Cím:	A 2011. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai
Füzet:	2012/március, 130 - 132. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 2011. évi WILLIAM LOWELL PUTNAM verseny feladatai${}^1$   1   A1. Nevezzük növekvő spirálnak a koordinátasík azon $P_0=\left(\mathrm{0,0}\right)\mathrm{,}{P}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{P}_n$ egész koordinátájú pontsorozatait, amelyekre $n\ge 2$ és: ‐ A $P_0{P}_1$, $P_1{P}_2$, $\text{...}$, $P_{n-1}{P}_n$ irányított szakaszok rendre az egymást követő koordináta-irányokba mutatnak: keletre ($P_0{P}_1$ esetén), északra, nyugatra, délre, keletre, és így tovább. ‐ A szakaszok hozza pozitív és szigorúan növekvő. [Ábra nélkül.] Hány olyan $0\le x\le 2011$, $0\le y\le 2011$ egész koordinátájú $\left(x\mathrm{,}y\right)$ pont van, amely nem lehet egy növekvő spirál utolsó, $P_n$ pontja?     A2. Legyenek $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ és $b_1\mathrm{,}{b}_2\mathrm{,}\text{...}$ olyan pozitív valós számokból álló sorozatok, amelyekre $a_1=b_1=1$ és $b_n=b_{n-1}{a}_n-2$, ahol $n=\mathrm{2,3,}\text{...}\mathrm{.}$ Tegyük fel, hogy a $\left(b_j\right)$ sorozat korlátos. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{a_1\text{...}{a}_n}}\end{array}$ konvergens, és számítsuk ki az $S$ értékét.     A3. Adjunk meg egy olyan $c$ valós számot és egy olyan $L$ pozitív számot, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{r\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{{{\displaystyle r}}^c\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{x}^r\text{sin}xdx}{{{\displaystyle \int }}_0^{\pi /2}{x}^r\text{cos}xdx}=L\mathrm{.}}\end{array}$     A4. Mely $n$ pozitív egészekre létezik olyan egész elemekből álló $n\times n$-es mátrix, amelyre minden sornak az önmagával vett skaláris szorzata páros, de bármely két különböző sor skaláris szorzata páratlan?     A5. Legyenek $F:{\text{R}}^2\to \text{R}$ és $g:\text{R}\to \text{R}$ kétszer folytonosan differenciálható függvények a következő tulajdonságokkal: ‐ Minden $u\in \text{R}$ esetén $F\left(u\mathrm{,}u\right)=0$; ‐ Minden $x\in \text{R}$ esetén $g\left(x\right)>0$ és $x^{2}g\left(x\right)\le 1$; ‐ Minden $\left(u\mathrm{,}v\right)\in {\text{R}}^2$ esetén a $\nabla F\left(u\mathrm{,}v\right)$ vektor vagy $\text{0}$, vagy párhuzamos a $\langle g\left(u\right)\mathrm{,}-g\left(v\right)\rangle$ vektorral. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $C$ konstans, amelyre minden $n\ge 2$ és valamely $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_{n+1}\in \text{R}$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{i\ne j}{\overset{}{\text{min}}}|F\left(x_i\mathrm{,}{x}_j\right)|\le \frac{C}{n}\mathrm{.}}\end{array}$     A6. Legyen $G$  $n$ elemű kommutatív csoport, és legyen a  $\begin{array}{c}{\displaystyle \left\{g_1=e\mathrm{,}{g}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{g}_k\right\}⫋G}\end{array}$ olyan (nem feltétlenül minimális) halmaz, amelynek elemei különbözők és generálják a $G$ halmazt. Egy speciális dobókocka véletlenszerűen kiválasztja a $g_1\mathrm{,}{g}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{g}_k$ elemek egyikét, egyenlő valószínűségekkel. A kockával egymás után $m$-szer dobva, a kapott elemeket összeszorozva kapjuk a $g\in G$ elemet. Bizonyítsuk be, hogy van olyan $b\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ valós szám, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{m\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{1}{b^{2m}}\sum _{x\in G}^{}{\left(\text{Prob}\left(g=x\right)-\frac{1}{n}\right)}^2}\end{array}$ pozitív és véges.     B1. Legyenek $h$ és $k$ be pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy minden $\epsilon >0$ esetén léteznek olyan $m$ és $n$ pozitív egészek, amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle \epsilon <|h\sqrt[]{m}-k\sqrt[]{n}|<2\epsilon \mathrm{.}}\end{array}$     B2. Legyen $S$ azon prímszámokból álló $\left(p\mathrm{,}q\mathrm{,}r\right)$ rendezett számhármasok halmaza, amelyekre legalább egy $x$ racionális szám kielégíti a $p{x}^2+qx+r=0$ egyenletet. Mely prímek fordulnak elő hét vagy több $S$-beli számhármasban?     B3. Legyenek $f$ és $g$ olyan (valós értékű) függvények, melyeknek értelmezési tartománya a $0$-t tartalmazó nyílt intervallum. Legyen továbbá $g$ a $0$ helyen folytonos és nem nulla. Ha $fg$ és $f/g$ differenciálhatók a $0$ helyen, következik-e, hogy $f$ is differenciálható a 0 helyen?     B4. Egy bajnokságban 2011 játékos mérkőzik meg egymással. A 2011 játékos 2011-szer találkozik, mindannyian egyszerre játszanak a többiek ellen. A játszmában minden játékos vagy nyer, vagy veszít. A verseny állását két $2011\times 2011$-es mátrixban tartják nyilván: $T=\left(T_{hk}\right)$ és $W=\left(W_{hk}\right)$. Kezdetben $T=W=0$. Minden $\left(h\mathrm{,}k\right)$ esetén ha egy játszmában a $h$ és $k$ játékosok döntetlent játszottak (vagyis mindkettő nyert vagy mindkettő veszített), akkor a $T_{hk}$ mátrixelem nő 1-gyel, ha pedig $h$ játékos nyert és $k$ játékos veszített, akkor $W_{hk}$ 1-gyel nő és $W_{kh}$ 1-gyel csökken. Bizonyítsuk be, hogy a bajnokság végén $\text{det}\left(T+iW\right)$ értéke $2^{2010}$-nel osztható nemnegatív egész szám.     B5. Legyenek $a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ valós számok. Tegyük fel, hogy létezik olyan $A$ konstans, hogy minden $n$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+{\left(x-a_i\right)}^2}\right)}^{2}dx\le An\mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $B>0$ konstans, hogy minden $n$-re $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{,}j=1}^n\left(1+{\left(a_i-a_j\right)}^2\right)\ge B{n}^3\mathrm{.}}\end{array}$     B6. Legyen $p$ páratlan prím. Mutassuk meg, hogy ha $n$ a $\left\{\mathrm{0,1,2,}\text{...}\mathrm{,}p-1\right\}$ halmaz eleme, akkor $n$ értékei közül legalább $\left(p+1\right)/2$ esetben $\text{<span style="font-size:16px;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow><mo>∑</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow><mi>k</mi><mo stretchy="false">!</mo><mrow><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></mrow></math></span>}$ nem osztható $p$-vel. 1A versenyről megjelent ismertetés lapunk 2005/2. számában olvasható, a 71‐72. oldalon. A verseny honlapja: http://math.scu.edu/putnam/index.html, a megoldások a http://www.unl.edu/amc/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml honlapon találhatók.