Cím:	Szakaszokon értelmezett leképezések fixpontjairól
Szerző(k):	Simonovits András
Füzet:	2012/május, 264 - 273. oldal	PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/szeptember: K.337, 2012/október: K.347

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Szakaszokon értelmezett leképezések fixpontjairól Reiman István emlékének${}^1$       Bevezetés 1 Egy intervallumon értelmezett valós értékű függvény fixpontjának nevezzük a szakasz egy olyan pontját, amelyet a leképezés a helyén hagy. (Ugyanúgy definiálhatjuk a sík vagy a tér intervallumain értelmezett leképezések fixpontjait.) A fixpontok fontos szerepet játszanak a magasabb matematikában, de szakaszokon értelmezett speciális leképezésekre szorítkozva érdekes fixpont-tételeket bizonyíthatunk a középiskolásoknak is. A 2. pontban megvizsgáljuk, hogyan vontak négyezer évvel ezelőtt négyzetgyököt a babiloniak, anélkül, hogy tudták volna, hogy fixponttételt alkalmaznak. A 3. pontban a szakaszokon definiált leképezések fixpontjainak létezését és az általuk definiált fokozatos megközelítések stabilitását vizsgáljuk. A 4. pontban két közgazdasági alkalmazást mutatunk be. Az első alkalmazás az adósságdinamikára vonatkozik. A második alkalmazásban a piaci egyensúlyt két szereplő és két termék esetén mint fixpontot határozzuk meg. Végül az 5. pontban néhány következtetést vonunk le. Külön függelék tartalmazza a 7. tétel $a)$ pontjának elemi bizonyításvázlatát.   Hogyan vontak négyzetgyököt Babilonban? A mai diákok már zsebszámológéppel vonnak négyzetgyököt, de annak idején, 1963-ban középiskolában még tanultam egy osztáshoz hasonlító négyzetgyökvonási eljárást. De már négyezer évvel ezelőtt a babiloniak is ismertek egy sokkal hatékonyabb ismétléses eljárást (iterációt) a feladat megoldására. Ha az $a>0$ szám négyzetgyökét akarjuk kiszámítani, válasszunk egy tetszőleges kezdőértéket, jele $x_0>0$. Vegyük a következő új közelítő értéket: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{a}{x_0}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ismételjük meg az eljárást a következőképp! Legyen $n$ egy természetes szám, és $x_n$ az $\sqrt[]{a}$-nak az $n$-edik közelítése. Ekkor az $n+1$-edik közelítő értéket úgy kapjuk, hogy $x_0$ helyébe $x_n$-t írjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\mathrm{,}n=\mathrm{0,1,2,}\text{...}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Az eljárás alapgondolata az, hogy ha $x_n>\sqrt[]{a}$, akkor $\frac{a}{x_n}<\sqrt[]{a}$, de (1)-beli számtani közepük, $x_{n+1}$ hibája ($\sqrt[]{a}$-tól mért eltérése) kisebb az $x_n$ hibájánál ([1], 339. o.).     1. tétel. Bármilyen $x_0>0$ kezdőértékre az $\left(1\right)$ eljárás adta $\left\{x_n\right\}$ sorozat tart a $\sqrt[]{a}$-hoz.     1. példa. A $\sqrt[]{2}$ kiszámításakor $x_0=1$ indulóértékre a következő sorozatot kapjuk: $x_1=1\mathrm{,}5$; $x_2=1\mathrm{,}41667$; $x_3=1\mathrm{,}41422$, $x_4=1\mathrm{,}41422$. A babiloni agyagtáblákon 60-as helyértékes rendszerben szerepel ez az érték ([2], 46‐47. o.).   