Cím:	A 2010‐2011. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	2011/november, 456 - 460. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 2010‐2011. évi Országos Középiskolai Matematikai Tanulmányi Verseny feladatai I. kategória: Szakközépiskolák Első (iskolai) forduló   1. Az $x$ valós számra teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {16}^{\text{sin}{}^{2}x}+{16}^{\text{cos}{}^{2}x}=10.}\end{array}$ Határozza meg $\text{sin}x$ értékét!   2. A valós számok halmazán egy új műveletet definiálunk. Bármely $a$; $b$ valós számpárra legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a▵b=2a+3b\mathrm{.}}\end{array}$ Milyen feltételeknek kell teljesülnie az $a$; $b$; $c$ valós számhármas tagjaira, ha fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle a▵\left(b▵c\right)=\left(a▵b\right)▵c?}\end{array}$   3. Egy derékszögű háromszög oldalhosszainak összege 84, az oldalak hosszának négyzetösszege 2738. Határozza meg a beírt kör sugarának hosszát!   4. Mely pozitív $p$ prímszámokra teljesül, hogy $360$ osztója a $p^4-5p^2+4$ kifejezésnek?   5. Határozza meg az $a$ számjegyet úgy, hogy a tízes számrendszerbeli $\begin{array}{c}{\displaystyle N=\underset{\text{100 db}}{\overset{}{\underbrace{999\text{...}9}}}a\underset{\text{100 db}}{\overset{}{\underbrace{000\text{...}0}}}9}\end{array}$ alakú szám egy egész szám négyzete legyen!   6. Igazolja, hogy ha valamely háromszög területe $\frac{1}{2}$ területegység, akkor kerülete 3 hosszúságegységnél nagyobb!   Második forduló   1. Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme. A sorozatnak a különbsége prímszám. Tudjuk, hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú tagok összegének a 150-szeresével. Továbbá azt is tudjuk, hogy az utolsó négy tag köbének összege az öt tag közül vett páratlan sorszámú tagok összegének a 224-szerese. Adja meg ezt az öt számot!   2. Adott egy kör, amelynek egyenlete $x^2+y^2-10x-10y+45=0$. $a)$ Bizonyítsa be, hogy a kör minden pontja az első koordináta-negyedbe esik! $b)$ Legyenek a körön levő $P$ pontok koordinátái $x$ és $y$. Képezzük a $P$ pontok koordinátáiból a $k=\frac{y}{x}$ hányadosokat! Mennyi $k$ maximuma és a kör melyik pontjában veszi ezt föl?   3. Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2x+3y+|x+y-2|=\mathrm{5,}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle x^2+4xy+4y^2=5x+11y-7.}\hfill \end{array}}$   4. Adottak a $k_1$; $k_2$; $k_3$ egymást páronként kívülről érintő körök. Az érintési pontjaik legyenek: $P=k_1\cap k_3$, $Q=k_1\cap k_2$ és $R=k_2\cap k_3$. A $PQ$ egyenes $k_2$ körrel való másik metszéspontja $A$ és $k_3$-mal $C$. Az $AR$ egyenes a $k_3$ kört $B$-ben is metszi. Bizonyítsa be, hogy az $ABC$ háromszög derékszögű!   5. Igazolja, hogy ha $a>0$, $b>0$ valós számok és $a\ne b$, akkor: a) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4}{a+b};}\end{array}$ $b)$ továbbá, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{1802}+\frac{1}{1803}+\text{...}+\frac{1}{2010}>\frac{1}{10}}\end{array}$ egyenlőtlenség teljesül!   Harmadik (döntő) forduló   1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}+\frac{1}{\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+2}}+\frac{1}{\sqrt[]{x+2}+\sqrt[]{x+3}}+\text{...