)   Megoldás. $a)$ Keressük azokat az $x$ értékeket, amelyre $f\left(x\right)=0$, azaz oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-671}{x-4}-\frac{x-503}{x-3}=0.}\end{array}$ A bal oldalon a törteket írjuk közös nevezővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(x-671\right)\left(x-3\right)-\left(x-503\right)\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}=0.}\end{array}$ A tört értéke akkor nulla, ha a számlálója nulla, vagyis: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(x-671\right)\left(x-3\right)-\left(x-503\right)\left(x-4\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x^2-674x+2013\right)-\left(x^2-507x+2012\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -167x+1=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{1}{167}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az $f$ függvénynek az $\frac{1}{167}$ az egyedüli zérushelye. $b)$ Most azokat az $x$ értékeket keressük, amelyre $f\left(x\right)=-417$, azaz oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x-671}{x-4}-\frac{x-503}{x-3}=-417.}\end{array}$ A bal oldalon a törteket most is közös nevezővel írjuk, majd rendezzük az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{\left(x-671\right)\left(x-3\right)-\left(x-503\right)\left(x-4\right)}{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}=\frac{-167x+1}{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}=-\mathrm{417,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -167x+1=-417\left(x-4\right)\left(x-3\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 417x^2-3086x+5005=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_{1;2}=\frac{3086\pm \sqrt[]{{3086}^2-4\cdot 417\cdot 5005}}{2\cdot 417}=\frac{3086\pm 1084}{834}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Vagyis $x_1=5$, $x_2=\frac{1001}{417}$. Tehát $-417$ benne van az $f$ értékkészletében, és $f$ értelmezési tartományának két megfelelő eleme van, hiszen $f\left(5\right)=-417$ és $f(\frac{1001}{417})=-417$.   2. Egy folyóirat éves előfizetési díja 1750 Ft volt. A következő évre ezt megemelték 1800 Ft-ra. $a)$ Hány százalékos emelésről beszélhetünk? Az igazsághoz az is hozzátartozik, hogy amikor olcsóbb volt a folyóirat, akkor öt jelent meg évente, $32$, $32$, $32$, $32$ és $28$ oldalas terjedelemben. Amikor drágább lett, akkor évente csak négyet adtak ki, $36$, $48$, $40$ és $44$ oldalas terjedelemben. $b)$ Az előfizetők számára valójában milyen változást jelentett ez egy oldalra vonatkoztatva? $c)$ Mennyivel változott átlagosan egy folyóirat oldalszáma a vizsgált két évet összehasonlítva? $d)$ Adjuk meg mind a két évhez a megjelent folyóiratok oldalszámának szórását. $\begin{array}{c}\end{array}$ (13 pont)   Megoldás. $a)$ Mivel $\frac{1800}{1750}\approx 1\mathrm{,}029$, azért az előfizetési díj emelése kb. 3%-osnak mondható. $b)$ Az előfizetési díj emelése előtt $32+32+32+32+28=156$ oldalt kaptak az előfizetők, utána pedig $36+48+40+44=168$ oldalt. Az előfizetési díj emelése előtt egy oldal ára átlagosan   $\frac{1750}{156}\approx 11\mathrm{,}22$ Ft volt. Az emelés után egy oldal ára átlagosan $\frac{1800}{168}\approx 10\mathrm{,}71$ Ft lett. Vagyis egy oldalra vonatkoztatva árcsökkenésről beszélhetünk. Mivel $\frac{10\mathrm{,}71}{11\mathrm{,}22}\approx 0\mathrm{,}955$, így ez kb. 4,5%-os árcsökkentést jelent. $c)$ Az előfizetési díj emelése előtt egy újság átlagosan $\frac{156}{5}=31\mathrm{,}2$   oldalas volt. Az emelés után pedig $\frac{168}{4}=42$ oldalas lett. Vagyis egy folyóirat átlagosan 10,8 oldallal (azaz kb. 11 oldallal) lett több. $d)$ Használjuk a szórásra vonatkozó képletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle D\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{{\left(x_1-x\right)}^2+{\left(x_2-x\right)}^2+\text{...