A bizonyítás előtt azonban be kell vezetnünk egy definíciót, és be kell látnunk egy segédtételt:   Definíció. A $\left[c;d\right]$ zárt szakasz $x^{*}$ pontját a szakaszon értelmezett $y=f\left(x\right)$ leképezés fixpontjának nevezzük, ha a leképezés helyén hagyja a pontot: $x^{*}=f\left(x^{*}\right)$.   1. segédtétel. Legyen $c$ és $d$ két olyan pozitív szám, amely közrefogja $\sqrt[]{a}$-t: $c<\sqrt[]{a}<d$. A $\left[c;d\right]$ szakaszon értelmezett $\begin{array}{c}{\displaystyle y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right)}\end{array}$ (2) leképezés egyetlen fixpontja $\sqrt[]{a}$, azaz $f\left(\sqrt[]{a}\right)=\sqrt[]{a}$.   Bizonyítás. Helyettesítsük be a (2) egyenlet mindkét oldalába $x^{*}$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{*}=\frac{1}{2}\left(x^{*}+\frac{a}{x^{*}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezve: ${\left(x^{*}\right)}^2=a$.  $\square$   Rátérünk az 1. tétel bizonyítására. A számtani és mértani közép közti összehasonlítás alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)\ge \sqrt[]{a}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát $\left\{x_{n+1}\right\}$ alulról korlátos sorozat. De az 1. segédtétel igazolásához hasonlóan az is bizonyítható, hogy az $\left\{x_{n+1}\right\}$ csökkenő sorozat: $x_{n+1}\le x_n$, $n=\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{.}$ Az analízis ismert tétele szerint egy alulról korlátos és csökkenő sorozatnak van határértéke, jele $A$. Mivel a (2)-ben szereplő $f$ függvény folytonos, a bal és a jobb oldal határértéke is $A$: azaz fixpont, tehát $A=\sqrt[]{a}$.  $\square$   Meglepő, hogy a babiloniak ilyen hatékony négyzetgyökvonási eljárást dolgoztak ki. Érdekességként megemlítjük, hogy a szabály a $g\left(x\right)=x^2-a$ függvény esetére az (1670 körüli) ún. Newton-féle érintő módszer, amelyet nemlineáris sima függvények gyökeinek kiszámítására használunk. Az alapötlet: az $x^{*}$ gyökhöz elég közeli $x_0$ kezdőpontból indulva, meghatározzuk, hogy a függvényhez az $x_0$-ban húzott érintő milyen $x_1$ pontban metszi a vízszintes tengelyt. Az eljárást megismételve, az $x_n$ pontban húzott érintő az $x_{n+1}$ pontban metszi a vízszintes tengelyt. Konvergencia esetén (ami általában nem biztos), határértékben a $g\left(x^{*}\right)={\left(x^{*}\right)}^2-a=0$ gyököt kapjuk.   Mikor létezik fixpont? A négyzetgyök kiszámításához használt függvénynek van fixpontja. Felvetődik a kérdés: mikor van a $\left[c;d\right]$ szakaszon definiált $f$ függvénynek fixpontja? Ha képzeletben ábrát készítünk, akkor láthatjuk, hogy a függvény grafikonját éppen egy fixpontban metszi az $y=x$ átló, ha létezik a fixpont. Ezen megfigyelés alapján két ellenpéldát mutatunk, amikor nincs fixpont. Az egyik eset, amikor a függvény nem folytonos, és a grafikon egyszerűen átlépi az átlót. A másik eset, amikor az értelmezési tartománynak nem része a képe: például a $\left[0;1\right]$ szakaszt az $f\left(x\right)=x+0\mathrm{,}2$ leképezés az $\left[1\mathrm{,}2;1\mathrm{,}3\right]$ szakaszba képezi le. Ha nem engedjük meg ezt a két lehetőséget, akkor lesz fixpontunk.   2. tétel. Ha az $I=\left[c;d\right]$-on (szakaszon) definiált $f$ folytonos függvény értékkészlete $I$-be esik, akkor létezik legalább egy fixpontja. Képletben: ha $f\left(I\right)\subset I$, akkor van olyan $c\le x^{*}\le d$ pont, amelyre $x^{*}=f\left(x^{*}\right)$.   