Cím:	Megoldásvázlatok a 2013/6. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2013/október, 398 - 407. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. 1. Egy térképész azt a feladatot kapta, hogy az ábrán látható folyó közepe táján található, hosszúkás sziget $CD$ hosszára adjon egy viszonylag elfogadható becslést. A folyó gyors sodrású és örvényes, ezért a térképész nem kelt át a szigetre, hanem máshogy oldotta meg a feladatot. A parti síkságon kijelölte egymástól $100$ méterre az $A$ és $B$ pontokat az ábra szerint, azután lemérte az $\alpha ={38}^{\circ }$, $\delta ={85}^{\circ }$, $\beta ={97}^{\circ }$ és $\gamma ={41}^{\circ }$ szögek fokra kerekített értékét, majd kiszámolta a sziget közelítő hosszát. Számoljuk ki mi is.  (12 pont)       Megoldás. Az $ABC$ háromszögben a $C$ csúcsnál lévő szög: ${180}^{\circ }-{41}^{\circ }-{85}^{\circ }={54}^{\circ }$. A szinusztételt felírva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}{54}^{\circ }}{100}=\frac{\text{sin}{41}^{\circ }}{AC}\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $AC$-re megközelítőleg 81,09 m adódik. Az $ABD$ háromszögben a $D$ csúcsnál lévő szög: ${180}^{\circ }-{38}^{\circ }-{97}^{\circ }={45}^{\circ }$. A szinusztételt felírva kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}{45}^{\circ }}{100}=\frac{\text{sin}{97}^{\circ }}{AD}\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $A$D megközelítőleg 140,37 m hosszú. Az $ACD$ háromszögre felírjuk a koszinusztételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle C{D}^2=A{D}^2+A{C}^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot \text{cos}\left(\delta -\alpha \right)\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $CD$ megközelítőleg 104 m.   2. $a)$ Fogalmazzuk meg a következő állítás megfordítását, és adjuk meg, hogy a megfordítás igaz-e vagy hamis: Ha egy négyszög deltoid, akkor valamelyik átlóját a másik átlója felezi. $b)$ Tagadjuk a következő mondatot: Amelyik kutya ugat, az nem harap. $c)$ Anett, Béla és Cecília nagyon jó barátok. Zongoraművész, tanító és mérnök a hivatásuk, de nem feltétlenül ebben a sorrendben. Egyikük budapesti, a másik debreceni, a harmadik pedig szombathelyi lakos. Béla és Cecília a következő nyári szünetben Szombathelyre szeretnének utazni, hogy meglátogassák Anettet, aki egyedül él ott nagy kertes házában, és nála szeretnék a nyári szabadságot eltölteni. A zongoraművész megígérte, hogy ekkor Bélának ad egyet legújabb műsoros CD-jéből. A mérnök, aki nem budapesti, szeret sakkozni a debreceni zongoraművésszel, remélhetőleg erre is alkalom nyílik a szabadság alatt. Ki hol lakik és mi a foglalkozása?  (12 pont)   Megoldás. $a)$ Az állítás megfordítása: Ha egy négyszög valamely átlóját felezi a másik, akkor a négyszög deltoid. A megfordítás hamis, ez egy ellenpéldával igazolható.     $b)$ Az állítás tagadása: Van legalább egy olyan kutya, amelyik ugat és harap is. Megjegyzés. Amelyik kutya ugat, az nem harap. Ezt az univerzális kvantor segítségével átfogalmazva: Minden egyes kutya, amelyre igaz, hogy ugat, az nem harap. Ennek tagadása az egzisztenciális kvantor segítségével történik: Létezik olyan kutya, amelyre igaz, hogy ugat és harap. Ezt visszafordítva a mindennapi nyelvre: Van olyan kutya, amely ugat is és harap is. $c)$ Mivel Anettnek Szombathelyen van családi háza, azért ő a szombathelyi. Mivel a debreceni zongoraművész Bélának ad műsoros CD-t, azért Béla nem debreceni, ezért csak ő lehet a budapesti. Ez azt jelenti, hogy a debreceni zongoraművész csak Cecília lehet. És mivel a mérnők nem budapesti, azért a mérnök csak Anett lehet, ami pedig azt vonja maga után, hogy Béla a tanító. Összefoglalva:       3. $a)$ Melyik az a szám, melyet tízes alapú logaritmusára emelve négyzetének százmilliószorosát kapjuk? $b)$ Egymillió forintot kötünk le egy bankban évi $2\mathrm{,}5\%$-os kamatra. A kamatot az év utolsó napján írják hozzá a tőkéhez, miután levonták belőle a $16\%$-os kamatadót és $6\%$-os egészségügyi hozzájárulást (ami szintén a kamatot terheli). Hányadik év végén lépi túl lekötésünk az $1\mathrm{,}2$ millió forintot?  (13 pont)   Megoldás. $a)$ A feladat szövege alapján a következő egyenlet írható fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\text{lg}x}={10}^8{x}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a logaritmusfüggvény csak pozitív számokra van értelmezve, azért az $x>0$ kikötést kell tenni. Mindkét oldal pozitív, és a logaritmus függvény kölcsönösen egyértelmű, ezért vehetjük a tízes alapú logaritmusukat: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{lg}{x}^{\text{lg}x}=\text{lg}\left({10}^8\cdot x^2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{lg}x\cdot \text{lg}x=\text{lg}{10}^8+\text{lg}{x}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(\text{lg}x\right)}^2-2\text{lg}x-8=0.}\hfill \end{array}}$ $\text{lg}x$ helyett új ismeretlent bevezetve: $\begin{array}{c}{\displaystyle A^2-2A-8=0.}\end{array}$ A megoldóképletet alkalmazva: $A_1=4$, $A_2=-2$, amiből $x_1=10000$, $x_2=0\mathrm{,}01$. $b)$ A befektető úgy érzékeli, hogy kamatjóváíráskor nem a tőke 2,5%-ával, hanem ennek 0,78 részével, vagyis 1,95%-kal növelik a tőkéjét. A kamatos kamat számításának képlete $\left(T_n=T_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n\right)$ alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget, ahol keressük $n$ értékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1200000<1000000{\left(1+\frac{1\mathrm{,}95}{100}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$ Mindkét oldalt osztva egymillióval és a tízes alapú logaritmusukat véve: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{lg}1\mathrm{,}2<\text{lg}1\mathrm{,}{0195}^n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{lg}1\mathrm{,}2<n\cdot \text{lg}1\mathrm{,}{0195}^n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\text{lg}1\mathrm{,}2}{\text{lg}1\mathrm{,}0195}<n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $\frac{\text{lg}1\mathrm{,}2}{\text{lg}1\mathrm{,}0195}\approx 9\mathrm{,}44$, azért a tizedik év végén lépi túl tőkénk az 1,2 millió forintot.   4. Tekintsük a hozzárendelési szabályával megadott következő függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\to \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{12}{x}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<-\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |x^2-4|\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }-3\le x<\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\frac{12}{x}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x\ge 3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Ábrázoljuk a függvényt a $\left[-12;12\right]$ intervallumon. $b)$ Adjuk meg a függvény zérushelyeit. $c)$ Adjuk meg a függvény értékkészletét. $d)$ Adjuk meg a függvény szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit, továbbá a lokális szélsőértékhelyeit és lokális szélsőértékeit is. $e)$ Páros függvény-e az $f$ függvény?  (14 pont)   Megoldás. $a)$ Lásd az ábrát.     $b)$ A függvény zérushelyei: $x_1=-2$ és $x_2=2$. Mivel az $x$ tengely mindkét irányban a függvény aszimptotájaként viselkedik, azért további zérushely nincs. $c)$ A függvény értékkészlete: $R_f=\left[-4;5\right]$ (Vigyázzunk: nem az ábrázolt rész értékkészlete volt a kérdés.) $d)$ A függvény maximum helye: $-3$, maximum értéke: 5. A függvény minimum helye: 3, minimum értéke: $-4$. A függvény lokális maximum helye: 0, lokális maximum értéke: 4. A függvény lokális minimum helyei: $-2$ és 2, lokális minimum értéke: 0. $e)$ Mivel az $x=-3$ és $x=3$ helyen különböző értékeket vesz fel, azért nem lehet páros függvény.   