A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.Megoldásvázlatok a 2011/7. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
I. rész 1. Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait: ; ; . (11 pont) Megoldás. Végezzük el a négyzetre emelést és rendezzük nullára az egyenletet: A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alkalmazásával vagy megoldóképlettel (, gyorsan megkapható, hogy , . Az egyenlet -re másodfokú, az értelmezési tartománya: . A két lehetséges érték -re megoldása alapján: , . Vagyis: , . Mindkettő megoldása az egyenletnek, mert benne van az értelmezési tartományban. Az értelmezési tartomány: . A következő alakban is írhatjuk a megadott egyenletet: Másodfokú egyenletet kaptunk -re. A két lehetséges érték -re: , . Az első esetben , a második esetben nincs megfelelő . Az megoldása az egyenletnek, mert benne van az értelmezési tartományban.
2. Egy mértani sorozat első eleme . Ha a sorozat második elemét -szal csökkentjük, a harmadik elemét pedig az első kettő elé írjuk, akkor egy számtani sorozat három, egymást követő tagját kapjuk. Adjuk meg az eredeti három számot. (12 pont)
Megoldás. Legyen a mértani sorozat hányadosa , ekkor a feladatban szereplő három tag: 2; ; . A szöveg alapján a ; 2; egy számtani sorozat három, egymást követő tagja lesz, azaz: . Rendezéssel a másodfokú egyenletet kapjuk, amelyből: , . Két megfelelő számhármast találtunk. Megoldás a 2; 6; 18, illetve a 2; ; 32.
3. Az egyenlőszárú háromszögben , , ahol az alap felezőpontja. Az csúcstól indulva és a körüljárási irányt tartva az oldalakon a harmadoló pontok: , , , , , . Mekkora a , , , egyenesek által meghatározott négyszög területe? (14 pont)
Megoldás. Az háromszöget tegyük koordinátarendszerbe a következő módon: , , . A feladatban szereplő harmadoló pontok koordinátáit is meg tudjuk adni: , , , , , . A harmadoló pontok ismeretében a megfelelő egyenesek egyenlete felírható, hiszen minden kérdéses egyenes két pontjával adott.
A és a pontokra illeszkedő egyenes egyenlete: . A és a pontokra illeszkedő egyenes egyenlete: . Az és a pontokra illeszkedő egyenes egyenlete: . Az és a pontokra illeszkedő egyenes egyenlete: . Meghatározzuk a megfelelő metszéspontok koordinátáit. Az és metszéspontja: . A és metszéspontja: . Az és metszéspontja: . Az ábra szimmetriája miatt a és metszéspontja: . A szimmetria miatt négyszögről belátható, hogy deltoid. Csúcsainak ismeretében az átlók hossza: , . Vagyis a kérdéses terület: .
4. Az téglalap alakú -os emelkedő alsó, vízszintes, méter hosszúságú oldalának az csúcsából egy egyenes mentén szeretnénk feljutni a oldal valamely pontjába. Ezeknek a párhuzamos oldalaknak méter a távolsága. Hová érkezhetünk, ha az útvonal vízszintessel bezárt hajlásszöge nem haladhatja meg a -ot? (14 pont)
Megoldás. A szöveg alapján készítsünk ábrát.
Az derékszögű háromszögben , azaz . Az derékszögű háromszögben , azaz . Végül az derékszögű háromszögben | |
Vagyis ha m, akkor vízszintessel bezárt hajlásszöge nem nagyobb, mint .
II. rész 5.Tekintsük a középpontú, egység sugarú kört. Az origóból az és az érintők húzhatók a körhöz. Írjuk fel és egyenletét. Mekkora szöget zár be egymással és ? Mekkora területű az a síkidom, amelynek pontjaiból a kör -nál nem kisebb, -nál pedig nem nagyobb szögben látható? (16 pont) Megoldás. A kör egyenlete: . Az origóra illeszkedő egyenesek egyenlete: . Ezek közül az lesz az érintő, amelynek a körrel pontosan egy közös pontja van. Tehát az paraméteres egyenletrendszerben azokat az paramétereket keressük, amelyekre az egyenletrendszernek csak egyféle megoldása van. Végezzük el a behelyettesítést:
A keresett értékeket akkor kapjuk, ha a fenti paraméteres másodfokú egyenletben:
A keresett két érintő egyenlete: , . Legyen az érintőn , az érintőn az érintési pont. A két érintő hajlásszöge az , ami az derékszögű háromszög -nál lévő hegyesszögnek a kétszerese. Az origó és a középpont távolságát ki tudjuk számolni: . Tudjuk, hogy , ezért . Ebből kapjuk: , a hajlásszög pedig: .
Megjegyzés. A hajlásszöget természetesen a két meredekség ismeretében is meg tudnánk határozni, most azonban egy olyan gondolatmenetet láttunk, amely nem épült az előző kérdésre adott válaszra.