Bizonyítás. Vegyük a $g\left(x\right)=f\left(x\right)-x$ folytonos segédfüggvényt. Feltevésünk szerint $g\left(c\right)=f\left(c\right)-c\ge 0$ és $g\left(d\right)=f\left(d\right)-d\le 0$. Ha az egyik egyenlőtlenségben egyenlőség áll, akkor fixpontot kaptunk. Tehát mindkét esetben föltehetjük a szigorú egyenlőtlenséget. Az analízis ún. Bolzano-tétele (1817) értelmében létezik a $\left[c;d\right]$ szakasznak legalább egy olyan $x^{*}$ pontja, amelyre $g\left(x^{*}\right)=0$, azaz $x^{*}$ egy fixpont.  $\square$   Például a négyzetgyökvonási eljárásban szereplő leképezés folytonos, és a $\left(0;a\right]$ szakaszt a $\left[\sqrt[]{a};a\right]\subset \left(0;a\right]$ szakaszba képezi le. További kérdés: mikor tart a leképezés ismétlése a fixponthoz? Bizonyítás nélkül kimondjuk a megfelelő tételt.   3. tétel. Tegyük föl, hogy az egyenesen értelmezett folytonosan differenciálható $f$ leképezésnek létezik egy $x^{*}=f\left(x^{*}\right)$ fixpontja. Az $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ iteráció tart e fixponthoz, ha az $|f\text{'}\left(x^{*}\right)|<1$ és $x_0$ megfelelően közel esik a fixponthoz.   2. példa. Lineáris leképezés esetén a 3. tétel könnyen igazolható. Valóban, legyen $f\left(x\right)=ax+b$. Egyetlen fixpont létezik: $x^{*}=f\left(x^{*}\right)=a{x}^{*}+b$, azaz $x^{*}=\frac{b}{1-a}$, feltéve, hogy $a\ne 1$. Az $x_{n+1}=a{x}_n+b$ iterációból vonjuk ki az $x^{*}=a{x}^{*}+b$ egyenletet: $x_{n+1}-x^{*}=a\left(x_n-x^{*}\right)$. Felismerve a mértani sorozat definícióját, $x_n-x^{*}=a^n\left(x_0-x^{*}\right)$, amely valóban akkor tart 0-hoz, ha $|a|<1$, ez pedig $f\text{'}\left(x^{*}\right)=a$ miatt a 3. tétel feltétele.   A 3. tétel szemléletesen azt jelenti, hogy a fixpont közelében a nemlineáris leképezést jól közelíthetjük az $y=f\left(x^{*}\right)+f\text{'}\left(x^{*}\right)\left(x-x^{*}\right)$ lineáris leképezéssel. Többdimenziós térben mind a tételpár, mind a bizonyítás jóval bonyolultabb: a 2. tétel Brouwer-féle fixponttétel (1912), [1], 23.19. tétel, a 3. tétel Ljapunov 1. megközelítéseként (1891) ismert. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban a sík pozitív lineáris leképezéseinek egy speciális osztályára szorítkozunk, amelyeket lényegében Markov orosz matematikus tanulmányozott először 1906-ban.   Definíció. 1. A sík $u=f\left(x;y\right)$ és $v=g\left(x;y\right)$ leképezéspárját Markov-félének nevezzük, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle u=f\left(x;y\right)=ax+\left(1-b\right)y\text{és}v=g\left(x;y\right)=\left(1-a\right)x+by\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $0<a\mathrm{,}b<1$. 2. A sík $x+y=1$, $x\mathrm{,}y\ge 0$ feltételekkel határolt részét a sík egységszimplexének nevezzük. (Szemléletesen szólva, a sík $\left(0;1\right)$ és $\left(1;0\right)$ pontját öszekötő szakaszról van szó.)   Belátjuk a következő segédtételt.   2. segédtétel. Minden Markov-leképezés a sík egységszimplexét az egységszimplexbe képezi le.   Bizonyítás. Egyszerű számolással a pozitivitási feltevés miatt $u\mathrm{,}v\ge 0$. Az összeg szintén megőrződik: $\begin{array}{c}{\displaystyle u+v=ax+\left(1-b\right)y+\left(1-a\right)x+by=x+y=1.