Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Czinki József
Füzet:	2013/szeptember, 329 - 332. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor     I. rész     1. Egy térképész azt a feladatot kapta, hogy az ábrán látható folyó közepe táján található, hosszúkás sziget $CD$ hosszára adjon egy viszonylag elfogadható becslést. A folyó gyors sodrású és örvényes, ezért a térképész nem kelt át a szigetre, hanem máshogy oldotta meg a feladatot.     A parti síkságon kijelölte egymástól 100 méterre az $A$ és $B$ pontokat az ábra szerint, azután lemérte az $\alpha ={38}^{\circ }$, $\delta ={85}^{\circ }$, $\beta ={97}^{\circ }$ és $\gamma ={41}^{\circ }$ szögek fokra kerekített értékét, majd kiszámolta a sziget közelítő hosszát. Számoljuk ki mi is.  (12 pont)   2. $a)$ Fogalmazzuk meg a következő állítás megfordítását, és adjuk meg, hogy a megfordítás igaz-e vagy hamis: Ha egy négyszög deltoid, akkor valamelyik átlóját a másik átlója felezi. $b)$ Tagadjuk a következő mondatot: Amelyik kutya ugat, az nem harap. $c)$ Anett, Béla és Cecília nagyon jó barátok. Zongoraművész, tanító és mérnök a hivatásuk, de nem feltétlenül ebben a sorrendben. Egyikük budapesti, a másik debreceni, a harmadik pedig szombathelyi lakos. Béla és Cecília a következő nyári szünetben Szombathelyre szeretnének utazni, hogy meglátogassák Anettet, aki egyedül él ott nagy kertes házában, és nála szeretnék a nyári szabadságot eltölteni. A zongoraművész megígérte, hogy ekkor Bélának ad egyet legújabb műsoros CD-jéből. A mérnök, aki nem budapesti, szeret sakkozni a debreceni zongoraművésszel, remélhetőleg erre is alkalom nyílik a szabadság alatt. Ki hol lakik és mi a foglalkozása?  (12 pont)   3. $a)$ Melyik az a szám, melyet tízes alapú logaritmusára emelve négyzetének százmilliószorosát kapjuk? $b)$ Egymillió forintot kötünk le egy bankban évi 2,5%-os kamatra. A kamatot az év utolsó napján írják hozzá a tőkéhez, miután levonták belőle a 16%-os kamatadót és 6%-os egészségügyi hozzájárulást (ami szintén a kamatot terheli). Hányadik év végén lépi túl lekötésünk az 1,2 millió forintot?  (13 pont)   4. Tekintsük a hozzárendelési szabályával megadott következő függvényt: $\begin{array}{c}{\displaystyle f:x\to \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{12}{x}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x<-\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |x^2-4|\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }-3\le x<\mathrm{3,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\frac{12}{x}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }x\ge 3.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Ábrázoljuk a függvényt a $\left[-12;12\right]$ intervallumon. $b)$ Adjuk meg a függvény zérushelyeit. $c)$ Adjuk meg a függvény értékkészletét. $d)$ Adjuk meg a függvény szélsőértékhelyeit és szélsőértékeit, továbbá a lokális szélsőértékhelyeit és lokális szélsőértékeit is. $e)$ Páros függvény-e az $f$ függvény?  (14 pont)   II. rész     5. Adott egy dobótetraéder (olyan szabályos és homogén tömegeloszlású tetraéder, melynek lapjaira 1, 2, 3 és 4 van írva) és egy dobóoktaéder (olyan szabályos és homogén tömegeloszlású oktaéder, melynek lapjaira 1-től 8-ig vannak felírva a természetes számok). Dobjunk egyszerre a dobótetraéderrel és a dobóoktaéderrel. Legyen egy kísérlet kimenetele azoknak a számoknak az összege, amelyek az asztallal érintkező lapokra vannak felírva. $a)$ Ábrázoljuk az így definiált valószínűségi változó eloszlását oszlopdiagramon, illetve számoljuk ki a várható értéket. $b)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobóoktaéder asztallal érintkező lapján nagyobb szám lesz, mint a dobótetraéder asztallal érintkező lapján? $c)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kimenetel a nyolcadik alkalommal lesz először 9, ha a kísérletet sokszor elvégezzük egymás után? $d)$ Elvégeztük a kísérletet százszor. A kimeneteleket feljegyezve az alábbi gyakorisági táblázatot kaptuk. Melyik kimenetel esetén a legnagyobb a relatív gyakoriság és a három tizedesre kerekített elméleti