}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle +\frac{1}{\sqrt[]{x+2010}+\sqrt[]{x+2011}}=1.}\hfill \end{array}}$   2. Egy ládában almák vannak, amelyek közül néhány megromlott. Ha kiemelünk 11 hibás almát, akkor az eredetihez képest felére tudjuk csökkenteni annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kivéve egy almát, a kivett alma hibás legyen. Hány jó alma lehetett a ládában?   3. Az $ABCD$ konvex négyszög $AC$ és $BD$ átlóinak metszéspontja $P$. Legyen az $APB$, illetve $CPD$ háromszögek területe $T_1$, illetve $T_3$! Az $ABCD$ négyszög $T$ területére teljesül, hogy $T={\left(\sqrt[]{T_1}+\sqrt[]{T_3}\right)}^2$. Igazolja, hogy az $ABCD$ négyszög trapéz!   II. kategória: Általános matematika tantervű gimnáziumok Első (iskolai) forduló   1. Határozzuk meg az $f\left(x\right)$ függvény legkisebb és legnagyobb értékét, ha $-4\le x\le 4$. $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=16-x^2-6\sqrt[]{16-x^2}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Keressük meg mindazon pozitív egész $a$ és $b$ számokat, amelyekre az alábbi négy állítás közül három igaz, egy pedig hamis: $i)$ $a+1$ osztható $b$-vel; $ii)$ $a=2b+5$; $iii)$ $a+b$ osztható 3-mal; $iv)$ $a+7b$ prímszám.   3. Oldjuk meg a természetes számok körében: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^{2x-1}=x^{9-2x}-5.}\end{array}$   4. Adott a síkon egy $O$ pont és a belőle induló két félegyenes, melyek hegyesszöget zárnak be. Ugyanezen sík egy $P$ pontjának a félegyenesekre eső merőleges vetületei a félegyenesek belsejébe eső $P_1$ és $P_2$ pontok. Határozzuk meg azon $P$ pontok halmazát (mértani helyét), amelyekre $P_1{P}_2$ szakasz hossza állandó.   5. Egy urnában 3 piros, 4 fehér és 5 zöld golyó van. Visszatevés nélkül kivesszük egyesével sorban mindet. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább két fehéret húzunk egymás után?   Második forduló   1. Egy tetraéder éleire valós számokat írtunk úgy, hogy a kitérő élekre írt számok összege ugyanannyi legyen. Ezután minden csúcshoz hozzárendeltük az oda befutó élekre írt számok összegét. Ezek az összegek valamilyen sorrendben az $a$, $b$, $c$ és $d$ számok, amelyekre $a=b=2c=2d$ teljesül. Bizonyítsuk be, hogy az élekre írt számok között a 0 szám is előfordul.   2. Tekintsük az $y=x^2$ parabolát. Keressük meg az összes olyan egész meredekségű egyenest, ami áthalad a $P\left(0;4\right)$ ponton és a parabolába eső szakasza egész hosszúságú.   3. Keressük a 2010-nél nagyobb egészek közt a legkisebb olyan $S$ számot, amelyet elosztva a 3, 4, 5, 6, 7 és 8 számokkal, maradékul kétszer kapjuk az 1, 2, 3 számok mindegyikét.   4. Igazoljuk, hogy a $t$ területű $ABCD$ konvex négyszög akkor és csak akkor téglalap, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(AB+CD\right)\left(AD+BC\right)=4t\mathrm{.}}\end{array}$   Harmadik (döntő) forduló   1. Legyen $f_1\left(x\right)=-\frac{2x+7}{x+3}$ és $f_{n+1}\left(x\right)=f_1\left(f_n\left(x\right)\right)$, ha $x\ne -3$ és $x\ne -2$. Határozzuk meg $f_{2010}\left(2011\right)$ értékét.   