A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Szakaszokon értelmezett leképezések fixpontjairól Reiman István emlékének
Egy intervallumon értelmezett valós értékű függvény fixpontjának nevezzük a szakasz egy olyan pontját, amelyet a leképezés a helyén hagy. (Ugyanúgy definiálhatjuk a sík vagy a tér intervallumain értelmezett leképezések fixpontjait.) A fixpontok fontos szerepet játszanak a magasabb matematikában, de szakaszokon értelmezett speciális leképezésekre szorítkozva érdekes fixpont-tételeket bizonyíthatunk a középiskolásoknak is. A 2. pontban megvizsgáljuk, hogyan vontak négyezer évvel ezelőtt négyzetgyököt a babiloniak, anélkül, hogy tudták volna, hogy fixponttételt alkalmaznak. A 3. pontban a szakaszokon definiált leképezések fixpontjainak létezését és az általuk definiált fokozatos megközelítések stabilitását vizsgáljuk. A 4. pontban két közgazdasági alkalmazást mutatunk be. Az első alkalmazás az adósságdinamikára vonatkozik. A második alkalmazásban a piaci egyensúlyt két szereplő és két termék esetén mint fixpontot határozzuk meg. Végül az 5. pontban néhány következtetést vonunk le. Külön függelék tartalmazza a 7. tétel pontjának elemi bizonyításvázlatát.
Hogyan vontak négyzetgyököt Babilonban? A mai diákok már zsebszámológéppel vonnak négyzetgyököt, de annak idején, 1963-ban középiskolában még tanultam egy osztáshoz hasonlító négyzetgyökvonási eljárást. De már négyezer évvel ezelőtt a babiloniak is ismertek egy sokkal hatékonyabb ismétléses eljárást (iterációt) a feladat megoldására. Ha az szám négyzetgyökét akarjuk kiszámítani, válasszunk egy tetszőleges kezdőértéket, jele . Vegyük a következő új közelítő értéket: Ismételjük meg az eljárást a következőképp! Legyen egy természetes szám, és az -nak az -edik közelítése. Ekkor az -edik közelítő értéket úgy kapjuk, hogy helyébe -t írjuk:
| | (1) |
Az eljárás alapgondolata az, hogy ha , akkor , de (1)-beli számtani közepük, hibája (-tól mért eltérése) kisebb az hibájánál ([1], 339. o.).
1. tétel. Bármilyen kezdőértékre az eljárás adta sorozat tart a -hoz. 1. példa. A kiszámításakor indulóértékre a következő sorozatot kapjuk: ; ; , . A babiloni agyagtáblákon 60-as helyértékes rendszerben szerepel ez az érték ([2], 46‐47. o.). A bizonyítás előtt azonban be kell vezetnünk egy definíciót, és be kell látnunk egy segédtételt:
Definíció. A zárt szakasz pontját a szakaszon értelmezett leképezés fixpontjának nevezzük, ha a leképezés helyén hagyja a pontot: .
1. segédtétel. Legyen és két olyan pozitív szám, amely közrefogja -t: . A szakaszon értelmezett leképezés egyetlen fixpontja , azaz .
Bizonyítás. Helyettesítsük be a (2) egyenlet mindkét oldalába -t: Rendezve: . Rátérünk az 1. tétel bizonyítására. A számtani és mértani közép közti összehasonlítás alapján tehát alulról korlátos sorozat. De az 1. segédtétel igazolásához hasonlóan az is bizonyítható, hogy az csökkenő sorozat: , Az analízis ismert tétele szerint egy alulról korlátos és csökkenő sorozatnak van határértéke, jele . Mivel a (2)-ben szereplő függvény folytonos, a bal és a jobb oldal határértéke is : azaz fixpont, tehát . Meglepő, hogy a babiloniak ilyen hatékony négyzetgyökvonási eljárást dolgoztak ki. Érdekességként megemlítjük, hogy a szabály a függvény esetére az (1670 körüli) ún. Newton-féle érintő módszer, amelyet nemlineáris sima függvények gyökeinek kiszámítására használunk. Az alapötlet: az gyökhöz elég közeli kezdőpontból indulva, meghatározzuk, hogy a függvényhez az -ban húzott érintő milyen pontban metszi a vízszintes tengelyt. Az eljárást megismételve, az pontban húzott érintő az pontban metszi a vízszintes tengelyt. Konvergencia esetén (ami általában nem biztos), határértékben a gyököt kapjuk.