}+{\left(x_n-x\right)}^2}{n}}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ a számsokaság, $x$ pedig a számsokaság számtani közepe. Kezdetben a számtani közép 31,2 volt, ekkor a szórás: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle D_1\left(31\mathrm{,}2\right)}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{{\left(32-31\mathrm{,}2\right)}^2+{\left(32-31\mathrm{,}2\right)}^2+{\left(32-31\mathrm{,}2\right)}^2+{\left(32-31\mathrm{,}2\right)}^2+{\left(28-31\mathrm{,}2\right)}^2}{5}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =1\mathrm{,}6.}\hfill \end{array}}$ Aztán a számtani közép 42 lett, ekkor a szórás: $\begin{array}{c}{\displaystyle D_2\left(42\right)=\sqrt[]{\frac{{\left(36-42\right)}^2+{\left(48-42\right)}^2+{\left(40-42\right)}^2+{\left(44-42\right)}^2}{4}}\approx 4\mathrm{,}47.}\end{array}$   3. Adott három pont a koordinátarendszerben: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\left(980;-1\right)\mathrm{,}B\left(981;1\right)\mathrm{,}C\left(2^{1986};2\cdot 2^{1986}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $AB$ felezőpontjára tükrözve a $C$ pontot kapjuk a $D$-t. Határozzuk meg az $A$, $B$, $C$ és $D$ pontok által meghatározott négyszög területét.  (13 pont)   Megoldás. Az $AB$ felezőpontja: $F\left(980\mathrm{,}5;0\right)$. A középpontos tükrözés miatt a négyszög területe az $ABC$ háromszög területének kétszeresével lesz egyenlő. Mivel a $C$ pont második koordinátája kétszerese az elsőnek, azért az $OC$ egyenes ($O$ az origó) meredeksége 2. Az adott koordináták alapján az $AB$ egyenes meredeksége is 2. Ezek alapján $AB$ és $OC$ párhuzamos egyenesek, ezért az $OC$ egyenes tetszőleges pontja az $A$ és $B$ ponttal olyan háromszöget alkot, amelynek a területe egyenlő az $ABC$ háromszög területével (hiszen ezeknek a háromszögeknek az $AB$ oldalhoz tartozó magasságuk azonos hosszúságú). Ezen háromszögek közül határozzuk meg az $ABO$ területét. Mivel ennek a háromszögnek $OF$ a súlyvonala, így az $FBO$ háromszög területének dupláját kell vennünk. Mivel $OF=980\mathrm{,}5$, az ehhez az oldalhoz tartozó magasság hossza pedig 1, azért: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_{FBO}=\frac{980\mathrm{,}5\cdot 1}{2}\mathrm{,}{t}_{ABC}=t_{ABO}=2\cdot t_{FBO}=980\mathrm{,}5.}\end{array}$ A kérdéses négyszög területe: $T=2\cdot t_{ABC}=1961$.       Megjegyzés. Természetesen a megadott koordináták segítségével a hagyományos számolással is megkapható a terület. Például az $AB$ egyenes és a $C$ pont távolsága meghatározható. Ez lesz az $AB$ oldalhoz tartozó magasság.   4. Egy forgáskúp palástja olyan negyedkör, melynek sugara 10 cm. $a)$ Mekkora a kúp felszíne, térfogata? $b)$ A kúpot a magasság felénél, az alaplappal párhuzamos síkkal két részre vágjuk. Hogyan aránylik a két rész térfogata egymáshoz?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ A 10 cm sugarú negyedkörív $i$ hossza lesz a kúp alapkörének kerülete: $\begin{array}{c}{\displaystyle i=\frac{2\cdot 10\cdot \pi }{4}=5\pi \mathrm{.}}\end{array}$ Az alapkör sugara legyen $r$, ekkor $5\pi =2r\pi$, azaz $r=\mathrm{2,5}$ cm. A negyedkör sugara egyben a forgáskúp $a$ alkotója is lesz. Tudjuk, hogy $a^2=r^2+m^2$, ahol $m$ a kúp magasságával egyenlő. A rendelkezésünkre álló adatok alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\sqrt[]{a^2-r^2}=\sqrt[]{{10}^2-2\mathrm{,}{5}^2}=\sqrt[]{93\mathrm{,}75}\mathrm{.}}\end{array}$ Most már minden adatot ismerünk, hogy a felszínt és a térfogatot meghatározzuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =r^2\pi +r\pi a=2\mathrm{,}{5}^2\cdot \pi +2\mathrm{,}5\cdot \pi \cdot 10\approx 98\mathrm{,}2\left({\text{cm}}^2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{r^2\pi m}{3}=\frac{2\mathrm{,}{5}^2\cdot \pi \cdot \sqrt[]{93\mathrm{,}75}}{3}\approx 63\mathrm{,}4\left({\text{cm}}^3\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $b)$ A levágott kis kúp nyilván hasonló lesz az eredetihez.   A hasonlóság aránya: $\frac{1}{2}$. Tudjuk, hogy a térfogatuk aránya: $(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}$.   Azaz a fenti kis kúp az egésznek az $\frac{1}{8}$ része, a lenti csonkakúp az egésznek a $\frac{7}{8}$ része lesz. Vagyis $1:7$ a két rész aránya.   