Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2011/október, 396 - 397. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait: $a)$ ${\left(x+500\right)}^2=252012-1011x$; $b)$ $\text{lg}{}^{2}x+2011\cdot \text{lg}x-2012=0$; $c)$ $x+2011\sqrt[]{x-7}-2019=0$.  (11 pont)   2. Egy mértani sorozat első eleme 2. Ha a sorozat második elemét 20-szal csökkentjük, a harmadik elemét pedig az első kettő elé írjuk, akkor egy számtani sorozat három, egymást követő tagját kapjuk. Adjuk meg az eredeti három számot. $\begin{array}{c}\end{array}$ (12 pont)   3. Az $ABC$ egyenlőszárú háromszögben $AB=6$, $CF=9$, ahol $F$ az $AB$ alap felezőpontja. Az $A$ csúcstól indulva és a körüljárási irányt tartva az oldalakon a harmadoló pontok: $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$, $C_2$. Mekkora a $C_1{B}_1$, $C_2{B}_2$, $C_1{A}_2$, $A_1{B}_2$ egyenesek által meghatározott négyszög területe?  (14 pont)   4. Az $ABCD$ téglalap alakú ${20}^{\circ }$-os emelkedő alsó, vízszintes, 20 méter hosszúságú $AB$ oldalának az $A$ csúcsából egy egyenes mentén szeretnénk feljutni a $CD$ oldal valamely pontjába. Ezeknek a párhuzamos oldalaknak 12 méter a távolsága. Hová érkezhetünk, ha az útvonal vízszintessel bezárt hajlásszöge nem haladhatja meg a ${12}^{\circ }$-ot? $\begin{array}{c}\end{array}$ (14 pont)   II. rész     5. Tekintsük a $K\left(5;2\right)$ középpontú, $r=3$ egység sugarú $k$ kört. Az origóból az $e_1$ és az $e_2$ érintők húzhatók a $k$ körhöz. $a)$ Írjuk fel $e_1$ és $e_2$ egyenletét. $b)$ Mekkora szöget zár be egymással $e_1$ és $e_2$? $c)$ Mekkora területű az a síkidom, amelynek pontjaiból a $k$ kör ${60}^{\circ }$-nál nem kisebb, ${90}^{\circ }$-nál pedig nem nagyobb szögben látható?  (16 pont)   6. Miskolcon a Tiszai pályaudvar várótermének kövezéséhez az ábrán látható burkolólapokat is használtak. Ezeken a lapokon egy ötször ötös négyzethálót színeztek három színnel (sötétzöld, világoszöld, fehér). Ezt a mintát jobbra és felfelé tovább folytathatjuk, és bármely ötnél nagyobb páratlan számhoz elkészíthetjük az ábra színezését. Lerajzoltuk az így készített hétszer hetes négyzethálót is. $a)$ Hányadrésze lesz világoszöld az 51 egység oldalú négyzetnek?     $b)$ Hányadrésze lesz sötétzöld a 101 egység oldalú négyzetnek? $c)$ Igazoljuk, hogyha a négyzet oldalhosszát minden határon túl növeljük, akkor mind a világoszöld, mind a sötétzöld részek területe a négyzet területének a feléhez tart.  (16 pont)   7. A $\left[0;4\right]$-on értelmezett $f\left(x\right)=\frac{x^2}{16}+1$ hozzárendeléssel adott függvény képét megforgatjuk az $x$ tengely körül. Az így kapott felület egy olyan forgástest alakú edény palástját adja, melynek az alja a kisebb kör. A koordinátarendszer egysége a valóságban 1 dm-t jelent. $a)$ Hány literes az edény, ha falvastagságát elhanyagolhatónak vehetjük? $b)$ Az edény aljának középpontjában áll egy elhanyagolható vastagságú egyenes pálca. Ezt a pálcát úgy döntjük el, hogy az alsó vége nem mozdul el. Milyen magasságban érinti a pálca az edény falát?  (16 pont)   8. Oldjuk meg a $-x^2+12x-33=\sqrt[]{x-3}+\sqrt[]{x-7}$ egyenletet.  (16 pont)   9. Egy háromszögben ismerjük mindhárom oldal hosszát és mindhárom szög nagyságát. Mutassuk meg, hogy ezeket az értékeket az $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2}{\text{ctg}\alpha +\text{ctg}\beta +\text{ctg}\gamma }}\end{array}$ képletbe behelyettesítve a háromszög területét kapjuk.  (16 pont)