A négyzetgyök kiszámításához használt függvénynek van fixpontja. Felvetődik a kérdés: mikor van a szakaszon definiált függvénynek fixpontja? Ha képzeletben ábrát készítünk, akkor láthatjuk, hogy a függvény grafikonját éppen egy fixpontban metszi az átló, ha létezik a fixpont. Ezen megfigyelés alapján két ellenpéldát mutatunk, amikor nincs fixpont. Az egyik eset, amikor a függvény nem folytonos, és a grafikon egyszerűen átlépi az átlót. A másik eset, amikor az értelmezési tartománynak nem része a képe: például a szakaszt az leképezés az szakaszba képezi le. Ha nem engedjük meg ezt a két lehetőséget, akkor lesz fixpontunk.
2. tétel. Ha az -on (szakaszon) definiált folytonos függvény értékkészlete -be esik, akkor létezik legalább egy fixpontja. Képletben: ha , akkor van olyan pont, amelyre .
Bizonyítás. Vegyük a folytonos segédfüggvényt. Feltevésünk szerint és . Ha az egyik egyenlőtlenségben egyenlőség áll, akkor fixpontot kaptunk. Tehát mindkét esetben föltehetjük a szigorú egyenlőtlenséget. Az analízis ún. Bolzano-tétele (1817) értelmében létezik a szakasznak legalább egy olyan pontja, amelyre , azaz egy fixpont. Például a négyzetgyökvonási eljárásban szereplő leképezés folytonos, és a szakaszt a szakaszba képezi le. További kérdés: mikor tart a leképezés ismétlése a fixponthoz? Bizonyítás nélkül kimondjuk a megfelelő tételt.
3. tétel. Tegyük föl, hogy az egyenesen értelmezett folytonosan differenciálható leképezésnek létezik egy fixpontja. Az iteráció tart e fixponthoz, ha az és megfelelően közel esik a fixponthoz.
2. példa. Lineáris leképezés esetén a 3. tétel könnyen igazolható. Valóban, legyen . Egyetlen fixpont létezik: , azaz , feltéve, hogy . Az iterációból vonjuk ki az egyenletet: . Felismerve a mértani sorozat definícióját, , amely valóban akkor tart 0-hoz, ha , ez pedig miatt a 3. tétel feltétele. A 3. tétel szemléletesen azt jelenti, hogy a fixpont közelében a nemlineáris leképezést jól közelíthetjük az lineáris leképezéssel. Többdimenziós térben mind a tételpár, mind a bizonyítás jóval bonyolultabb: a 2. tétel Brouwer-féle fixponttétel (1912), [1], 23.19. tétel, a 3. tétel Ljapunov 1. megközelítéseként (1891) ismert. Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban a sík pozitív lineáris leképezéseinek egy speciális osztályára szorítkozunk, amelyeket lényegében Markov orosz matematikus tanulmányozott először 1906-ban.
Definíció. 1. A sík és leképezéspárját Markov-félének nevezzük, ha | | ahol . 2. A sík , feltételekkel határolt részét a sík egységszimplexének nevezzük. (Szemléletesen szólva, a sík és pontját öszekötő szakaszról van szó.) Belátjuk a következő segédtételt.
2. segédtétel. Minden Markov-leképezés a sík egységszimplexét az egységszimplexbe képezi le.
Bizonyítás. Egyszerű számolással a pozitivitási feltevés miatt . Az összeg szintén megőrződik: | |
Belátjuk, hogy most is létezik egyetlen fixpont.
4. tétel. Az egységszimplexre leszűkítve, a Markov-leképezésnek pontosan egy fixpontja van: | |
Bizonyítás. Írjuk be az feltételt az első linearitási összefüggésbe: Az feltételből adódik a fixpont. Tekintsük a Markov-leképezés által definiált dinamikát! | | (3) | Stabil-e a Markov-leképezés fixpontja? Igen.