II. rész     5. $a)$ Igazoljuk, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[3]{15+4\sqrt[]{14}}+\sqrt[3]{15-4\sqrt[]{14}}}\end{array}$ gyöke az $x^3-3x-30=0$ egyenletnek. $b)$ Igazoljuk, hogy az $x^3-3x-18=0$ egyenletnek a $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\sqrt[3]{9+4\sqrt[]{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt[]{5}}}\end{array}$ az egyedüli gyöke.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Vegyük a megadott $a$ harmadik hatványát: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3=15+4\sqrt[]{14}+15-4\sqrt[]{14}+3\sqrt[3]{15+4\sqrt[]{14}}\sqrt[3]{15-4\sqrt[]{14}}(\sqrt[3]{15+4\sqrt[]{14}}+\sqrt[3]{15-4\sqrt[]{14}})\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a zárójeles kifejezés $a$-val egyenlő, továbbá tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{15+4\sqrt[]{14}}\sqrt[3]{15-4\sqrt[]{14}}=\sqrt[3]{\left(15+4\sqrt[]{14}\right)\left(15-4\sqrt[]{14}\right)}=\sqrt[3]{225-16\cdot 14}=\mathrm{1,}}\end{array}$ azért a fenti sor így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^3=30+3a\mathrm{,}{a}^3-3a-30=0.}\end{array}$ Ez pontosan azt mutatja, hogy az $x^3-3x-30=0$ egyenletnek gyöke az $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[3]{15+4\sqrt[]{14}}+\sqrt[3]{15-4\sqrt[]{14}}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Számológéppel megsejthető, hogy $b=3$ (és ez valóban gyöke az $x^3-3x-18=0$ egyenletnek). Igazoljuk ezt a sejtést. Vegyük a megadott $b$ harmadik hatványát: $\begin{array}{c}{\displaystyle b^3=9+4\sqrt[]{5}+9-4\sqrt[]{5}+3\sqrt[3]{9+4\sqrt[]{5}}\sqrt[3]{9-4\sqrt[]{5}}(\sqrt[3]{9+4\sqrt[]{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt[]{5}})\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a zárójeles kifejezés $b$-vel egyenlő, továbbá tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{9+4\sqrt[]{5}}\sqrt[3]{9-4\sqrt[]{5}}=\sqrt[3]{\left(9+4\sqrt[]{5}\right)\left(9-4\sqrt[]{5}\right)}=\sqrt[3]{81-16\cdot 5}=\mathrm{1,}}\end{array}$ azért a fenti sor így írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle b^3=18+3b\mathrm{,}{b}^3-3b-18=0.}\end{array}$ Ez azt jelenti, hogy az $x^3-3x-18=0$ egyenletnek gyöke a $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\sqrt[3]{9+4\sqrt[]{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt[]{5}}\mathrm{.}}\end{array}$ A harmadfokú egyenlet bal oldalát sejtésünk szerint olyan szorzattá lehet alakítani, amelynek egyik tényezője $x-3$. A megfelelő másodfokú tényező gyorsan megtalálható: $\left(x-3\right)\left(x^2+3x+6\right)=0$. A második tényezőnek nincs valós zérushelye, mert a diszkriminánsa negatív. Ezek szerint az eredeti egyenletnek a $b$ az egyedüli gyöke (és az valóban 3-mal egyenlő).   Megjegyzés. Megoldhatjuk a feladatot teljes köb $({\left(\frac{3+\sqrt[]{5}}{2}\right)}^3$ és ${\left(\frac{3-\sqrt[]{5}}{2}\right)}^3)$ használatával is.   6. Ibolya történelemórán a közvetett elnökválasztást egy elképzelt ország adatain keresztül mutatta meg tanítványainak: Bergengóciát nyolc álam alkotja, ezért hivatalosan a neve United States of Bergengócia (röviden USB). Bergengóciában a választópolgárok két párt közül választhatnak, majd a pártok meghatározott számú elektorjai választják meg az elnököt a két párt egy-egy jelöltje közül. Minden államban az utolsó népszámlálás adatai alapján határozzák meg az elektorok számát. A most érvényben lévő adatokat a következő táblázat mutatja:     Bergengócia lakói nagyon öntudatosak, így mindenki él a választójogával. Mindenki arra a pártra szavaz, amelynek az elektorjaitól a megfelelő elnököt reméli. Az a párt nyer, amelyik a legtöbb szavazatot kapja. Minden államban a megválasztott párt adja az összes elektort, és az elektorok ezek után szabadon választhatnak a két jelölt között (nem köti őket pártfegyelem). Minden államban az az elnökjelölt lesz a támogatott, aki az elektorok többségének szavazatát bírja, és ekkor az állam összes elektori támogatása erre a jelöltre száll. A legtöbb elektor által támogatott jelölt nyeri a választást. $a)$ Hány választó él átlagosan USB egy-egy államában? $b)$ Melyik államban kell a legtöbb, illetve a legkevesebb szavazat egy elektor megválasztásához? $c)$ Az egyik elnökjelölt nyilatkozata szerint biztosan ő lesz a nyertes, mert három állam támogatását is biztosra veszi. Melyik három államra gondolhatott? $d)$ Nyerhet-e valaki ezen a választáson, ha a választópolgároknak kevesebb, mint a $20\%$-a szerette volna, hogy ő legyen az elnök?