Cím:	A 2012‐2013. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2013/november, 456 - 459. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A 2012‐2013. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai I. kategória: Szakközépiskolák Első (iskolai) forduló     1. Az $n$ pozitív egész számnak pontosan két pozitív osztója van, az $n+1$-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az $n+2012$ számnak?   2. Elhelyezhető-e a térben 11 pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma 53 legyen? Lehet-e a 11 pont által meghatározott egyenesek száma 54? Állítását indokolja!   3. Oldja meg a pozitív egész számokból álló számhármasok halmazán az alábbi egyenletrendszert:   4. A nem egyenlőszárú $ABC$ háromszögben $BC>CA$. Az $AB$ oldal $F$ felezőpontján keresztül húzzunk párhuzamost a $C$ pontbeli belső szögfelezővel, ez az egyenes az $AC$ egyenest a $P$, a $BC$ egyenest a $Q$ pontban metszi. Bizonyítsa be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BC}{AC}-\frac{PQ}{QF}=1!}\end{array}$     5. Oldja meg a valós számok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{2012-503x}-|3x-2|}{\sqrt[]{2x+12}-|3x-2|}\le 1}\end{array}$ egyenlőtlenséget!   6. Az $x$ és$y$ pozitív valós számok szorzata 50, továbbá teljesül, hogy $x>y$. Határozza meg az $\frac{x^2+y^2}{x-y}$ kifejezés minimumának értékét! Adja meg az $\frac{x}{y}$ aránynak azt az értékét, amelyre a kifejezés a minimumát valóban felveszi!     Második forduló       1. Mely valós $x$; $y$ számpárokra teljesül a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{36}{\sqrt[]{x-2}}+\frac{4}{\sqrt[]{y-1}}=28-4\cdot \sqrt[]{x-2}-\sqrt[]{y-1}}\end{array}$ egyenlőség?   2. Mutassa meg, hogy ha az $\begin{array}{c}{\displaystyle A=224\underset{k-2\text{ db 9}}{\overset{}{\underbrace{99\text{...}9}}}1\underset{k\text{ db 0}}{\overset{}{\underbrace{00\text{...}0}}}9\left(k\in \text{N}\mathrm{,}k\ge 2\right)}\end{array}$ tízes számrendszerbeli pozitív egész szám, akkor a $B=\sqrt[]{A}+3$ szám pozitív egész. Bizonyítsa be, hogy ez a $B$ szám csak a 2; 3; 5 prímszámokkal osztható!   3. Legyen az $ABC$ háromszögben a $BC$ oldal felezőpontja $F$, legyen továbbá $BCA\sphericalangle ={15}^{\circ }$ és $BFA\sphericalangle ={45}^{\circ }$. Határozza meg a $CAB\sphericalangle$ nagyságát!   4. Meg lehet-e számozni egy kocka csúcsait az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,7,8}$ számokkal úgy, hogy minden csúcshoz különböző szám tartozzon, és bármelyik él két végpontjára írt számok összege is egymástól különböző legyen?   5. Bizonyítsa be, hogy ha $\alpha$ hegyesszög, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1+\frac{1}{\text{sin}\alpha }\right)\cdot \left(1+\frac{1}{\text{cos}\alpha }\right)\ge 3+2\cdot \sqrt[]{2}!}\end{array}$ Mikor áll fenn egyenlőség?   Harmadik (döntő) forduló     1. Egy papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat $n$-től $2n$-ig. Azt vettük észre, hogy a felírt páros számok összege $2013$-mal nagyobb, mint a felírt páratlan számok összege. Mettől meddig írtuk fel a számokat?   2. Oldja meg a valós számpárok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_3\left(\text{log}{}_{2}x\right)+\text{log}{}_{\frac{1}{3}}(\text{log}{}_{\frac{1}{2}}y)=\mathrm{1,}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle {58}^{x\cdot y^3}-{31}^{x\cdot y^3}=3^{x+y^3}}\end{array}$ egyenletekből álló egyenletrendszert!   