Cím:	Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):	Gerőcs Lászó
Füzet:	2012/február, 72 - 73. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Emelt szintű gyakorló feladatsor   I. rész     1. Amikor Jancsi célba ért a mezei futóversenyen, akkor a helyszíni riporter megkérdezte tőle, hogy hányadik helyen végzett. Jancsi így válaszolt: ,,Ha az előttem végzők fele mögöttem végzett volna, akkor mögöttem ötször annyian lettek volna, mint előttem. Ha viszont a mögöttem befutók harmada előttem végzett volna, akkor 6-tal többen végeztek volna előttem, mint mögöttem.'' Hány résztvevője volt a futóversenynek és hányadik helyen végzett Jancsi?   (12 pont)     2. Egy szabályos hatszög alakú rét egyik oldalának felezőpontjába szúrt karóhoz kikötöttünk egy kecskét. Hány százalékát legelheti le a kecske a rétnek, ha feszes kötél esetén pont el tud jutni a két szomszédos oldal távolabbi végpontjába?   (12 pont)     3. Legyen az alaphalmaz az első $n$ pozitív egész számot tartalmazó halmaz. Legyen az $A$ halmaz a 3-mal osztható, a $B$ halmaz a 4-gyel osztható, a $C$ halmaz pedig az 5-tel osztható számok halmaza. $a)$ Véletlenszerűen kiválasztva egy számot, mekkora annak a valószínűsége, hogy az a megadott három halmaz egyikének sem eleme, ha $n=100$? $b)$ Ha az $A\cap B\cap C$ halmaznak 2 eleme van, akkor hány eleme lehet az $\left(A\cap B\right)\backslash C$ halmaznak?  (13 pont)     4. A MÁV statisztikai adatai szerint az utazók 8%-a bliccel (azaz érvényes jegy nélkül utazik).   $a)$ Egy vagonban 24 utas tartózkodik. Mekkora annak az esélye, hogy a jegyellenőr talál bliccelőt a vagonban?   $b)$ Hány utas esetén lesz legalább 90% annak az esélye, hogy a jegyellenőr talál bliccelőt a vagonban?  (14 pont)   II. rész     5. Egy egységnyi négyzetekből álló négyzetrács $n$ sorból és $k$ oszlopból áll.     A négyzetrács szélével érintkező négyzetek száma (az ábrán világosszürke), a négyzetrács szélével érintkező négyzetekkel érintkező négyzetek száma (az ábrán fehér), és a négyzetrács belsejében levő négyzetek száma (az ábrán sötétszürke) egy számtani sorozat egymást követő tagjai. Határozzuk meg $n$ és $k$ értékét.  (16 pont)     6. Milyen pozitív egész $n$-re teljesül, hogy a $\frac{3\sqrt[]{n}+\sqrt[]{3}}{4\sqrt[]{3}-\sqrt[]{n}}$ tört értéke pozitív egész szám?  (16 pont)   7. A Budapest‐Zürich nemzetközi gyorsvonat szerelvénye 12 vagonból áll: 4 db 1. osztályú, 6 db 2. osztályú vagon, valamint egy étkezőkocsi és egy poggyászkocsi. $a)$ Hányféleképpen alakulhat a kocsik sorrendje oly módon, hogy az 1. osztályú kocsik is és a 2. osztályú kocsik is egymás mögött legyenek, és az étkezőkocsi ne legyen a szerelvény utolsó vagonja? $b)$ Az egyik vagonban 8 tudós utazott, akik közül néhányan már ismerték egymást. Az egyik tudós (legyen a neve $A$) mindenkit ismert a társaságból. Három olyan tudós volt közöttük, akik $A$-n kívül senki mást nem ismertek, míg a többi négy ismerte egymást. Kézfogással bemutatkoztak azok, akik nem ismerték egymást. Hány kézfogás történt?  (16 pont)   8. Egy étterem bejárata előtt, vízszintes talajon egy fémkeretre függőleges rudakat hegesztettek, majd a rudakra csavarozott táblán hirdették a napi menüt. Egy idő után az egyik csapágy eltört (lásd ábra), és így a tábla a földre billent.     $a)$ Határozzuk meg a tábla $A$ csúcspontjának billenés utáni $A\text{'}$ helyzetét a földön. $b)$ Hány fokkal fordult el a tábla a billenés következtében?  (16 pont)   9. Egy egyenlő szárú háromszög alapjának felezőpontja körül olyan félkört rajzoltunk, mely érinti a háromszög szárait. Mekkorák a háromszög szögei, ha a félkör területe a háromszög területének a lehető legnagyobb százalékát teszi ki?   (16 pont)