II. rész     5. Adott egy dobótetraéder (olyan szabályos és homogén tömegeloszlású tetraéder, melynek lapjaira $1$, $2$, $3$ és $4$ van írva) és egy dobóoktaéder (olyan szabályos és homogén tömegeloszlású oktaéder, melynek lapjaira $1$-től $8$-ig vannak felírva a természetes számok). Dobjunk egyszerre a dobótetraéderrel és a dobóoktaéderrel. Legyen egy kísérlet kimenetele azoknak a számoknak az összege, amelyek az asztallal érintkező lapokra vannak felírva. $a)$ Ábrázoljuk az így definiált valószínűségi változó eloszlását oszlopdiagramon, illetve számoljuk ki a várható értéket. $b)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobóoktaéder asztallal érintkező lapján nagyobb szám lesz, mint a dobótetraéder asztallal érintkező lapján? $c)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kimenetel a nyolcadik alkalommal lesz először $9$, ha a kísérletet sokszor elvégezzük egymás után? $d)$ Elvégeztük a kísérletet százszor. A kimeneteleket feljegyezve az alábbi gyakorisági táblázatot kaptuk. Melyik kimenetel esetén a legnagyobb a relatív gyakoriság és a három tizedesre kerekített elméleti valószínűség abszolút eltérése? $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{kimenetel}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{7}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle \text{9}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{11}}& \hfill {\displaystyle \text{12}}\\ {\displaystyle \text{gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{13}}& \hfill {\displaystyle \text{15}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle \text{16}}& \hfill {\displaystyle \text{14}}& \hfill {\displaystyle \text{11}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}\\ \hline\end{array}}}\end{array}$  (16 pont)   Megoldás. $a)$ A lehetséges dobáspárok:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{1; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7; 1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8; 1 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7; 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8; 2 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7; 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8; 3 }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{1; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7; 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8; 4 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   Mivel minden egyes dobáspárnak azonos a valószínűsége, azért a lehetséges kimenetelek valószínűségei:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{kimenetel}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{valószínűség}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>32</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ {\displaystyle \text{a valószínűség }}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle \text{ három tizedesre}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,031}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,063}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,094}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,125}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,125}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,125}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,125}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,125}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,094}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,063}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,031}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ kerekítve }}\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle }\hfill \\ \hline\end{array}}$   A várható érték: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \frac{1}{32}+3\cdot \frac{2}{32}+4\cdot \frac{3}{32}+5\cdot \frac{4}{32}+6\cdot \frac{4}{32}+7\cdot \frac{4}{32}+8\cdot \frac{4}{32}+9\cdot \frac{4}{32}+10\cdot \frac{3}{32}+11\cdot \frac{2}{32}+12\cdot \frac{1}{32}=7.}\end{array}$ A valószínűségi változó eloszlását szemléltető oszlopdiagram:     $b)$ A lehetséges dobáspárok táblázata segítségével egyszerű összeszámlálás alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes esetek száma}}=\frac{22}{32}\mathrm{.