\square }\end{array}$ Belátjuk, hogy most is létezik egyetlen fixpont.   4. tétel. Az egységszimplexre leszűkítve, a Markov-leképezésnek pontosan egy fixpontja van: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{*}=\frac{1-b}{2-a-b}\text{és}{y}^{*}=\frac{1-a}{2-a-b}\mathrm{.}}\end{array}$     Bizonyítás. Írjuk be az $y=1-x$ feltételt az első linearitási összefüggésbe: $\begin{array}{c}{\displaystyle u=ax+\left(1-b\right)\left(1-x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az $u=x$ feltételből adódik a fixpont.  $\square$   Tekintsük a Markov-leképezés által definiált dinamikát! $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+1}=a{x}_n+\left(1-b\right)y_n\text{és}{y}_{n+1}=\left(1-a\right)x_n+b{y}_n\mathrm{,}n=\mathrm{0,1,2,}\text{...}\mathrm{.}}\\ {\displaystyle }\end{array}$ (3) Stabil-e a Markov-leképezés fixpontja? Igen.   5. tétel. Bármely síkbeli Markov-leképezés által definiált dinamika tetszőleges $0\le x_0\le 1$, $y_0=1-x_0$ kezdő állapotpár esetén a fixponthoz tart.   Bizonyítás. Most is elegendő az első egyenlet elemzése, feltéve, hogy figyelembe vesszük az $y_n=1-x_n$ korlátozást. Valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{n+1}=a{x}_n+\left(1-b\right)\left(1-x_n\right)=\left(a-1+b\right)x_n+1-b}\end{array}$ átalakítással visszavezettük a feladatot a 2. példában szereplő feladatra. És teljesül a stabilitási feltétel is, hiszen $|a+b-1|<1$ nyilvánvalóan igaz.  $\square$     3. példa. Ha pozitív állandók helyett nemnegatívakkal dolgozunk, akkor elromlik a stabilitás. Például $a=0=b$ esetén a rendszer fűrészfogszerűen ciklizál: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_{2k}=x_0\text{és}{x}_{2k+1}=1-x_0\mathrm{.}}\end{array}$   A valószínűség-számításban fontos szerepet játszanak az ún. Markov-láncok. A most vázolt esetben két állapot van: 1 és 2. Ha az $n$-edik időpontban $x_n$, illetve $y_n=1-x_n$ annak valószínűsége, hogy a rendszer az 1., illetve a 2. állapotban van, akkor a (3) egyenletrendszer az $n+1$-edik időpont valószínűségeit adja meg. Itt $a$ és $b$ annak a feltételes valószínűsége, hogy a rendszer az 1., illetve a 2. állapotban marad. ($1-b$ és $1-a$ viszont annak a feltételes valószínűsége, hogy a rendszer a 2., illetve az 1. állapotból a másikba megy. Az $\left(x^{*};y^{*}\right)$ fixpont az egyensúlyi valószínűség-eloszlás.   Két közgazdasági alkalmazás Két közgazdasági alkalmazást mutatunk be: az első az adósságdinamikát elemzi, a második a piaci egyensúlyt.   Adósságdinamika. Napjainkban az adósságdinamika különösen érzékeny kérdés, és az eddigiek alapján a lényege könnyen megragadható. Éves felbontásban számolunk, és legyen az $n$-edik év elején az államadósság értéke $D_n$ és az éves elsődleges költségvetési hiány $B_n$. Bevezetve még az ún. $R$ kamattényezőt ($1+\text{kamatláb}$), definíció szerint igaz az adósságdinamika alapegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle D_{n+1}=R{D}_n+B_n\mathrm{,}n=\mathrm{0,1,}\text{...}\mathrm{.