3. Az $ABC$ háromszög egyik szöge ${120}^{\circ }$-os. Bizonyítsa be, hogy a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai derékszögű háromszöget határoznak meg!   II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok     Első (iskolai) forduló     1. Mely $x$ és $y$ valós számok elégítik ki a $\sqrt[]{x}=2-y$, $\sqrt[]{y}=x-2$ egyenletrendszert?   2. Egy négyzetet az egyik csúcsából induló két egyenes három egyenlő területű részre oszt. $\left(a\right)$ Milyen arányú részekre osztja a két egyenes négyzetbe eső szakaszát a szakaszokat metsző átló? $\left(b\right)$ Legyen a négyzetbe írt kör területe $T$, a két egyenes és az őket metsző átló által bezárt háromszög beírt körének területe $t$. Határozzuk meg $T:t$ értékét.   3. Hányféleképpen juthatunk a koordinátarendszer origójából a $\left(4;2\right)$ pontba, ha 10 lépést teszünk, minden lépésünk egységnyi hosszú és párhuzamos a tengelyek valamelyikével?   4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész $n$ esetén teljesül az alábbi egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{6}}{5}+\frac{\sqrt[]{20}}{9}+\frac{\sqrt[]{42}}{13}+\text{...}+\frac{\sqrt[]{2n\left(2n+1\right)}}{4n+1}<\frac{n}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   5. Igazoljuk, hogy a rekurzióval definiált alábbi sorozat minden tagja pozitív egész szám: $\begin{array}{c}{\displaystyle c_1=\mathrm{1,}{c}_{n+1}=\frac{4n-2}{n+1}\cdot c_n\left(n=\mathrm{1,2,3,}\text{...}\right)\mathrm{.}}\end{array}$     Második forduló       1. Bizonyítsuk be, ha egy pozitív egész szám első és utolsó jegyének különbsége 5, akkor e szám és jegyeinek fordított sorrendjével felírt szám különbsége osztható 45-tel.   2. Egy $10$ egység oldalú szabályos háromszöget az oldalaival párhuzamos egyenesekkel egységnyi oldalú szabályos háromszögekre bontottunk fel. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek csúcsai a létrejött szabályos háromszög-rács rácspontjai?   3. Az $ABC$ háromszög $AB$, $BC$ és $CA$ oldalain adottak rendre a $P$, $Q$ és $R$ pontok. Igazoljuk, hogy az $APR$, $BPQ$ és $CQR$ háromszögek köré írt körei középpontjai által meghatározott háromszög hasonló az $ABC$ háromszöghöz.   4. Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{2012+\sqrt[]{2011+\sqrt[]{2010+\sqrt[]{\text{...}+\sqrt[]{2+\sqrt[]{1}}}}}}<46.}\end{array}$     Harmadik (döntő) forduló       1. Az $f$ függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza és a függvény értékei is pozitív egészek. Határozzuk meg az összes olyan $f$ függvényt, amelyre teljesül, hogy minden pozitív egész $n$ szám esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=1}^n{f}^3\left(i\right)=f^3\left(1\right)+f^3\left(2\right)+\text{...}+f^3\left(n\right)={\left(f\left(1\right)+f\left(2\right)+\text{...}+f\left(n\right)\right)}^2={\left(\sum _{i=1}^{n}f\left(i\right)\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Itt a szokásos jelölés szerint $f^3\left(k\right)={\left(f\left(k\right)\right)}^3$, azaz az $f$ függvény $k$ helyen felvett értékének köbe.   2. Az $ABC$ háromszög $CA$, $AB$ és $BC$ oldalainak belső pontjai rendre $B_1$, $C_1$ és $A_1$, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{C{B}_1}{CA}=\frac{A{C}_1}{AB}=\frac{B{A}_1}{BC}=\lambda <\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $A{A}_1$ és $B{B}_1$ szakaszok metszéspontja $P$, $B{B}_1$ és $C{C}_1$ metszéspontja $Q$ és $C{C}_1$ és $A{A}_1$ metszéspontja $R$. Ha az $ABC$ háromszög területe $T$, a $PQR$ háromszög területe $t$, akkor $T:t=13:4$ esetén mekkora $\lambda$ értéke?   