valószínűség abszolút eltérése? $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{kimenetel}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{7}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle \text{9}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{11}}& \hfill {\displaystyle \text{12}}\\ {\displaystyle \text{gyakoriság}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{13}}& \hfill {\displaystyle \text{15}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle \text{16}}& \hfill {\displaystyle \text{14}}& \hfill {\displaystyle \text{11}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}\\ \hline\end{array}}}\end{array}$ (16 pont)   6. $a)$ Két pozitív egész szám köbének különbsége 169. Melyek ezek a számok? $b)$ Bizonyítsuk be, hogy ha egy pozitív természetes szám ötödik hatványából kivonjuk magát a számot, a különbség minden esetben osztható lesz a három legkisebb pozitív prímszámmal.  (16 pont)   7. Az 1000 méter sugarú 60 fokos középponti szögű körcikkbe a képen látható módon újabb hozzá hasonló körcikkeket rajzolunk, és ezt a ,,végtelenségig'' folytatjuk.     $a)$ Mennyi a 12. beírt (vagyis a 13. lerajzolt) körcikk területe és kerülete? $b)$ Tekintsük a körcikkek kerületeinek olyan sorozatát, melynek első eleme az 1000 méter sugarú körcikk, és számítsuk ki az első 13 elem összegét. $c)$ Tekintsük a körcikkek területeinek olyan sorozatát, melynek első eleme az 1000 méter sugarú körcikk területe, és a további körcikkeket a fent leírt módon kapjuk. Jelölje ezeket a területeket $T_1$, $T_2$ stb. Mennyi $S_n$, ha $n\to \infty$?  (16 pont)   8. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái $A\left(2;5\right)$, $B\left(7;-7\right)$, $C\left(-4;-3\right)$. Az $A$ csúcson áthaladó belső szögfelező $D$ pontban metszi a $BC$ oldalt. $a)$ Írjuk fel az A csúcson áthaladó belső szögfelező egyenes egyenletét. $b)$ Adjuk meg az $\overrightarrow{AD}$ vektor koordinátáit és abszolútértékét. $c)$ Határozzuk meg az $\overrightarrow{AD}$ vektor és a $\overrightarrow{BC}$ vektor hajlásszögét. $d)$ Létezhet-e olyan $ABC$ háromszög, amelynek az $A$ csúcson áthaladó belső szögfelezőjének háromszögön belüli szakasza hosszabb, mint az $AB$ oldal? Ha igen, akkor mi ennek a feltétele a háromszög szögeivel kifejezve?  (16 pont)   9. Egy 30 fős osztály tanulói közül 11 fiú és 8 lány játszik valamilyen hangszeren. 9 fiú és 14 lány versenyszerűen sportol, valamint 13 fiúról mondható el, hogy jár matematika szakkörre. A lányok közül hárman egyáltalán nem sportolnak semmit, de járnak matematika szakkörre. $a)$ Hány fiú és hány lány van az osztályban? $b)$ A hangszeren játszó 8 lány közül, mindegyikük pontosan három másikkal jelölte meg egymást ismerősként egy internetes közösségi oldalon. Szemléltessünk egy ilyen kapcsolatrendszert gráffal. $c)$ A versenyszerűen sportoló fiúk közül öten vízilabdáznak. Kérdésünkre elmondták, hogy a $b)$ feladatban említett közösségi oldalon ők is regisztráltak. Mindegyikük elárulta, hogy maguk között hány társukkal jelölték meg egymást kölcsönösen ismerősként. A kapott válaszok 4, 4, 3, 2, 1. Mit gondolhatunk erről? $d)$ Egy 30 fős osztályban csak 13 fiú van. Az osztály egy bemutatóra táncprodukcióval készül, ahol 15 pár fog táncolni. Hányféleképpen alakulhatnak ki a párok, ha a lányok közül a szükséges létszám fiúnak öltözik. A fiúnak öltöző lányok személyét, valamint a párokat sorsolással alakítják ki. $e)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a $d)$ feladatrészben említett sorsolás eredményeként az osztály tanulója Kis Mária fiúnak öltözött lánnyal táncol? $f)$ Mennyi a valószínűsége annak, hogy a $d)$ feladatrészben említett sorsolás eredményeként a három versenytáncos lány, Kis Mária, Nagy Anita és Tóth Karola közül maximum kettőnek kell fiúnak öltöznie? $g)$ Hányféleképpen sorsolhatnak ki a $d)$ feladatrészben említett osztály tanulói között nyolc különböző ajándéktárgyat, ha egy tanuló csak egy ajándéktárgyat kaphat? Ezek között hány olyan eset van, hogy fiú is van a nyertesek között? $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)