}}\end{array}$ Kényelmetlen abszolút számokban gondolkozni, ezért az éves nemzeti jövedelemhez (jele: $Y_n$, angol rövidítése: GDP) viszonyított értékekkel dolgozunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle d_{n+1}=\frac{D_{n+1}}{Y_n}\text{és}{b}_n=\frac{B_n}{Y_n}\mathrm{.}}\end{array}$ Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az elsődleges hiánynak a nemzeti jövedelemhez viszonyított hányada állandó, jele $b>0$. További feltevés: a nemzeti jövedelem évente változatlan $g>0$ növekedési tényező szerint bővül: $Y_n=g{Y}_{n-1}$. Bevezetjük az $R>0$ kamattényező és a $g$ növekedési tényező hányadát ($=1+\text{növekedési}$ ütem), a relatív kamattényezőt:   $r=\frac{R}{g}$, és feltesszük róla, hogy kisebb mint 1: $r<1$. (Figyelem: mind a kamatláb, mind a növekedési ütem lehet negatív, különösen, ha az inflációt kiszűrjük!) Ekkor az adósságdinamika abszolút helyett relatív változókra is felírható: $\begin{array}{c}{\displaystyle d_{n+1}=r{d}_n+b\mathrm{,}n=\mathrm{0,1,}\text{...}\mathrm{.}}\end{array}$ Kérdéspár: mi a relatív adósságdinamika fixpontja, és mikor stabil? A választ a 2. példa alapján a következő tétel adja.   6. tétel. A $b>0$ és $0<r<1$ feltevések esetén a relatív adósságdinamika fixpontja pozitív: $\begin{array}{c}{\displaystyle d^{*}=\frac{b}{1-r}>\mathrm{0,}}\end{array}$ és stabil.   Az elsődleges hiány mellett fontos szerepet játszik a költségvetési hiány, amely az elsődleges hiány mellett a kamatkiadást is tartalmazza: $C_n=B_n+\left(R-1\right)D_n$. Relatív értékekre térve: $\begin{array}{c}{\displaystyle c_n=\frac{C_n}{Y_n}\text{és}{c}_n=b_n+\left(r-g{}^{-1}\right)d_n\mathrm{.}}\end{array}$ Az Európai Unióban előírt ún. maastrichti kritériumok közül kettő éppen $d_n$-re és a $c_n$-re vonatkozik: 1.) a költségvetési hiány nemzeti jövedelemhez viszonyított értéke nem lehet nagyobb, mint 3 százalék: $c_n<0\mathrm{,}03$ és 2.) az adósságállomány nemzeti jövedelemhez viszonyított értéke nem lehet nagyobb, mint 60 százalék: $d_n<0\mathrm{,}6$. Sajnos, 2011-ben országunk egyik követelménynek sem tett eleget, $c_{2011}=0\mathrm{,}06$; $d_{2011}=0\mathrm{,}8$ volt. Figyelem: modellünk számos fontos tényezőtől eltekint: például a kamatláb függhet az adóssághányadtól stb.   Piaci egyensúly létezése. A matematikai közgazdaságtan egyik legfontosabb kérdése a piaci egyensúly létezése. Ebben a pontban definiáljuk a  piaci egyensúly legegyszerűbb modelljét (amikor két termék és két fogyasztó létezik), és a 3. pont eredményeit felhasználva igazoljuk a piaci egyensúly létezését, sőt kiszámítjuk az értékét ([3], 541‐543. o.). A két termék a szokásos tankönyvpéldában alma és narancs, de reálisabb esetben lehet például az ipar és a mezőgazdaság, vagy korszerűbb szemléletben az anyagi termelés és szolgáltatás. Két szereplőnk indexe 1 és 2. Az egyes szereplők kiinduló készletpárja $\left(v_1;w_1\right)$, illetve $\left(v_2;w_2\right)$, nemnegatív számok, de egyik vektor sem nulla. A jelölések egyszerűsítése érdekében olyan mértékegységeket választunk, hogy az összkészlet egységnyi legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1+v_2=1\text{és}{w}_1+w_2=1.