Ha egy pontból a kör -os szögben látható, jelölje a -ből húzott egyik érintő érintési pontját. Ekkor a derékszögű háromszögben , . Vagyis az ilyen pontok halmaza egy középpontú, 6 sugarú körvonal lesz. Ha egy pontból a kör -os szögben látható, jelölje a -ból húzott egyik érintő érintési pontját. Ekkor a derékszögű háromszögben , . Vagyis az ilyen pontok halmaza egy középpontú, sugarú körvonal lesz. A megfelelő pontok e két körvonal által meghatározott körgyűrű pontjai lesz- nek. Ezek szerint a terület: .
6. Miskolcon a Tiszai pályaudvar várótermének kövezéséhez az ábrán látható burkolólapokat is használtak. Ezeken a lapokon egy ötször ötös négyzethálót színeztek három színnel (sötétzöld, világoszöld, fehér). Ezt a mintát jobbra és felfelé tovább folytathatjuk, és bármely ötnél nagyobb páratlan számhoz elkészíthetjük az ábra színezését. Lerajzoltuk az így készített hétszer hetes négyzethálót is.
Hányadrésze lesz világoszöld az egység oldalú négyzetnek? Hányadrésze lesz sötétzöld a egység oldalú négyzetnek? Igazoljuk, hogyha a négyzet oldalhosszát minden határon túl növeljük, akkor mind a világoszöld, mind a sötétzöld részek területe a négyzet területének a feléhez tart. (16 pont)
Megoldás. Az 51 egység oldalú négyzet , azaz 2601 területű. A világoszöld téglalapok területe sorban: . Mindegyikből kettő van, ezért területük összege: . (Felhasználtuk, hogy az első 25 pozitív páratlan szám összege .) Vagyis az része lesz világoszöld az 51 egység oldalú négyzetnek. A 101 egység oldalú négyzet , azaz 10 201 területű. A sötétzöld téglalapok területe sorban: . Mindegyikből kettő van, ezért területük összege: | | Vagyis az része lesz sötétzöld a 101 egység oldalú négyzetnek. A egység oldalú négyzet területű, ahol tetszőleges 1-nél nagyobb pozitív egész számot jelöl. A világoszöld téglalapok területe sorban: . Mindegyikből kettő van, ezért területük összege: | | A következő értéket kell meghatároznunk: Végezzük el a kijelölt műveleteket és alkalmazzuk a határértékre megismert tulajdonságokat: | | A sötétzöld téglalapok területe sorban: . Mindegyikből kettő van, ezért területük összege: | | Most a következő értéket kell meghatároznunk: Végezzük el a kijelölt műveleteket és alkalmazzuk a határértékre megismert tulajdonságokat: | | Ezzel mindkét esetben igazoltuk az állítást.
7. A -on értelmezett hozzárendeléssel adott függvény képét megforgatjuk az tengely körül. Az így kapott felület egy olyan forgástest alakú edény palástját adja, melynek az alja a kisebb kör. A koordinátarendszer egysége a valóságban 1 dm-t jelent. Hány literes az edény, ha falvastagságát elhanyagolhatónak vehetjük? Az edény aljának középpontjában áll egy elhanyagolható vastagságú egyenes pálca. Ezt a pálcát úgy döntjük el, hogy az alsó vége nem mozdul el. Milyen magasságban érinti a pálca az edény falát? (16 pont)
Megoldás. A -on értelmezett hozzárendeléssel adott függvény forgatásával kapott forgástest térfogata (1. ábra): Az edény kb. 23,5 literes.
1. ábra 2. ábra A rajz a forgástengelyre illeszkedő keresztmetszetet mutatja az eldöntött pálcával (2. ábra). A kérdéses magasság legyen . Írjuk fel az origóból az függvényhez húzható érintő egyenletét. Az origóra illeszkedő egyenesek egyenlete: (most ), az függvény görbéjének egyenlete: . A behelyettesítés után kapjuk: , | | Minden feltételnek az felel meg, vagyis a keresett érintő egyenlete: . Ez az érintő a koordinátájú pontban érinti az függvény képét. Vagyis . (Ez az edény felső peremének magassága.)
8. Oldjuk meg a egyenletet. (16 pont) Megoldás. A feladat értelmezési tartománya: . Alakítsuk át a bal oldalon látható másodfokú kifejezést: | |
Ebben az alakban már könnyen megállapítható, hogy az maximum helye ennek a kifejezésnek, és a -on szigorúan monoton csökkenő, vagyis a feladat értelmezési tartományán is az. Mivel a és a szigorúan monoton növekedő, azért az összegük is az. Az értelmezési tartomány legkisebb elemére, az -re a bal oldal helyettesítési értéke:
| | a jobb oldal helyettesítési értéke: Az egyenlőség miatt az megoldása az egyenletnek. Több megoldás a fent elmondottak miatt nincs.
9. Egy háromszögben ismerjük mindhárom oldal hosszát és mindhárom szög nagyságát. Mutassuk meg, hogy ezeket az értékeket az | | képletbe behelyettesítve a háromszög területét kapjuk. (16 pont)
Megoldás. A megadott képletet alakítsuk a következő módon: | | A koszinusz-tételt alkalmazva: . Ugyanígy felírhatjuk és értékét is: | | Vagyis:
Valóban a háromszög területét adja ez a képlet. |
|