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Adjuk össze a választók számát és vegyük a nyolcadát: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{283821+234171+179351+38021+28221+26991+5261+4171}{8}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{800008}{8}=100001.}\hfill \end{array}}$ Vagyis átlagosan 100 001 választó él USB egy-egy államában. $b)$ Vizsgáljuk a kérdést államonként. Minden államban a választók száma felének egészrésze és még 1 fő kell egy párt győzelméhez. Ekkor az összes elektort ez a párt adja. Vegyük a választók száma felének egészrészét, adjunk hozzá egy főt, és ezt osszuk az elektorok számával. Az így kapott hányadost mutatja a következő táblázat:   ${\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{ Aliforn}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14 191}}& {\displaystyle \text{,1 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Lorida}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 13 009}}& {\displaystyle \text{,6 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Rizon}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 810}}& {\displaystyle \text{,9 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Olorad}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6337 }}\\ {\displaystyle \text{Labama}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4703}}& {\displaystyle \text{,7 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Regon}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4498}}& {\displaystyle \text{,7 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Ebrasz}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1315}}& {\displaystyle \text{,5 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{Laszka}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 1043}}& {\displaystyle \text{. }}\hfill \end{array}}$   Vagyis Aliforn államban kell a legtöbb, és Laszka államban a legkevesebb szavazat egy elektor megválasztásához. $c)$ Az elektorok száma: $10+9+7+3+3+3+2+2=39$. Minimum 20 elektor támogatására van szüksége egy jelöltnek a nyeréshez. Ha Aliforn és Lorida őt támogatja (19 elektor), akkor a harmadik állam tetszőleges lehet (mivel mindegyikben 1-nél több az elektor). Ha Aliforn és Rizon őt támogatja (17 elektor), de Lorida nem, akkor a harmadik államnak minimum 3 elektorral kell rendelkeznie, azaz csak Olorad, Labama vagy Regon lehet a harmadik. Látható, hogy további lehetőség nincs. Vagyis a következő hármasokra gondolhatott az elnökjelölt:   ${\displaystyle \begin{array}{ccc}{\displaystyle \text{ Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Rizon;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Olorad;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Labama;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Regon;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Ebrasz;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Lorida,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Laszka;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Rizon,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Olorad;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Rizon,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Labama;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{Aliforn,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Rizon,}}\hfill & {\displaystyle \text{ Regon. }}\hfill \end{array}}$   $d)$ Ha az elnökjelölt Rizon, Olorad, Labama, Regon, Ebrasz és Laszka államokban megszerzi a támogatást, akkor 20 elektorral