Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Koncz Levente
Füzet:	2011/december, 514 - 515. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész   1. Egy általános iskolában a farsangi tombolán összesen 210 tombolaszelvényt adtak el, ezek közül hármat vett meg Bori. A sorsoláson összesen 20 nyertes szelvényt húznak ki, melyek közül az utolsónak a tulajdonosa kapja meg a főnyereményt. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy $a)$ Bori legalább az egyik szelvénnyel nyer; $b)$ Bori mindhárom szelvénnyel nyer; $c)$ Bori nyeri a főnyereményt.  (12 pont)   2. Legyen $P$ olyan pont a derékszögű koordináta-rendszerben, hogy a $P$-ből az $x^2+y^2=6y-6$ és az $x^2+y^2=2x$ egyenletű körökhöz húzott érintőknek $P$-től az érintési pontokig terjedő szakaszai mind ugyanakkorák. Igazoljuk, hogy az említett tulajdonsággal rendelkező $P$ pontok halmaza egy egyenes. Írjuk fel ennek az egyenesnek az egyenletét.  (13 pont)   3. Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=3x^2+px+q}\end{array}$ hozzárendeléssel megadott függvényben a $p$ és a $q$ paraméterek értékét, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=13\text{és}\underset{2}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=35.}\end{array}$ (12 pont)     4. $a)$ Határozzuk meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az $\begin{array}{c}{\displaystyle x\mapsto \frac{\text{sin}2x}{\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)}}\end{array}$ hozzárendeléssel megadott függvény értelmezhető és ezen az értelmezési tartományon adjuk meg a függvény értékkészletét. Ábrázoljuk a függvényt a $\left[-2\pi ;2\pi \right]$ intervallumon. $b)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{sin}2x}{\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)}=2\text{cos}2x}\end{array}$ egyenletet a valós számok halmazán.  (14 pont)   II. rész   5. Egy egységnyi oldalú szabályos háromszög oldalait (azonos körüljárási irány szerint) felosztottuk $m:n$ arányban, és az osztópontokat összekötve újabb háromszöget kaptunk. Ezt az eljárást gondolatban végtelen sokszor megismételjük a kapott háromszögek mindegyikével. A keletkezett háromszögek területének összege az eredeti háromszög területének $\frac{19}{30}$-szorosa. Határozzuk meg az $m:n$ arányt. $\begin{array}{c}\end{array}$ (16 pont)   6. $a)$ Határozzuk meg az $x$ értékét úgy, hogy $16\cdot {25}^x$, $133\cdot {10}^x$ és $250\cdot 4^x$ (ebben a sorrendben) egy számtani sorozat egymást követő elemei legyenek. $b)$ Egy számtani sorozat első eleme 16, differenciája 117. A sorozat első $n$ elemének összege 371 000. Határozzuk meg $n$ értékét.  (16 pont)   7. Egy ötoldalú szabályos gúla minden éle egyenlő. $a)$ Mekkora szöget zárnak be a szomszédos oldallapok? $b)$ Mekkora szöget zár be egy oldalél az alaplappal? $c)$ Egy ólomból készített papírnehezék alakja éppen ilyen szabályos ötoldalú gúla, melynek minden éle 1,5 cm hosszúságú. Hány darab papírnehezék önthető 1,5 kg ólomból, ha a művelet során a tapasztalatok szerint 9% veszteséggel kell számolnunk? (Az ólom sűrűsége 11,3 g/cm${}^3$.)  (16 pont)   8. Bergengócia legnagyobb tavának négy üdülővárosát hajójáratokkal szeretnék összekötni. Minden járat közvetlenül két települést köt össze úgy, hogy közben harmadik várost nem érint (a járatok oda-vissza közlekednek). A hálózatban működő járatok száma 0-tól 6-ig bármennyi lehet. $a)$ Hány különböző járathálózat alakítható ki? (Két hálózat akkor különböző, ha van legalább egy olyan járat, mely az egyik hálózatban közlekedik, a másikban nem.) $b)$ Az összes lehetséges járathálózat hányadrésze lesz összefüggő? (Egy hálózat akkor összefüggő, ha ‐ szükség esetén átszállással ‐ bármely városból bármely másik városba el lehet jutni.) $c)$ Takarékossági okokból végül úgy döntenek, hogy a lehető legkevesebb járatot indítják el ahhoz, hogy a hálózat még összefüggő legyen. Hány különböző járathálózat alakítható így ki?  (16 pont)   9. Murmur úr telkét a szomszéd telkétől egy 180 cm magas kerítés választja el. Milyen szögben kell a kerítéshez támasztania a 390 cm magas paravánját, ha azt szeretné, hogy az a szomszéd kertjére a lehető legnagyobb árnyékot vesse, feltéve, hogy a Nap éppen függőlegesen süt? Hány méterre nyúlik be a szomszéd telkére ez az árnyék?  (16 pont)