A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldásvázlatok a 2012/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
I. rész 1. A gyógyszertárakban a meghűlésre kapható, forró vízben feloldható port egyforma kis zacskókban hatosával és tízesével kartondobozokban árusítják. A hatos dobozok ára 1130 Ft, a tízeseké 1640 Ft. Mivel a dobozok anyagköltsége csak minimálisan tér el, ezért azt feltételezzük, hogy ezek ára a méretüktől függetlenül ugyanannyi, és a port tartalmazó zacskók árát is azonosnak gondoljuk. Mennyibe kerülne ekkor egy tizennégyes kiszerelésű doboz? (11 pont)
Megoldás. Legyen egy zacskó ára Ft, egy doboz ára Ft. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: A második egyenletből kivonjuk az elsőt: Visszahelyettesítéssel kapjuk: . Vagyis egy zacskó 127,5 Ft-ba, egy doboz pedig 365 Ft-ba kerül a feltételezéseink alapján. Ekkor a tizennégyes kiszerelésű doboz ára: . Vagyis 2150 Ft-ba kerülne a tizennégyes kiszerelésű doboz.
2. Oldjuk meg a következő egyenletet: | | (13 pont) |
Megoldás. A logaritmus miatt: , a négyzetgyök miatt: , azaz . Vagyis a feladat értelmezési tartománya: . A tényezők zérushelyeit külön-külön megvizsgáljuk. Az első tényező zérushelye a 0, de ez nincs benne az értelmezési tartományban. A második tényező zérushelyei a és a 7, de a feladat értelmezési tartományának csak a felel meg. A harmadik tényező zérushelyei: | | A feladat értelmezési tartománya miatt azonban: | π3+kπ≤-4,k≤-4-π3π≈-1,607<-2. | A megoldás: x1=-4, x2=π3+kπ, ahol k<-2 egész szám.
3. Bettina megvásárolta a legújabb mozaik púdert. A mellékelt kép mutatja a 4 cm-es sugarú henger alakú tégelyt felülnézetben. a) A minta közepén látható ötszög szabályos, és az ezekhez kapcsolódó ötszögekkel ismét egy nagyobb szabályos ötszög alakul ki. Hogyan aránylana egymáshoz ennek a két szabályos ötszögnek az oldala, ha a tégelyben látható 16 síkidom területe egyenlő nagyságú lenne? b) Adjuk meg az előző feltételek teljesülése mellett a középen látható kis, szabályos ötszög oldalának hosszát milliméter pontossággal. (13 pont)
Megoldás. a) Mivel a kis síkidomok területe egyenlő, ezért a két szabályos ötszög területének aránya: 16. Tudjuk, hogy a területek a hasonlóság arányának négyzetével arányosak. Legyen a kis ötszög oldalának hossza a', a nagy ötszög oldalának hossza pedig a. Ekkor: | (a'a)2=16,vagyisa'a=16≈0,4082. |
b) A kör területe: tkör=42⋅π=16π. Mivel a mozaik púder mintája 16 egyenlő területű síkidomból áll, ezért a középen látható szabályos ötszög területe: t=π. A feladatunk ezek alapján a π területű szabályos ötszög oldalhosszának meghatározása. A szabályos ötszöget a középpontjából öt 72∘-os szárszögű egyenlőszárú háromszögre bonthatjuk. Ennek az alapja legyen 2x, ekkor az alaphoz tartozó magasság m=xtg36∘. Ezekkel felírjuk a területet: | x⋅xtg36∘=π5,amiből:2x=45⋅π⋅tg36∘≈1,4. | Vagyis a kis, szabályos ötszög oldalának hossza kb. 1,4 cm.
4. Oldjuk meg a egyenletet. (14 pont)
Megoldás. Az ismert azonosságok segítségével alakítsuk az egyenletet:
2(2sinxcosx)2-2cos2x=sin2x+cos2x,8sin2xcos2x-3cos2x-sin2x=0,8(1-cos2x)cos2x-3cos2x-(1-cos2x)=0,8cos4x-6cos2x+1=0,(cos2x)1,2=6±36-3216=6±216,(cos2x)1=12,(cos2x)2=14,
Vagyis: (cosx)11=22, (cosx)12=-22, (cosx)21=12, (cosx)22=-12.