}}\end{array}$ $c)$ Az eddigiekből tudjuk, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle P(\text{a dobások összege 9)}=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből adódóan $\begin{array}{c}{\displaystyle P(\text{a dobások összege nem 9)}=1-\frac{4}{32}=\frac{28}{32}=\frac{7}{8}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel az egymást követő kísérletek függetlenek egymástól, azért a keresett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle P={\left(\frac{7}{8}\right)}^7\cdot \left(\frac{1}{8}\right)\approx 0\mathrm{,}049.}\end{array}$ $d)$ A relatív gyakoriságokat a következő táblázat mutatja:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{kimenetel}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 13}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{relatív gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,06}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,13}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,08}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,16}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,14}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0,05}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 0.02 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   A relatív gyakoriságokat összehasonlítva az elméleti valószínűségek megfelelő három tizedes jegyre kerekített értékeivel, a legnagyobb abszolút eltérés akkor adódik, ha a kimenetel: 7.   6. $a)$ Két pozitív egész szám köbének különbsége $169$. Melyek ezek a számok? $b)$ Bizonyítsuk be, hogy ha egy pozitív természetes szám ötödik hatványából kivonjuk magát a számot, a különbség minden esetben osztható lesz a három legkisebb pozitív prímszámmal.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az $x^3-y^3=169$ egyenlet pozitív egész $x$, $y$ megoldásait keressük. Az egyenlet átírható $\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=169$ alakba. Ha $x-y$ negatív, akkor nincs megoldás. Mivel a 169 prímtényezős felbontása 13${}^2$, azért a következő esetek lehetségesek: I. eset: az $x-y=1$, $x^2+xy+y^2=169$ egyenletrendszert megoldva $x_1=8$ és $y_1=7$, valamint $x_2=-7$ és $y_2=-8$. Utóbbi értékpár nem felel meg a feladat feltételeinek. II. eset: az $x-y=13$, $x^2+xy+y^2=13$ egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számok körében. III. eset: az $x-y=169$, $x^2+xy+y^2=1$ egyenletrendszernek sincs megoldása a valós számok körében. A keresett két szám a 8 és a 7. $b)$ Be kell látni a következőket: (1) $2\mid n^5-n$; (2) $3\mid n^5-n$; (3) $5\mid n^5-n$, ahol $n$ pozitív természetes szám. $\begin{array}{c}{\displaystyle n^5-n=n\cdot \left(n^4-1\right)=n\cdot \left(n^2-1\right)\cdot \left(n^2+1\right)=n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n^2+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $n$ vagy $n-1$ osztható $2$-vel, azért az (1) állítást beláttuk. Mivel $n-1$ vagy $n$ vagy $n+1$ osztható $3$-mal, azért a (2) állítást beláttuk. A (3) állítás bizonyítása: Ha $n$ osztható 5-tel, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle n\cdot \left(n-1\right)\cdot \left(n+1\right)\cdot \left(n^2+1\right)}\end{array}$ (4) is osztható 5-tel. Ha $n$  5-tel osztva 1 maradékot ad, akkor $n-1$ osztható 5-tel, tehát a (4) szorzat is. Ha $n$  5-tel osztva 4 maradékot ad, akkor $n+1$ osztható 5-tel, tehát a (4) szorzat is. Ha $n$  5-tel osztva 2 maradékot ad, tehát a (4) szorzat $\left(n^2+1\right)$ tényezője lesz osztható 5-tel. Ugyanis: $n=5k+2$, ahol $k$ nemnegatív egész, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n^2+1\right)={\left(5k+2\right)}^2+1=25k^2+20k+4+1=25k^2+20k+\mathrm{5,}}\end{array}$ ami osztható 5-tel. Ha $n$  5-tel osztva 3 maradékot ad, akkor a (4) szorzatnak megint az $\left(n^2+1\right)$ tényezője lesz osztható 5-tel. Ugyanis: $n=5k+3$, ahol $k$ nemnegatív egész, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n^2+1\right)={\left(5k+3\right)}^2+1=25k^2+30k+9+1=25k^2+30k+\mathrm{10,}}\end{array}$ ami szintén osztható 5-tel.   7. Az $1000$ méter sugarú $60$ fokos középponti szögű körcikkbe a képen látható módon újabb hozzá hasonló körcikkeket rajzolunk, és ezt a ,,végtelenségig'' folytatjuk.     $a)$ Mennyi a $12$. beírt (vagyis a $13$. lerajzolt) körcikk területe és kerülete? $b)$ Tekintsük a körcikkek kerületeinek olyan sorozatát, melynek első eleme az $1000$ méter sugarú körcikk, és számítsuk ki az első $13$ elem összegét. $c)$ Tekintsük a körcikkek területeinek olyan sorozatát, melynek első eleme az $1000$ méter sugarú körcikk területe, és a további körcikkeket a fent leírt módon kapjuk. Jelölje ezeket a területeket $T_1$, $T_2$ stb. Mennyi $S_n$, ha $n\to \infty$?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az $ABC$ háromszög egyenlő szárú, hiszen az $A$ csúcsnál és a $C$ csúcsnál is 30 fokos szög található. Az $AC$ szakaszt jelöljük $r_1$-gyel, a $BC$ szakaszt pedig $r_2$-vel. Az $ABC$ háromszögre felírva a koszinusztételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_1^2=r_2^2+r_2^2-2r_2^2\text{cos}{120}^{\circ }\mathrm{,}\text{amiből}{r}_2=\frac{r_1}{\sqrt[]{3}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel beláttuk, hogy minden egyes újabb beírt körcikk sugarát úgy kapjuk, hogy az előző körcikk sugarát osztjuk $\sqrt[]{3}$-mal. Az egymást követő körcikkek sugarai méterben mérve tehát mértani sorozatot alkotnak, melynek első eleme $r_1=1000$ és hányadosa $q=\frac{1}{\sqrt[]{3}}$, $\begin{array}{c}{\displaystyle r_{13}=r_1\cdot q^{12}=1000\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)}^{12}=\frac{1000}{3^6}=\frac{1000}{729}\mathrm{.}}\end{array}$     A 13. lerajzolt körcikk területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=\frac{r_{13}^2\cdot \pi }{6}=\frac{{\left(\frac{1000}{729}\right)}^2\cdot \pi }{6}=\frac{1000000\cdot \pi }{531441\cdot 6}\approx 0\mathrm{,}3136\cdot \pi \approx 0\mathrm{,}9852\left(\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math>}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A 13. lerajzolt körcikk kerülete: $\begin{array}{c}{\displaystyle K=2\cdot r_{13}+\frac{2\cdot r_{13}\cdot \pi }{6}=2\cdot r_{13}\cdot \left(1+\frac{\pi }{6}\right)=2\cdot 1000\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)}^{12}\cdot \left(1+\frac{\pi }{6}\right)\approx 4\mathrm{,}18\left(\text{m}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Az $n$-edik körcikk kerülete: $\begin{array}{c}{\displaystyle K_n=2\cdot r_n+\frac{2\cdot r_n\cdot \pi }{6}=2\cdot r_n\cdot \left(1+\frac{\pi }{6}\right)=2\cdot r_1\cdot q^{n-1}\cdot \left(1+\frac{\pi }{6}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis a körcikkek kerületei is mértani sorozatot alkotnak. A kerületsorozat első 13 elemének összege: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_{13}=a_1\cdot \frac{q^{13}-1}{q-1}=2\cdot 1000\cdot \left(1+\frac{\pi }{6}\right)\cdot \frac{{\left(\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)}^{13}-1}{\frac{1}{\sqrt[]{3}}-1}\approx 7204\mathrm{,}0369\text{(m). }}\end{array}$ $c)$ Az $n$-edik körcikk területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_n=\frac{r_n^2\cdot \pi }{6}=\frac{{\left[r_1\cdot {\left(\frac{1}{\sqrt[]{3}}\right)}^{n-1}\right]}^2\cdot \pi }{6}=\frac{r_1^2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\cdot \pi }{6}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a területek egy olyan mértani sorozatot alkotnak, melynek első eleme: $T_1=\frac{{1000}^2\cdot \pi }{6}$, hányadosa: $\frac{1}{3}<1$. A $\underset{S_n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}=\frac{a_1}{1-q}$ képlet alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{S_n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}=\frac{\frac{{1000}^2\cdot \pi }{6}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{{1000}^2\cdot \pi }{6}\cdot \frac{3}{2}={500}^2\cdot \pi \mathrm{.}}\end{array}$ Tehát a végtelen sok terület összege: ${500}^2\cdot \pi \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math>(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"></math>)}$.   8. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái $A\left(2;5\right)$, $B\left(7;-7\right)$, $C\left(-4;-3\right)$. Az $A$ csúcson áthaladó belső szögfelező $D$ pontban metszi a $BC$ oldalt. $a)$ Írjuk fel az A csúcson áthaladó belső szögfelező egyenes egyenletét. $b)$ Adjuk meg az $\overrightarrow{AD}$ vektor koordinátáit és abszolútértékét. $c)$ Határozzuk meg az $\overrightarrow{AD}$ vektor és a $\overrightarrow{BC}$ vektor hajlásszögét. $d)$ Létezhet-e olyan $ABC$ háromszög, amelynek az $A$ csúcson áthaladó belső szögfelezőjének háromszögön belüli szakasza hosszabb, mint az $AB$ oldal? Ha igen, akkor mi ennek a feltétele a háromszög szögeivel kifejezve?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az $A$ csúcson áthaladó belső szögfelező egyenes egy irányvektora az $\overrightarrow{AB}$ irányú egységvektor és az $\overrightarrow{AC}$ irányú egységvektor összege. ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle \overrightarrow{AB}}& {\displaystyle \left(5;-12\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle |\overrightarrow{AB}|}\hfill & \hfill {\displaystyle =\mathrm{13,}}& {\displaystyle e_{\overrightarrow{AB}}}\hfill & {\displaystyle \left(\frac{5}{13};\frac{-12}{13}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \overrightarrow{AC}}& {\displaystyle \left(-6;-8\right)\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle |\overrightarrow{AC}|}\hfill & \hfill {\displaystyle =\mathrm{10,}}& {\displaystyle e_{\overrightarrow{AC}}}\hfill & {\displaystyle \left(\frac{-6}{10};\frac{-8}{10}\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ ${\text{v}}_{f1}\left(\frac{-28}{130};\frac{-224}{130}\right)$, ezzel párhuzamos vektor a ${\text{v}}_{f2}\left(-1;-8\right)$, az $A$-n áthaladó belső szögfelező egyenes egy normálvektora $\text{n}\left(8;-1\right)$, egyenlete $\begin{array}{c}{\displaystyle 8x-y=11.}\end{array}$ (1)     $b)$ A $D$ pont az $A$-n áthaladó belső szögfelező egyenes és a $BC$ egyenesének metszéspontja. A $BC$ egyenes egy irányvektora: ${\text{v}}_{BC}=\overrightarrow{BC}\left(-11;4\right)$, ebből adódóan egy normálvektora ${\text{n}}_{BC}\left(4;11\right)$, egyenlete pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle 4x+11y=-49.}\end{array}$ (2) Az (1) és (2) egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása: $x=\frac{18}{23}$, $y=-\frac{109}{23}$. Tehát ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle D\left(\frac{18}{23};-\frac{109}{23}\right)\mathrm{,}\overrightarrow{AD}\left(\frac{18}{23}-2;-\frac{109}{23}-5\right)=\left(-\frac{28}{23};-\frac{224}{23}\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |\overrightarrow{AD}|=\sqrt[]{{\left(-\frac{28}{23}\right)}^2+{\left(-\frac{224}{23}\right)}^2}=\frac{\sqrt[]{50960}}{23}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $c)$ $\overrightarrow{AD}\left(-\frac{28}{23};-\frac{224}{23}\right)$, $\overrightarrow{BC}\left(-11;4\right)$, hajlásszögük a következő képlet alapján számolható: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\phi =\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AD}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\phi =\frac{\left(-\frac{28}{23}\right)\cdot \left(-11\right)+\left(-\frac{224}{23}\right)\cdot 4}{\frac{\sqrt[]{50960}}{23}\cdot \sqrt[]{137}}\approx -0\mathrm{,}\mathrm{2225,}\text{ebből}\phi \approx 102\mathrm{,}{86}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ $d)$ Létezik ilyen háromszög, például $\alpha ={80}^{\circ }$; $\beta ={75}^{\circ }$; $\gamma ={25}^{\circ }$. Ez esetben ábránk alapján $\epsilon ={65}^{\circ }$. Az $ABD$ háromszöget vizsgálva tudjuk, hogy $AD$ ekkor nagyobb, mint $AB$, hiszen a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. A feladat feltétele szerint $AD>AB$. Ez ekvivalens a $\beta >\epsilon$ állítással, ami pedig egyenértékű a $\beta >{180}^{\circ }-\beta -\frac{\alpha }{2}$ egyenlőtlenséggel. További ekvivalens átalakításokkal a $\beta >{90}^{\circ }-\frac{\alpha }{4}$ feltételhez juthatunk.   