rendelkezik. Ezekben az államokban a szavazatok többségével rendelkeznie kell, tehát mindenütt minimum a választói létszám felének egészrészénél eggyel többen az ő pártjára szavaztak. A minimális értékeket összeadva ez $\begin{array}{c}{\displaystyle 89676+19011+14111+13496+2631+2086=141011}\end{array}$ szavazatot jelent. Ha a többi államban senki nem szeretné, hogy ő legyen a nyertes, már akkor is a 20 elektorral megnyerheti a választásokat. Azaz a 800 008 választóból 141 011 fő elegendő lehet a nyeréshez. Mivel $\frac{141011}{800008}\approx 0\mathrm{,}176$, azért ez csak 17,6%-os támogatottságot jelent. Vagyis nyerhet valaki ezen a választáson úgy is, hogy a választópolgároknak kevesebb, mint a 20%-a szerette volna, hogy ő legyen az elnök.   Megjegyzés. Meglepő, hogy ha USB lakói nem lennének ennyire öntudatosak, akkor az is elképzelhető lenne, hogy ezekben az államokban csak a szavazók fele élt a választójogával. Az aktív választók fele elegendő a 20 elektor megszerzéséhez, ami kb. 70 500 főt jelent. Ez alig 9%-os támogatottságnak felelne meg, és a jelölt már ekkor is megnyerheti a választást.   7. Egy kabát ára 20 000 Ft volt eredetileg, de az áruház elkezdte kedvezményesen árusítani. Rövid időn belül egy újabb akció keretében 14 960 Ft lett az ára. Mind a két esetben az árengedmény százalékban kifejezve $10$ és $20$ közötti egész szám volt. László az első árengedmény után vásárolt egy kabátot. Mennyit fizethetett ekkor?  (16 pont)     Megoldás. Legyen ez első árengedmény $p$%, a második pedig $q$%. Tudjuk, hogy $10<p<20$, $10<q<20$, és mindkettő egész szám. A szöveg alapján a következő egyenlet írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 20000\left(1-\frac{p}{100}\right)\left(1-\frac{q}{100}\right)=14960.}\end{array}$ Az egyenletet átalakítjuk: $\left(100-p\right)\left(100-q\right)=7480$. A $p$ és a $q$ lehetséges értékei miatt a 7480-at két 80 és 90 közötti egész szám szorzatára kell bontanunk. A prímtényezős felbontás segít a megfelelő szorzótényezők megtalálásában: $\begin{array}{c}{\displaystyle 7480=2^3\cdot 5\cdot 11\cdot 17.}\end{array}$ Mivel $11\cdot 17$ már háromjegyű, azért ezek a prímtényezők nem szerepelhetnek egy helyen. Könnyen végiggondolható, hogy ha a 17 mellé csak 2-es tényezőket írnánk az nem lenne megfelelő: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot 17<\mathrm{80,}{2}^2\cdot 17<\mathrm{80,}{2}^3\cdot 17>90.}\end{array}$ Ha 5-ös és 2-es is szerepelne egyszerre a 17 mellett, akkor is nagy lenne ez a tényező, hiszen $2\cdot 5\cdot 17>90$. Vagyis az egyedüli lehetőség, hogy az egyik tényező, például a $100-p=5\cdot 17=85$. Ekkor a másik tényező is megfelelő lesz: $100-q=2^3\cdot 11=88$. Természetesen a két tényező értéke felcserélhető. Vagyis az egyik árengedmény 15%-os, a másik 12%-os volt. Nem tudjuk, hogy a kedvezményeknek mi volt a sorrendje, ezért az első kedvezményes ár lehetett a 20 000 Ft 85%-a, azaz 17 000 Ft, vagy lehetett a 20 000 Ft 88%-a, azaz 17 600 Ft. Ezek alapján László vagy 17 000 Ft-ért, vagy 17 600 Ft-ért vásárolta a kabátot. (Ellenőrizhető, hogy a 17 000 Ft 88%-a, és a 17 600 Ft 85%-a is 14 960 Ft.)   8. $a)$ Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy mértani sorozat egymást követő elemei, a legrövidebb oldala $1$ egység hosszú. Számítsuk ki a háromszög másik két oldalának hosszát. $b)$ Egy háromszög oldalhosszai egy mértani sorozat egymást követő elemei, a legrövidebb oldala $1$ egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Igazoljuk, hogy a háromszögnek nincs ${60}^{\circ }$-os szöge.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Legyen a mértani sorozat hányadosa $q$. Ekkor a derékszögű háromszög befogói: 1 és $q$, az átfogója: $q^2$. Természetesen $q>1$, hiszen a háromszög legrövidebb oldalának hossza 1. A Pitagorasz-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1+q^2=q^4\mathrm{,}{q}^4-q^2-1=0.