5. tétel. Bármely síkbeli Markov-leképezés által definiált dinamika tetszőleges , kezdő állapotpár esetén a fixponthoz tart.
Bizonyítás. Most is elegendő az első egyenlet elemzése, feltéve, hogy figyelembe vesszük az korlátozást. Valóban | | átalakítással visszavezettük a feladatot a 2. példában szereplő feladatra. És teljesül a stabilitási feltétel is, hiszen nyilvánvalóan igaz.
3. példa. Ha pozitív állandók helyett nemnegatívakkal dolgozunk, akkor elromlik a stabilitás. Például esetén a rendszer fűrészfogszerűen ciklizál: A valószínűség-számításban fontos szerepet játszanak az ún. Markov-láncok. A most vázolt esetben két állapot van: 1 és 2. Ha az -edik időpontban , illetve annak valószínűsége, hogy a rendszer az 1., illetve a 2. állapotban van, akkor a (3) egyenletrendszer az -edik időpont valószínűségeit adja meg. Itt és annak a feltételes valószínűsége, hogy a rendszer az 1., illetve a 2. állapotban marad. ( és viszont annak a feltételes valószínűsége, hogy a rendszer a 2., illetve az 1. állapotból a másikba megy. Az fixpont az egyensúlyi valószínűség-eloszlás.
Két közgazdasági alkalmazás Két közgazdasági alkalmazást mutatunk be: az első az adósságdinamikát elemzi, a második a piaci egyensúlyt.
Adósságdinamika. Napjainkban az adósságdinamika különösen érzékeny kérdés, és az eddigiek alapján a lényege könnyen megragadható. Éves felbontásban számolunk, és legyen az -edik év elején az államadósság értéke és az éves elsődleges költségvetési hiány . Bevezetve még az ún. kamattényezőt (), definíció szerint igaz az adósságdinamika alapegyenlete: Kényelmetlen abszolút számokban gondolkozni, ezért az éves nemzeti jövedelemhez (jele: , angol rövidítése: GDP) viszonyított értékekkel dolgozunk: Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az elsődleges hiánynak a nemzeti jövedelemhez viszonyított hányada állandó, jele . További feltevés: a nemzeti jövedelem évente változatlan növekedési tényező szerint bővül: . Bevezetjük az kamattényező és a növekedési tényező hányadát ( ütem), a relatív kamattényezőt: , és feltesszük róla, hogy kisebb mint 1: . (Figyelem: mind a kamatláb, mind a növekedési ütem lehet negatív, különösen, ha az inflációt kiszűrjük!) Ekkor az adósságdinamika abszolút helyett relatív változókra is felírható: Kérdéspár: mi a relatív adósságdinamika fixpontja, és mikor stabil? A választ a 2. példa alapján a következő tétel adja.
6. tétel. A és feltevések esetén a relatív adósságdinamika fixpontja pozitív: és stabil. Az elsődleges hiány mellett fontos szerepet játszik a költségvetési hiány, amely az elsődleges hiány mellett a kamatkiadást is tartalmazza: . Relatív értékekre térve: | | Az Európai Unióban előírt ún. maastrichti kritériumok közül kettő éppen -re és a -re vonatkozik: 1.) a költségvetési hiány nemzeti jövedelemhez viszonyított értéke nem lehet nagyobb, mint 3 százalék: és 2.) az adósságállomány nemzeti jövedelemhez viszonyított értéke nem lehet nagyobb, mint 60 százalék: . Sajnos, 2011-ben országunk egyik követelménynek sem tett eleget, ; volt. Figyelem: modellünk számos fontos tényezőtől eltekint: például a kamatláb függhet az adóssághányadtól stb.