3. Egy táncesten $n$ lány és $4$ fiú vett részt. Páros táncokat táncoltak, egy párban mindig egy fiú és egy lány volt, de a táncpartnerek cserélődhettek. Legalább mekkora az $n$, ha a táncolás után kiválasztható vagy két lány és két fiú úgy, hogy a köztük lehetséges összes párosításban táncoltak az est folyamán, vagy úgy, hogy egymással semelyik párosításban sem táncoltak?     III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok       Első (iskolai) forduló       1. Az $ABC$ egyenlő szárú háromszög $AB$ alapján vegyünk fel egy $P$ pontot. $P$-ből merőlegeseket állítunk a két szár egyenesére, ezek talppontjai $I$, illetve $J$. A háromszög magasságpontját jelölje $M$. Mutassuk meg, hogy a $PM$ egyenes áthalad az $IJ$ szakasz felezőpontján.   2. Legyenek $1\le k\le n$ rögzített egészek. Mennyi az $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1{x}_2\text{...}{x}_k+x_2{x}_3\text{...}{x}_{k+1}+\text{...}+x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\text{...}{x}_n}\end{array}$ kifejezés maximuma, ha $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ nemnegatív számok és összegük 1?   3. Rögzítsünk a síkon egy $AB$ szakaszt és annak egy $P$ belső pontját. Ha $ABC$ tetszőleges háromszög, húzzunk $P$-ből párhuzamost az $AC$, illetve $BC$ oldalakkal. Ezek az egyenesek a $BC$ oldalt a $Q$ pontban, az $AC$ oldalt az $R$ pontban metszik. Az $APR$ és $BPQ$ háromszögek köré írt körök $P$-től különböző metszéspontja legyen $H$. Mi a $H$ pontok halmaza, ha a $C$ pont a sík minden, az $AB$ egyenesre nem illeszkedő pontján végigfut?   4. Hány olyan, nem 0-ra végződő többszöröse van a 2012-nek, amelyben a számjegyek összege 5?   5. Van 2012 külsőre teljesen egyforma, de páronként különböző értékű érménk. Ugyancsak van egy készülékünk, amelybe 21 érmét kell behelyezni, és megadja, hogy a 21 behelyezett érme közül melyik a $k$-adik legértékesebb. Ennek a készüléknek a segítségével a 2012 érme közül hánynak tudjuk meghatározni az érték szerinti sorszámát, ha $a)$ $k=10$, illetve ha $b)$ $k=11$?   Második (döntő) forduló     1. Adott a síkon három különböző kör, $k$, $k_1$ és $k_2$. Középpontjaik és sugaraik legyenek rendre $O$, $O_1$, $O_2$, $r$, $r_1$ és $r_2$. Tegyük fel, hogy $k$ belülről érinti $k_1$-et az $E_1$ pontban, $k_2$ belülről érinti $k$-t az $E_2\ne E_1$ pontban, továbbá hogy az $O_1{O}_2$ egyenes merőleges az $E_1{E}_2$ egyenesre. Fejezzük ki az $r$ sugarat $r_1$-gyel és $r_2$-vel.   2. Mutassuk meg, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{k=1}^m\frac{m\left(m-1\right)\left(m-2\right)\text{...}\left(m-k+1\right)k}{m^{k+1}}=1.}\end{array}$   3. Tekintsük azokat az $n$ hosszúságú sorozatokat, amelyek mindegyik eleme $0$ vagy $1$. Két ilyen sorozat összegén a tagonként modulo $2$ végzett összeadás eredményét értjük. Mely pozitív egész $n$ számokra állíthatók párba ezek a sorozatok úgy, hogy a párok két tagját rendre összeadva $2^{n-1}$ különböző sorozatot kapjunk?