}\end{array}$ (4) A piaci egyensúly egyidejűleg háromfajta követelményt jelent. $a)$ A csere révén a javakat újra elosztják: olyan $\left(x_1;y_1\right)$ és $\left(x_2;y_2\right)$ nemnegatív pár elfogadható, amelyet a csere lehetővé tesz (vö. (4)): $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+x_2=1\text{és}{y}_1+y_2=1.}\end{array}$ (5) $b)$ Mivel modellünkben nincs pénz, árak helyett árarányokról beszélünk. Ha a két termék áraránya $p>0$, akkor 1 egység 1. termékért $p$ egység 2. terméket kell adni. Eszerint mindkét szereplő a pozitív $p$ árarány mellett ki tudja fizetni a cserét: $\begin{array}{c}{\displaystyle p{x}_k+y_k=p{v}_k+w_k\mathrm{,}k=\mathrm{1,2.}}\end{array}$ (6) $c)$ A közgazdaságtanban szinte általánosan elfogadott, hogy a döntéshozók maximalizálják célfüggvényüket, amely megmondja, hogy a választott döntés mennyire jó. Itt a fogyasztástól függő hasznosságfüggvényüket maximalizálják a cserepartnerek: $\begin{array}{c}{\displaystyle u_k\left(x_k;y_k\right)={\alpha }_k\text{log}{x}_k+\left(1-{\alpha }_k\right)\text{log}{y}_k\to \underset{}{\overset{}{\text{max}}}\mathrm{,}0<{\alpha }_k<\mathrm{1,}k=\mathrm{1,2.}}\end{array}$ (7) Mielőtt tovább haladnánk, néhány mondatos magyarázatot fűzünk e hasznosságfüggvényekhez. 1) Minden $u_k\left(x_k;y_k\right)$ hasznosságfüggvénytől elvárható, hogy mindkét változó szigorúan növekvő függvénye legyen. 2) A legtöbb terméknél (kivéve a földimogyorót) a fogyasztás mennyiségének újabb egységnyi növelése egyre kevésbé emeli elégedettségünket: a függvény szigorúan konkáv. 3) Legegyszerűbb esetben az egyes termékek fogyasztási hatásai összeadódnak. Egyik legegyszerűbb ilyen függvény a fent bevezetett logaritmikus függvény, amelyben a két termék hasznossági súlya a két fogyasztónál különbözhet. (Ugyanakkor a függelékben bemutatott ekvivalens változatban az összeadás helyett szorzat szerepel!) A feladat nehézségét a fixpont-tételeknél megszokott körkörösség jelenti: egyrészt adott piaci áraktól függ az egyes partnerek vagyona és kereslete; másrészt a mérlegfeltételek megszabják az egyensúlyi piaci árakat. Ez a kettőség megjelenik a bizonyításban is. Egyszerű számolással belátható, hogy ilyen egyensúlyi rendszer létezik.   7. tétel. A fent definiált piaci egyensúly létezik, és az egyensúlyi árarány $\begin{array}{c}{\displaystyle p^{*}=\frac{w_1{\alpha }_1+w_2{\alpha }_2}{1-v_1{\alpha }_1-v_2{\alpha }_2}\mathrm{,}}\end{array}$ (8) és az optimális fogyasztási párok $\begin{array}{c}{\displaystyle x_k^{*}=\frac{{\alpha }_k\left(p^{*}{v}_k+w_k\right)}{p^{*}}\text{és}{y}_k^{*}=\left(1-{\alpha }_k\right)\left(p^{*}{v}_k+w_k\right)\mathrm{,}k=\mathrm{1,2.}}\end{array}$ (9)     Bizonyítás. Először tetszőleges $p$ relatív ár mellett határozzuk meg a $k$-adik szereplő optimális fogyasztási párját, majd ezek segítségével felírjuk a piaci egyensúlyi relatív árra vonatkozó fixpont-egyenletet. 1) A feltételes optimalizálással kezdjük a számítást. A rövidség kedvéért $m_k=p{v}_k+w_k$ jelölje a $k$-adik szereplő jövedelmét. A (6) pénzügyi feltételből kifejezhető a második termék fogyasztása: $y_k=m_k-p{x}_k$. Behelyettesítve az $u_k$ célfüggvénybe [(7)], egyváltozós függvényt kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_k\left(x_k\right)={\alpha }_k\text{log}{x}_k+\left(1-{\alpha }_k\right)\text{log}\left(m_k-p{x}_k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Konkáv függvényünk maximuma létezik, és ott a derivált nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_k\text{'}\left(x_k\right)=\frac{{\alpha }_k}{x_k}-\frac{p\left(1-{\alpha }_k\right)}{m_k-p{x}_k}\mathrm{.