Piaci egyensúly létezése. A matematikai közgazdaságtan egyik legfontosabb kérdése a piaci egyensúly létezése. Ebben a pontban definiáljuk a piaci egyensúly legegyszerűbb modelljét (amikor két termék és két fogyasztó létezik), és a 3. pont eredményeit felhasználva igazoljuk a piaci egyensúly létezését, sőt kiszámítjuk az értékét ([3], 541‐543. o.). A két termék a szokásos tankönyvpéldában alma és narancs, de reálisabb esetben lehet például az ipar és a mezőgazdaság, vagy korszerűbb szemléletben az anyagi termelés és szolgáltatás. Két szereplőnk indexe 1 és 2. Az egyes szereplők kiinduló készletpárja , illetve , nemnegatív számok, de egyik vektor sem nulla. A jelölések egyszerűsítése érdekében olyan mértékegységeket választunk, hogy az összkészlet egységnyi legyen: A piaci egyensúly egyidejűleg háromfajta követelményt jelent. A csere révén a javakat újra elosztják: olyan és nemnegatív pár elfogadható, amelyet a csere lehetővé tesz (vö. (4)): Mivel modellünkben nincs pénz, árak helyett árarányokról beszélünk. Ha a két termék áraránya , akkor 1 egység 1. termékért egység 2. terméket kell adni. Eszerint mindkét szereplő a pozitív árarány mellett ki tudja fizetni a cserét: A közgazdaságtanban szinte általánosan elfogadott, hogy a döntéshozók maximalizálják célfüggvényüket, amely megmondja, hogy a választott döntés mennyire jó. Itt a fogyasztástól függő hasznosságfüggvényüket maximalizálják a cserepartnerek: | | (7) | Mielőtt tovább haladnánk, néhány mondatos magyarázatot fűzünk e hasznosságfüggvényekhez. 1) Minden hasznosságfüggvénytől elvárható, hogy mindkét változó szigorúan növekvő függvénye legyen. 2) A legtöbb terméknél (kivéve a földimogyorót) a fogyasztás mennyiségének újabb egységnyi növelése egyre kevésbé emeli elégedettségünket: a függvény szigorúan konkáv. 3) Legegyszerűbb esetben az egyes termékek fogyasztási hatásai összeadódnak. Egyik legegyszerűbb ilyen függvény a fent bevezetett logaritmikus függvény, amelyben a két termék hasznossági súlya a két fogyasztónál különbözhet. (Ugyanakkor a függelékben bemutatott ekvivalens változatban az összeadás helyett szorzat szerepel!) A feladat nehézségét a fixpont-tételeknél megszokott körkörösség jelenti: egyrészt adott piaci áraktól függ az egyes partnerek vagyona és kereslete; másrészt a mérlegfeltételek megszabják az egyensúlyi piaci árakat. Ez a kettőség megjelenik a bizonyításban is. Egyszerű számolással belátható, hogy ilyen egyensúlyi rendszer létezik. 7. tétel. A fent definiált piaci egyensúly létezik, és az egyensúlyi árarány | | (8) | és az optimális fogyasztási párok | | (9) |
Bizonyítás. Először tetszőleges relatív ár mellett határozzuk meg a -adik szereplő optimális fogyasztási párját, majd ezek segítségével felírjuk a piaci egyensúlyi relatív árra vonatkozó fixpont-egyenletet. 1) A feltételes optimalizálással kezdjük a számítást. A rövidség kedvéért jelölje a -adik szereplő jövedelmét. A (6) pénzügyi feltételből kifejezhető a második termék fogyasztása: . Behelyettesítve az célfüggvénybe [(7)], egyváltozós függvényt kapunk: | | Konkáv függvényünk maximuma létezik, és ott a derivált nulla: | | Egyszerű rendezéssel adódik a paraméteres maximum: | | (10) | A függelékben elemi eszközökkel határozzuk meg a maximumot. 2) Rátérhetünk a piaci áregyensúly meghatározására. Behelyettesítjük a most meghatározott paraméteres optimumokat (5) első mérlegfeltételébe: majd helyettesítsük be az -k meghatározását: Rendezve -re a fixpont-egyenletet: | | azaz a (8) képletben szereplő adódik. Innen helyettesítéssel kapjuk (9)-et.