A megoldások összevonva: x1=π4+k1⋅π2, ahol k1∈Z,x2=π3+k2⋅π, ahol k2∈Z,x3=2π3+k3⋅π, ahol k3∈Z.
II. rész
5. Az y=x2-4x+8 egyenletű parabolához a 0 és a 4 abszcisszájú pontjában is érintőt húzunk. a) Mekkora a két érintő hajlásszöge? b) Mekkora a két érintő és a parabola által meghatározott síkidom területe? (16 pont)
Megoldás. a) A 0 abszcisszájú parabolapont: A(0;8), a 4 abszcisszájú parabolapont: B(4;8). A parabola érintőjének meredeksége: y'=2x-4. A parabola A pontjában az érintő meredekség: m1=-4. Ezek alapján az A pontbeli e1 érintő egyenlete y-8=-4x, azaz y=-4x+8. A parabola B pontjában az érintő meredekség: m2=4. Ezek alapján a B pontbeli e2 érintő egyenlete y-8=4(x-4), azaz y=4x-8. A két érintő metszéspontjának koordinátáit az egyenletrendszer megoldásával kapjuk. A metszéspont: C(2;0).
A két érintő hajlásszöge az ACB∢. Az ABC egyenlőszárú háromszög szárszögét kell meghatároznunk. Az ACF derékszögű háromszögben (F az AB felezőpontja) a C-nél lévő szög nyilvánvalóan a keresett szög fele. Erre a φ szögre felírható a derékszögű háromszögben a tangens: tgφ=28, azaz φ≈14,036∘. A két érintő hajlásszöge: 2φ≈28,1∘. b) A keresett T területet megkapjuk, ha a [0;4]-on a parabola alatti t területből elvesszük a [0;2]-on az e1 érintő alatti t1, és a [2;4]-on az e2 érintő alatti t2 területet. Az adatok alapján: A parabola alatti területet integrál segítségével határozzuk meg: | t=∫04(x2-4x+8)dx=[x33-4⋅x22+8x]04=433-4⋅422+8⋅4=643. | A keresett terület: T=t-(t1+t2)=643-16=163.
6. Egy szivattyú óránként 4,8m3 vizet tud kiemelni a kútból. A vizet henger alakú medencébe eresztik, melynek teteje 154m2-es körlap. Ez a körlap fedi a medence 12 cm-es vastagságú oldalfalát is. a) Hány centimétert emelkedik 2,5 óra alatt a víz a medencében? b) A 15 perc alatt kiemelt vízmennyiséget 25 literes és 60 literes edényekbe töltik. Melyik edényből hány darab lehetett, ha pontosan megteltek ezzel a vízmennyiséggel? (16 pont)
Megoldás. a) A fedőlap területe segítségével meghatározható a henger alakú medence R sugarának hossza: 154=R2⋅π, amiből R=154π≈7,00 (m). Mivel az oldalfal 12 cm-es vastagságú, ezért a henger belső sugara: r=6,88 m. 2,5 óra alatt 2,5⋅4,8=12m3 vizet emel ki a szivattyú. Ennek a vízmennyiségnek legyen m a magassága a henger alakú medencében. A térfogatot felírva a következő összefüggést kapjuk: | 12=6,882⋅π⋅m,vagyism=126,882⋅π≈0,081. | Mindössze 8,1 cm-t emelkedik a medencében a vízszint 2,5 óra elteltével. b) Mivel óránként 4,8 m3 vizet tudunk kiszivattyúzni, ezért 15 perc alatt ennek negyedét, azaz 1200 litert. Legyen a 25 literes edények száma x, a 60 litereseké pedig y. Ekkor: 25x+60y=1200,5x+12y=240,x=240-12y5=48-125y.
Mivel x, y darabszámot jelent, így y csak olyan 5-tel osztható természetes szám lehet, ami mellett x is természetes szám. A lehetséges értékpárokat táblázatba rendeztük: y05101520x483624120
7. Egy téglalap alakú telek két szomszédos oldalán az egyik csúcstól 10 méterre, illetve 24 méterre kijelölünk egy-egy pontot. A pontokat összekötő vonallal levágott derékszögű háromszögbe szeretnénk egy medencét építeni. Az egyik terv szerint a legnagyobb kör alakút, a másik terv szerint a legnagyobb, egy teljes oldalával a derékszögű háromszög átfogójához csatlakozó téglalap alakú medencét kellene megépíteni. Melyik esetben és mennyivel lenne nagyobb a vízfelület? (16 pont)
Megoldás. Az ábra a két tervről készített vázlatot mutatja.