}}\end{array}$ Egyszerű rendezéssel adódik a paraméteres maximum: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_k=\frac{m_k{\alpha }_k}{p}\text{és}{y}_k=\left(1-{\alpha }_k\right)m_k\mathrm{.}}\end{array}$ (10) A függelékben elemi eszközökkel határozzuk meg a maximumot. 2) Rátérhetünk a piaci áregyensúly meghatározására. Behelyettesítjük a most meghatározott paraméteres optimumokat (5) első mérlegfeltételébe: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1=x_1+x_2=\frac{m_1{\alpha }_1}{p}+\frac{m_2{\alpha }_2}{p}\mathrm{,}}\end{array}$ majd helyettesítsük be az $m_k$-k meghatározását: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\left(p{v}_1+w_1\right){\alpha }_1+\left(p{v}_2+w_2\right){\alpha }_2\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezve $p$-re a fixpont-egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle p\left(1-v_1{\alpha }_1-v_2{\alpha }_2\right)=w_1{\alpha }_1+w_2{\alpha }_2\mathrm{,}}\end{array}$ azaz a (8) képletben szereplő $p^{*}$ adódik. Innen helyettesítéssel kapjuk (9)-et.  $\square$   4. példa. Még ebben a kétszereplős‐kéttermékes modellben is túl sok paraméter van, ezért szemléltetés kedvéért tovább egyszerűsítjük a modellt. Feltesszük, hogy kezdetben az 1. szereplőnek csak a $v$-terméke van, a 2.-nek csak $w$ (specializáció): $v_1=1$, $w_1=0$ és $v_2=0$, $w_2=1$. Ekkor az egyensúlyi relatív ár $\begin{array}{c}{\displaystyle p^{*}=\frac{{\alpha }_2}{1-{\alpha }_1}}\end{array}$ és a fogyasztási négyes $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1^{*}={\alpha }_1\mathrm{,}{y}_1^{*}={\alpha }_2\text{és}{x}_2^{*}=1-{\alpha }_1\mathrm{,}{y}_2^{*}=1-{\alpha }_2\mathrm{.}}\end{array}$ A számolás végére érve elmondjuk, hogy e tétel tetszőleges számú szereplőre és termékre érvényes. Bonyolultabb a bizonyítás, ha a célfüggvények nem olyan egyszerűek, mint a 7. tételben. Az általános tételt Arrow és Debreu 1954-ben igazolta. Kiemeljük, hogy a tétel köznapi nyelven azt mondja, hogy a piacnál nincs jobb elosztási mechanizmus. Ha egy jóindulatú diktátor más árakat írna elő, vagy más fogyasztást írna elő, akkor legalább az egyik fogyasztó rosszabbul járna, mint a piaci elosztásnál. Ez az optimalitási tétel azonban csak súlyos megszorítások mellett érvényes. Ki kell zárnunk a következő bonyodalmakat. $a)$ Tökéletlen verseny van: (kevés szereplő versenyez, ezért a hatékony mennyiségnél kevesebbet termelnek bizonyos termékből). $b)$ Külső (externális) hatások lépnek föl (pl. vasgyártásnál a környezetszennyezéssel növelt társadalmi költségek nagyobbak a piaci költségeknél, s ezért a hatékony mennyiségnél több vasat gyártanak). $c)$ Közjavak léteznek (pl. minden egyes fogyasztó úgy érezheti, hogy semmi baj nem történik, ha egyedül ő nem fizet az országos járványelhárításért, a TV-műsorért stb., s ezért az optimálisnál kevesebbet termelnek a közjavakból). $d)$ Aszimmetrikus információ akadályozza a biztosítást (nem lehet jó egészségbiztosítást venni, mert az egészségesek nem hajlandók az átlagos kockázatot megfizetni). $e)$ Sokan nem találnak a piacon tisztességes megélhetést. Külön, itt nem tárgyalható kérdés: hogyan lehet az egyensúlyt kiszámítani? Van-e olyan dinamikus piaci algoritmus, amelynek végeredménye az egyensúlyi árvektor?     