4. példa. Még ebben a kétszereplős‐kéttermékes modellben is túl sok paraméter van, ezért szemléltetés kedvéért tovább egyszerűsítjük a modellt. Feltesszük, hogy kezdetben az 1. szereplőnek csak a -terméke van, a 2.-nek csak (specializáció): , és , . Ekkor az egyensúlyi relatív ár és a fogyasztási négyes | | A számolás végére érve elmondjuk, hogy e tétel tetszőleges számú szereplőre és termékre érvényes. Bonyolultabb a bizonyítás, ha a célfüggvények nem olyan egyszerűek, mint a 7. tételben. Az általános tételt Arrow és Debreu 1954-ben igazolta. Kiemeljük, hogy a tétel köznapi nyelven azt mondja, hogy a piacnál nincs jobb elosztási mechanizmus. Ha egy jóindulatú diktátor más árakat írna elő, vagy más fogyasztást írna elő, akkor legalább az egyik fogyasztó rosszabbul járna, mint a piaci elosztásnál. Ez az optimalitási tétel azonban csak súlyos megszorítások mellett érvényes. Ki kell zárnunk a következő bonyodalmakat. Tökéletlen verseny van: (kevés szereplő versenyez, ezért a hatékony mennyiségnél kevesebbet termelnek bizonyos termékből). Külső (externális) hatások lépnek föl (pl. vasgyártásnál a környezetszennyezéssel növelt társadalmi költségek nagyobbak a piaci költségeknél, s ezért a hatékony mennyiségnél több vasat gyártanak). Közjavak léteznek (pl. minden egyes fogyasztó úgy érezheti, hogy semmi baj nem történik, ha egyedül ő nem fizet az országos járványelhárításért, a TV-műsorért stb., s ezért az optimálisnál kevesebbet termelnek a közjavakból). Aszimmetrikus információ akadályozza a biztosítást (nem lehet jó egészségbiztosítást venni, mert az egészségesek nem hajlandók az átlagos kockázatot megfizetni). Sokan nem találnak a piacon tisztességes megélhetést. Külön, itt nem tárgyalható kérdés: hogyan lehet az egyensúlyt kiszámítani? Van-e olyan dinamikus piaci algoritmus, amelynek végeredménye az egyensúlyi árvektor?
A felsőbb matematika számos területén találkozunk leképezések fixpontjaival, azaz olyan pontokkal, amelyeket a leképezések változatlanul hagynak. A legegyszerűbb esetet már a babiloniak is ismerték, természetesen nem tudták, hogy fixponttételeket használnak, amikor a 2 négyzetgyökét nagy pontossággal meghatározták. Később tágult a kör, és Newton általános módszert adott egyváltozós nem lineáris sima függvények gyökeinek numerikus meghatározására. A függvények fixpontjainak létezését azonban csak a 20. században kezdték el módszeresen vizsgálni. A mozgalom egyik látványos eredménye a piaci egyensúly létezésének bizonyítása volt. Minden nehézségük ellenére az eredmények a legegyszerűbb esetekben érdeklődő középiskolásoknak is elérhetővé tehetők.
Függelék. A célfüggvény maximumának elemi meghatározása
Ebben a pontban elemi eszközökkel, a differenciálszámítás alkalmazása nélkül meghatározzuk a célfüggvény maximumát, a indexet eldobva. A logaritmikus függvény helyett exponenciális transzformáltját tekintjük: Jó közelítéssel feltehetjük, hogy racionális szám, például . A célfüggvény -edik hatványra emelésével egész kitevős célfüggvényt kapunk: Az 1. termék mértékegységének újradefiniálásával , ezért korlátozó feltételünkből kiküszöböltük az árakat: . Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget az darab és a darab pozitív számra. A számtani közép függetlenül és választásától. A mértani közép, pontosabban -edik hatványa a célfüggvény állandószorosa, s az állandó elhagyható. Az egyenlőtlenség szerint a maximum tehát akkor valósul meg, ha a két közép egyenlő, tehát minden átlagolandó egyenlő, vagyis | |
[1] | Laczkovich, M. ‐ T. Sós, V. (2007): Analízis, II. kötet, Nemzeti Tankönyvkiadó (Budapest). |
[2] | Neugebauer, O. (1984): Egzakt tudományok az ókorban, Gondolat (Budapest). |
[3] | Varian, H. (2001): Mikroökonómia középfokon, KJK (Budapest). |
Az idén elhunyt Reiman István 40 éven keresztül vezette a magyar középiskolás matematikustehetségek gondozását. |
|