9. Egy $30$ fős osztály tanulói közül $11$ fiú és $8$ lány játszik valamilyen hangszeren. $9$ fiú és $14$ lány versenyszerűen sportol, valamint $13$ fiúról mondható el, hogy jár matematika szakkörre. A lányok közül hárman egyáltalán nem sportolnak semmit, de járnak matematika szakkörre. $a)$ Hány fiú és hány lány van az osztályban? $b)$ A hangszeren játszó $8$ lány közül, mindegyikük pontosan három másikkal jelölte meg egymást ismerősként egy internetes közösségi oldalon. Szemléltessünk egy ilyen kapcsolatrendszert gráffal. $c)$ A versenyszerűen sportoló fiúk közül öten vízilabdáznak. Kérdésünkre elmondták, hogy a $b)$ feladatban említett közösségi oldalon ők is regisztráltak. Mindegyikük elárulta, hogy maguk között hány társukkal jelölték meg egymást kölcsönösen ismerősként. A kapott válaszok $4$, $4$, $3$, $2$, $1$. Mit gondolhatunk erről? $d)$ Egy $30$ fős osztályban csak $13$ fiú van. Az osztály egy bemutatóra táncprodukcióval készül, ahol $15$ pár fog táncolni. Hányféleképpen alakulhatnak ki a párok, ha a lányok közül a szükséges létszám fiúnak öltözik. A fiúnak öltöző lányok személyét, valamint a párokat sorsolással alakítják ki. $e)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a $d)$ feladatrészben említett sorsolás eredményeként az osztály tanulója Kis Mária fiúnak öltözött lánnyal táncol? $f)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a $d)$ feladatrészben említett sorsolás eredményeként a három versenytáncos lány, Kis Mária, Nagy Anita és Tóth Karola közül maximum kettőnek kell fiúnak öltöznie? $g)$ Hányféleképpen sorsolhatnak ki a $d)$ feladatrészben említett osztály tanulói között nyolc különböző ajándéktárgyat, ha egy tanuló csak egy ajándéktárgyat kaphat? Ezek között hány olyan eset van, hogy fiú is van a nyertesek között?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Az osztályba jár 14 sportoló lány és 3 lány, aki egyáltalán nem is sportol. Tehát a lányok minimum 17-en vannak, de nem is lehetnek többen, mert van 13 matematika szakkörös fiú. Vagyis 17 lány és 13 fiú jár az osztályba. $b)$ Az ábrán látható gráf megfelel a feladat követelményeinek.     $c)$ Ha a kapcsolatrendszert gráffal próbáljuk szemléltetni, akkor egy 5 csúcsú egyszerű gráfot próbálunk rajzolni, melyben van két negyedfokú pont. A negyedfokú pontok mindegyikéből az összes többi csúcsba halad él, ez pedig ellentmond az elsőfokú pont létezésének. Tehát az öt fiú közül legalább az egyik tévedett. $d)$ A 17 lány közül $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2}\right)$-féleképpen választhatjuk ki a fiúnak öltözőket. Az előző esetek mindegyikében $15!$-féleképpen sorsolhatóak ki a párok. Tehát $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2}\right)\cdot 15!\approx 1\mathrm{,}78\cdot {10}^{14}$-féleképpen alakulhatnak ki a párok. $e)$ Kedvező esetek száma: a fiúnak öltöző lányokat ez esetben $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2}\right)$-féleképpen választhatjuk, hisz Kis Mária nem választható. Az előző esetek mindegyikében Kis Máriának kétféle partnere lehet, a további párok pedig $14!$-féleképpen alakulhatnak. Az összes eset száma az előző feladatrészből ismert. Vagyis: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{\text{kedvező esetek száma}}{\text{összes eset száma}}=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{16}{2}\right)\cdot 2\cdot 14!}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{2}\right)\cdot 15!}=\frac{2}{17}\mathrm{.}}\end{array}$ $f)$ Ez egy biztos esemény, tehát a valószínűség: 1. $g)$ 8 különböző ajándéktárgyat egy 30 fős osztályban $\frac{30!}{22!}$-féleképpen sorsolhatunk ki, ha egy tanuló csak egyet nyerhet. Azon esetek száma, amelyben fiú is van a nyertesek között, úgy számolható, hogy a sorsolás összes kimenetelének számából levonjuk a fiúnyertest nem tartalmazó kimenetelek számát, vagyis: $\frac{30!}{22!}-\frac{17!}{9!}\approx 2\mathrm{,}35\cdot {10}^{11}$.