A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 2012‐2013. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai I. kategória: Szakközépiskolák Első (iskolai) forduló
1. Az pozitív egész számnak pontosan két pozitív osztója van, az -nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az számnak?
2. Elhelyezhető-e a térben 11 pont úgy, hogy az általuk meghatározott egyenesek száma 53 legyen? Lehet-e a 11 pont által meghatározott egyenesek száma 54? Állítását indokolja!
3. Oldja meg a pozitív egész számokból álló számhármasok halmazán az alábbi egyenletrendszert:
4. A nem egyenlőszárú háromszögben . Az oldal felezőpontján keresztül húzzunk párhuzamost a pontbeli belső szögfelezővel, ez az egyenes az egyenest a , a egyenest a pontban metszi. Bizonyítsa be, hogy
5. Oldja meg a valós számok halmazán a | | egyenlőtlenséget!
6. Az és pozitív valós számok szorzata 50, továbbá teljesül, hogy . Határozza meg az kifejezés minimumának értékét! Adja meg az aránynak azt az értékét, amelyre a kifejezés a minimumát valóban felveszi!
Második forduló
1. Mely valós ; számpárokra teljesül a egyenlőség?
2. Mutassa meg, hogy ha az | | tízes számrendszerbeli pozitív egész szám, akkor a szám pozitív egész. Bizonyítsa be, hogy ez a szám csak a 2; 3; 5 prímszámokkal osztható!
3. Legyen az háromszögben a oldal felezőpontja , legyen továbbá és . Határozza meg a nagyságát!
4. Meg lehet-e számozni egy kocka csúcsait az számokkal úgy, hogy minden csúcshoz különböző szám tartozzon, és bármelyik él két végpontjára írt számok összege is egymástól különböző legyen?
5. Bizonyítsa be, hogy ha hegyesszög, akkor | | Mikor áll fenn egyenlőség?
Harmadik (döntő) forduló
1. Egy papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat -től -ig. Azt vettük észre, hogy a felírt páros számok összege -mal nagyobb, mint a felírt páratlan számok összege. Mettől meddig írtuk fel a számokat?
2. Oldja meg a valós számpárok halmazán a | | és egyenletekből álló egyenletrendszert!
3. Az háromszög egyik szöge -os. Bizonyítsa be, hogy a belső szögfelezőknek a szemben levő oldalakkal való metszéspontjai derékszögű háromszöget határoznak meg!
II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok
Első (iskolai) forduló
1. Mely és valós számok elégítik ki a , egyenletrendszert?
2. Egy négyzetet az egyik csúcsából induló két egyenes három egyenlő területű részre oszt. Milyen arányú részekre osztja a két egyenes négyzetbe eső szakaszát a szakaszokat metsző átló? Legyen a négyzetbe írt kör területe , a két egyenes és az őket metsző átló által bezárt háromszög beírt körének területe . Határozzuk meg értékét.
3. Hányféleképpen juthatunk a koordinátarendszer origójából a pontba, ha 10 lépést teszünk, minden lépésünk egységnyi hosszú és párhuzamos a tengelyek valamelyikével?
4. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész esetén teljesül az alábbi egyenlőtlenség: | |
5. Igazoljuk, hogy a rekurzióval definiált alábbi sorozat minden tagja pozitív egész szám: | |
Második forduló
1. Bizonyítsuk be, ha egy pozitív egész szám első és utolsó jegyének különbsége 5, akkor e szám és jegyeinek fordított sorrendjével felírt szám különbsége osztható 45-tel.
2. Egy egység oldalú szabályos háromszöget az oldalaival párhuzamos egyenesekkel egységnyi oldalú szabályos háromszögekre bontottunk fel. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek csúcsai a létrejött szabályos háromszög-rács rácspontjai?
3. Az háromszög , és oldalain adottak rendre a , és pontok. Igazoljuk, hogy az , és háromszögek köré írt körei középpontjai által meghatározott háromszög hasonló az háromszöghöz.
4. Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőtlenséget: | |
Harmadik (döntő) forduló
1. Az függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza és a függvény értékei is pozitív egészek. Határozzuk meg az összes olyan függvényt, amelyre teljesül, hogy minden pozitív egész szám esetén | | Itt a szokásos jelölés szerint , azaz az függvény helyen felvett értékének köbe.
2. Az háromszög , és oldalainak belső pontjai rendre , és , amelyekre Az és szakaszok metszéspontja , és metszéspontja és és metszéspontja . Ha az háromszög területe , a háromszög területe , akkor esetén mekkora értéke?
3. Egy táncesten lány és fiú vett részt. Páros táncokat táncoltak, egy párban mindig egy fiú és egy lány volt, de a táncpartnerek cserélődhettek. Legalább mekkora az , ha a táncolás után kiválasztható vagy két lány és két fiú úgy, hogy a köztük lehetséges összes párosításban táncoltak az est folyamán, vagy úgy, hogy egymással semelyik párosításban sem táncoltak?
III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok
Első (iskolai) forduló
1. Az egyenlő szárú háromszög alapján vegyünk fel egy pontot. -ből merőlegeseket állítunk a két szár egyenesére, ezek talppontjai , illetve . A háromszög magasságpontját jelölje . Mutassuk meg, hogy a egyenes áthalad az szakasz felezőpontján.
2. Legyenek rögzített egészek. Mennyi az | | kifejezés maximuma, ha nemnegatív számok és összegük 1?
3. Rögzítsünk a síkon egy szakaszt és annak egy belső pontját. Ha tetszőleges háromszög, húzzunk -ből párhuzamost az , illetve oldalakkal. Ezek az egyenesek a oldalt a pontban, az oldalt az pontban metszik. Az és háromszögek köré írt körök -től különböző metszéspontja legyen . Mi a pontok halmaza, ha a pont a sík minden, az egyenesre nem illeszkedő pontján végigfut?
4. Hány olyan, nem 0-ra végződő többszöröse van a 2012-nek, amelyben a számjegyek összege 5?
5. Van 2012 külsőre teljesen egyforma, de páronként különböző értékű érménk. Ugyancsak van egy készülékünk, amelybe 21 érmét kell behelyezni, és megadja, hogy a 21 behelyezett érme közül melyik a -adik legértékesebb. Ennek a készüléknek a segítségével a 2012 érme közül hánynak tudjuk meghatározni az érték szerinti sorszámát, ha , illetve ha ?
Második (döntő) forduló
1. Adott a síkon három különböző kör, , és . Középpontjaik és sugaraik legyenek rendre , , , , és . Tegyük fel, hogy belülről érinti -et az pontban, belülről érinti -t az pontban, továbbá hogy az egyenes merőleges az egyenesre. Fejezzük ki az sugarat -gyel és -vel.
2. Mutassuk meg, hogy | |
3. Tekintsük azokat az hosszúságú sorozatokat, amelyek mindegyik eleme vagy . Két ilyen sorozat összegén a tagonként modulo végzett összeadás eredményét értjük. Mely pozitív egész számokra állíthatók párba ezek a sorozatok úgy, hogy a párok két tagját rendre összeadva különböző sorozatot kapjunk?
|