2. Jelölje az $\left\{\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}n\right\}$ halmaz azon részhalmazainak számát $r_n$, amely nem tartalmaz szomszédos számokat, ahol az 1-et és az $n$-et is szomszédosnak tekintjük. Határozzuk meg $r_{16}$ értékét. Igazoljuk, hogy az $\left\{r_n\right\}$ sorozat hármas maradékai periódikusan ismétlődnek, ha $n\ge 2$ és határozzuk meg a sorozat periódusát.   3. Az $ABC$ háromszög köré írt körhöz $A$-ban és $B$-ben húzott érintők metszéspontja legyen $D$. Az $ABD$ háromszög köré írt köre az $AC$ egyenest és a $BC$ szakaszt másodszor rendre az $E$ és $F$ pontokban metszi. Legyen $CD$ és $BE$ metszéspontja $G$. Határozzuk meg a $BG:GE$ arányt, ha $BC:BF=2:1$.   III. kategória: Speciális matematika tantervű gimnáziumok Első (iskolai) forduló   1. Egy $2010\times 2010$-es táblázat mezőibe úgy akarunk (nem feltétlenül különböző) egész számokat beírni, hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege különböző legyen (azaz 4020 különböző összeget kapjunk). Legkevesebb hányféle szám beírásával tudjuk ezt elérni?   2. Legyen $0<x_1<x_2<\text{...}<x_n<1$. Igazolja, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x_1\left(1-x_1\right)+\left(x_2-x_1\right)\left(1-x_2\right)+\left(x_3-x_2\right)\left(1-x_3\right)+\text{...}}\hfill \\ \multicolumn{1}{c}{\text{<div style="line-height: 6pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle \text{...}+\left(x_n-x_{n-1}\right)\left(1-x_n\right)<\frac{1}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   3. Keresse meg az összes olyan $p$ prímszámot, melyhez léteznek olyan $a$, $b$, $c$ egész számok, hogy $a^2+b^2+c^2=p$ és $\left(a^4+b^4+c^4\right)$ osztható $p$-vel.   4. Egy $n$-elemű $H$ halmaznak kiválasztottuk néhány $k$-elemű részhalmazát ($3\le k\le n$) úgy, hogy $H$ bármely két elemét pontosan három darab, bármely három elemét pontosan két darab kiválasztott részhalmaz tartalmazza. Határozza meg $n$ és $k$ lehetséges értékeit.   5. $\left(a\right)$ Tükrözzük az $ABC$ háromszög $A$ csúcsát $B$-re, $B$-t $C$-re és $C$-t $A$-ra. Igaz-e, hogy ha a tükörképek alkotta háromszög szabályos, akkor az eredeti háromszög is szabályos? $\left(b\right)$ Tükrözzük az $ABCD$ tetraéder $A$ csúcsát $B$-re, $B$-t $C$-re, $C$-t $D$-re és $D$-t $A$-ra. Igaz-e, hogy ha a tükörképek alkotta tetraéder szabályos, akkor az eredeti tetraéder is szabályos?   Második (döntő) forduló   1. Az $ABC$ derékszögű háromszög $C$ csúcsából induló magasságának talppontja az $AB$ átfogón $D$. A $B$ csúcsból induló szögfelező a $CD$ magasságot az $E$, az $AC$ befogót az $F$ pontban metszi. Igazoljuk, hogy $|AD|>2\cdot |EF|$.   2. Van-e olyan pozitív egész, amelynek pozitív osztói között 2011-szer annyi négyzetszám van, mint köbszám?   3. Anna és Bálint a következő játékot játsszák: Anna rajzol egy tetszőlegesen nagy üres (azaz él nélküli) gráfot, majd egyesével behúz tetszőleges éleket, amelyeket Bálint közvetlenül a behúzás után kékre vagy pirosra színez. További szabály, hogy az így keletkező gráfban minden csúcs foka legfeljebb $k$ lehet, és $k$ értékében előre megállapodnak. Melyik az a legkisebb $k$, amely mellett Anna ügyes játékkal mindenképpen létre tud hozni egy 2011 hosszúságú egyszínű utat?