}\end{array}$ Ez $q^2$-re nézve másodfokú egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle q_1^2=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{,}{q}_2^2=\frac{1-\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Nyilvánvalóan csak a $q^2=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}$ jöhet szóba, innen pedig csak   $q=\sqrt[]{\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}}$ lehet. Vagyis a derékszögű háromszög oldalainak hossza növekedő sorrendben: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}\sqrt[]{\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}}\mathrm{,}\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Legyen a mértani sorozat hányadosa $q$. Tudjuk, hogy $q>1$, hiszen a háromszög legrövidebb oldalának hossza 1. Ekkor a háromszög oldalainak hossza: 1, $q$, $q^2$. Ha a háromszög nem szabályos, és lenne ${60}^{\circ }$-os szöge, akkor az nagyság szerint a középső lenne. Ez a szög oldalhossz szempontjából a középsővel lenne szemben. Megmutatjuk, hogy ez nem lehetséges. Írjuk fel a koszinusztételt az 1, $q$, $q^2$ oldalhosszúságú háromszögre, ha a $q$-val szemben ${60}^{\circ }$-os szög található: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle q^2}& {\displaystyle =1+q^4-2q^2\cdot \text{cos}{60}^{\circ }=1+q^4-q^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =q^4-2q^2+1={\left(q^2-1\right)}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből csak a $q_1=-1$ és $q_2=1$ adódik, nincs $q>1$ megoldása az egyenletnek. Vagyis a háromszögnek nincs ${60}^{\circ }$-os szöge.   9. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett $f$ függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya $f\left(x\right)=x^3+\left(p-4\right)x^2+p^{2}x-2$, ahol $p$ egy valós paraméter. $a)$ Számítsuk ki a $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx$ határozott integrál értékét, ha $p=4$. $b)$ Határozzuk meg a $p$ értékét úgy, hogy az $x=2$ zérushelye legyen az $f$ függvénynek. $c)$ Határozzuk meg azokat a $p$ egész számokat, amelyekre az $f$ függvény deriváltjának nincs zérushelye.  (16 pont)     Megoldás. $a)$ Ha $p=4$, akkor $f\left(x\right)=x^3+16x-2$. Ekkor a határozott integrál értéke:   $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(x^3+16x-2\right)dx={\left[\frac{x^4}{4}+16\cdot \frac{x^2}{2}-2x\right]}_0^4={\left[\frac{x^4}{4}+8x^2-2x\right]}_0^4=64+128-8=184.}\end{array}$   $b)$ Azt a $p$ paramétert keressük, amelyre:   $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(2\right)=2^3+\left(p-4\right)\cdot 2^2+p^2\cdot 2-2=0.}\end{array}$   A következő másodfokú egyenletet kapjuk $p$-re: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2p^2+4p-10}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle p^2+2p-5}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ A megoldóképlettel: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=\frac{-2+\sqrt[]{4+20}}{2}\mathrm{,}{p}_2=\frac{-2-\sqrt[]{4+20}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Két megfelelő paramétert találtunk: $p_1=-1+\sqrt[]{6}$, $p_2=-1-\sqrt[]{6}$. $c)$ Írjuk fel az $f$ deriváltját: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2\left(p-4\right)x+p^2\mathrm{.}}\end{array}$ Azt szeretnénk, hogy ennek a másodfokú függvénynek két különböző zérushelye legyen, azaz azokat a paramétereket keressük, amelyre a diszkrimináns pozitív: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle D=4{\left(p-4\right)}^2-12p^2}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -8p^2-32p+64}& {\displaystyle >\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle p^2+4p-8}& {\displaystyle <0.}\hfill \end{array}}$ Ennek a másodfokú kifejezésnek a két zérushelye közötti egész számok lesznek a feladat feltételeinek megfelelő paraméterek. A zérushelyek: $\begin{array}{c}{\displaystyle p_1=\frac{-4+\sqrt[]{16+32}}{2}\mathrm{,}{p}_2=\frac{-4-\sqrt[]{16+32}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $p_1=-2-2\sqrt[]{3}\approx -5\mathrm{,}46$, $p_2=-2+2\sqrt[]{3}\approx 1\mathrm{,}46$. A keresett egész számok: $-5$, $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1.