Kezdőlap


Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2013/november, 460 - 461. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Emelt szintű gyakorló feladatsor

I. rész

1. Két konvex sokszög közül az elsőnek 540-nel több átlója van, mint a másodiknak, és az elsőnek háromszor annyi csúcsa van, mint a másodiknak. Hány csúcsuk van külön-külön? (11 pont)

2. A miskolci pályaudvar utasellátó büféjének ajtaján a következő tájékoztató szöveg olvasható:

Nyitva tartás 03.30‐23.30.
Műszakátadás miatt 07.30‐08.30 és 19.30‐20.30 között zárva!

a)

Mekkora eséllyel találjuk nyitva a büfét, ha reggel 7 és este 9 között véletlenszerűen érkezünk a bejáratához?

b)

Egy vargabélest vásároltunk 200 Ft-ért. A pénzt pontosan kiszámolva adtuk át a pénztárosnak. Hányféleképpen tehettük ezt meg, ha 20 Ft-osnál kisebb címletet nem adtunk, és a sorrend nem számít?

c)

Az utánunk következő vásárló három péksüteményt szeretne venni, a kínálat: diós búrkifli, ízes levél, túrós táska, meggyes rétes és kakaós csiga. Mekkora eséllyel találjuk el, hogy mit fog vásárolni, ha azt feltételezzük, hogy mindegyik választásának ugyanannyi az esélye? (12 pont)

3. Adott a koordinátarendszerben négy pont:

A_{1} (0; 5)

B_{1} (1; 7)

A_{2} (3; 4)

B_{2} (5; 5)

. Tudjuk, hogy

A_{1} A_{2}

és

B_{1} B_{2}

két koncentrikus kör egy-egy húrja.

a)

Hol van a körök közös középpontja?

b)

Tükrözzük az

A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}

töröttvonalat az első negyed szögfelezőjére, majd az eredeti és a képként kapott alakzatot tükrözzük mindkét tengelyre és az origóra is. Mekkora az így kapott sokszög kerülete, területe? (14 pont)

4. Az

1,6,13,24,37,54,73,96,121, ...

sorozat kettőnél nagyobb sorszámú tagjait úgy kaptuk, hogy a nála kettővel kisebb sorszámú taghoz hozzáadtuk a közbülső tag sorszámának hatszorosát. Már tudjuk, hogy a páros helyen álló számok a sorszám másodfokú függvényeként állíthatók elő. Mennyi a sorozat századik tagja?

\begin{matrix}  \end{matrix}

(14 pont)

II. rész

5. Adott három egyenes az egyenletével:

\begin{matrix} a : x + 3 y = 7, b : 3 x - y = - 7, c : 3 x + 4 y = 8. \end{matrix}

a)

Mutassuk meg, hogy a három egyenes derékszögű háromszöget határoz meg.

b)

Milyen messze van a derékszögű csúcs a szemközti oldal felezőpontjától?

c)

Mekkora a háromszög beírt körének sugara? (16 pont)

6. Adott egy függvény a hozzárendelési utasításával:

\begin{matrix} f (x) = \frac{\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}}{\frac{x - 2}{x + 2} + 1} . \end{matrix}

a)

Adjuk meg azt a legbővebb halmazt, amely az

f (x)

értelmezési tartománya lehet.

b)

Adjuk meg

f (x)

értékkészletét.

c)

Hány rácspont illeszkedik

f (x)

grafikonjára? Adjuk meg ezeket a pontokat.

\begin{matrix}  \end{matrix}

(16 pont)

7. A Pontos lépés nevű játéknak László szabályos hatszög alaplapú egyenes hasáb alakú dobozt tervez. A doboz alaplapja az

A B C D E F

, fedőlapja pedig a

G H I J K L

szabályos hatszög.

a)

Mekkora lenne az

A B H G

oldallap területe, ha az

A B I L

metszet területe 72 cm

^{2}

-es?

b)

Mekkora lenne az alaplap és az

A B I L

sík hajlásszöge

A L = \sqrt[]{2} \cdot A B

esetén?

\begin{matrix}  \end{matrix}

(16 pont)

a)

f (x) = 4 - x^{2}

hozzárendeléssel adott függvény grafikonjához az 1 és a

- 1

abszcisszájú pontjában húzott érintők, valamint az

x

tengely meghatároz egy háromszöget. A háromszöget a függvény görbéje mentén szétvágjuk. Mekkora a függvény görbéje mellett jobbra, balra és fönt keletkezett síkidomok területének összege?

b)

Egy alagút keresztmetszetét jó közelítéssel az

f (x) = 4 - x^{2}

hozzárendelésű függvény grafikonja és az

x

tengely adja. A koordinátarendszer egysége 1 méternek felel meg. Mekkora a maximális térfogata annak a 6 méter hosszú téglatestnek, amit egyik lapján csúsztatva át lehet tolni az alagúton? (16 pont)

9. Sík talajon az 5 méter magas, függőlegesen álló oszlop teteje a sík

A

pontjából

6, 5^{\circ}

, a

B

pontjából pedig

5, 6^{\circ}

emelkedési szögben látszik. Az oszlop tetejéről az

A B

távolság

80^{\circ}

-os látószög alatt látható.

a)

Írjuk le röviden, hogy hogyan határoznánk meg az

A B C

háromszög területét (

C

az oszlop alja), ha az

A B

hosszát ismernénk.

b)

Mekkora az

A B

távolság? (16 pont)