Következtetések   A felsőbb matematika számos területén találkozunk leképezések fixpontjaival, azaz olyan pontokkal, amelyeket a leképezések változatlanul hagynak. A legegyszerűbb esetet már a babiloniak is ismerték, természetesen nem tudták, hogy fixponttételeket használnak, amikor a 2 négyzetgyökét nagy pontossággal meghatározták. Később tágult a kör, és Newton általános módszert adott egyváltozós nem lineáris sima függvények gyökeinek numerikus meghatározására. A függvények fixpontjainak létezését azonban csak a 20. században kezdték el módszeresen vizsgálni. A mozgalom egyik látványos eredménye a piaci egyensúly létezésének bizonyítása volt. Minden nehézségük ellenére az eredmények a legegyszerűbb esetekben érdeklődő középiskolásoknak is elérhetővé tehetők.     Függelék. A célfüggvény maximumának elemi meghatározása   Ebben a pontban elemi eszközökkel, a differenciálszámítás alkalmazása nélkül meghatározzuk a célfüggvény maximumát, a $k$ indexet eldobva. A logaritmikus függvény helyett exponenciális transzformáltját tekintjük: $x^{\alpha }{y}^{1-\alpha }\to \text{max.}$ Jó közelítéssel feltehetjük, hogy $\alpha$ racionális szám, például $\frac{a}{c}$. A célfüggvény $c$-edik hatványra emelésével egész kitevős célfüggvényt kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^a{y}^b\to \text{max.}\mathrm{,}b=c-a\mathrm{.}}\end{array}$ Az 1. termék mértékegységének újradefiniálásával $p=1$, ezért korlátozó feltételünkből kiküszöböltük az árakat: $x+y=m$. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget az $a$ darab $\frac{x}{a}$ és a $b$ darab $\frac{y}{b}$ pozitív számra. A számtani közép $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a+b}\left(a\frac{x}{a}+b\frac{y}{b}\right)=\frac{m}{a+b}\mathrm{,}}\end{array}$ függetlenül $x$ és $y$ választásától. A mértani közép, pontosabban $\left(a+b\right)$-edik hatványa $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a^a{b}^b}{x}^a{y}^b\mathrm{,}}\end{array}$ a célfüggvény állandószorosa, s az állandó elhagyható. Az egyenlőtlenség szerint a maximum tehát akkor valósul meg, ha a két közép egyenlő, tehát minden átlagolandó egyenlő, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{m-x}{b}\mathrm{,}\text{azaz}{x}^{*}=\frac{am}{a+b}=\alpha m\text{és}{y}^{*}=\left(1-\alpha \right)m\mathrm{.}}\end{array}$   Hivatkozások [1] Laczkovich, M. ‐ T. Sós, V. (2007): Analízis, II. kötet, Nemzeti Tankönyvkiadó (Budapest). [2] Neugebauer, O. (1984): Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat (Budapest). [3] Varian, H. (2001): Mikroökonómia középfokon, KJK (Budapest).   ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Simonovits András</span>}}\hfill \end{array}}$ 1Az idén elhunyt Reiman István 40 éven keresztül vezette a magyar középiskolás matematikustehetségek gondozását.