Az első esetben a háromszög beírt köréről van szó. Pitagorasz-tétellel kapjuk a harmadik oldal hosszát: c=242+102=26. A háromszög területe a két befogóval meghatározható: t=10⋅242=120. Alkalmazhatjuk a terület felírására a t=ϱ⋅s képletet is, ahol ϱ a beírt kör sugarának a hossza, az s pedig a háromszög kerületének a fele. Vagyis | s=10+24+262=30,ígyϱ=ts=12030=4. | A kör alakú medence esetén a vízfelület nagysága: tkör=42⋅π≈50,3 (m2). A második terv esetén a maximális területű KLMN téglalapot keressük. Az ábra jelöléseinek felhasználásával írjuk fel a keresett területet x függvényében. (Az ábrán látható, hogy CM=x.)
T(x)=TABC-TMLC-TLBK-TAMN=TABC-TMLC-TA'BL==10⋅242-x⋅2,4x2-(10-x)(24-2,4x)2==120-(120-12x-12x+1,2x2)-1,2x2=-2,4x(x-10).
A kapott másodfokú függvény hozzárendelésében a másodfokú tag együtthatója negatív, a két zérushelye pedig 0 és 10, így x=5-nél maximuma van. Ekkor Vagyis a téglalap alakú medence esetén a vízfelület nagysága 60 m2. Ebben az esetben kb. 9,7 m2-rel nagyobb vízfelületet kapunk, mint a kör alakú terv kivitelezése esetén.
8. Egy hatszög három csúcsának koordinátája valamilyen sorrendben a következő: (-1;-1); (2;8); (7;3). Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, ha tudjuk, hogy az ismeretlen pontok mindegyike az adott három csúccsal húrtrapézt alkot. (16 pont)
Megoldás. Az adott pontok: A(-1;-1); B(2;8); C(7;3). A feladat szövegéből következik, hogy a keresett pontok illeszkednek az ABC háromszög köré írt körére. Először ennek a körnek írjuk fel az egyenletét: Mivel erre a körre illeszkedik az A, B és C csúcs is, így felírható a következő egyenletrendszer: | {1+1-a-b+c=0,4+64+2a+8b+c=0,49+9+7a+3b+c=0,azaz{-a-b+c=-2,2a+8b+c=-68,7a+3b+c=-58. | A c kiküszöbölésével kapjuk:
| {3a+9b=-66,8a+4b=-56,amiből{2a+6b=-44,2a+b=-14,,azaz:b=-6,a=-4,c=-12. | A keresett k kör egyenlete: x2+y2-4x-6y-12=0. Az A, B, C pontokhoz háromféleképpen tudunk negyediket elhelyezni, hogy húrtrapézt határozzanak meg. Ezeket D-vel, E-vel, F-fel jelöljük. I. eset: A D pont rajta van a B pontra illeszkedő AC-vel párhuzamos e egyenesen (és természetesen a k körön is). Az e egy irányvektora AC→(8;4), így egy normálvektora: ne→(1;-2). Az e egyenes egyenlete: x-2y=-14. A k és az e egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen a B pont, a másik megoldás a keresett D(-2;6) pont koordinátáját adja. II. eset: Az E pont rajta van az A pontra illeszkedő BC-vel párhuzamos f egyenesen (és természetesen a k körön is). Az f egy irányvektora BC→(5;-5), így egy normálvektora: nf→(1;1). Az f egyenes egyenlete: x+y=-2.
A k és az e egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen az A pont, a másik megoldás a keresett E(-2;0) pont koordinátáját adja. III. eset: Az F pont rajta van a C pontra illeszkedő AB-vel párhuzamos g egyenesen (és természetesen a k körön is). A g egy irányvektora AB→(3;9), így egy normálvektora: ng→(3;-1). A g egyenes egyenlete: 3x-y=18. A k és az e egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen a C pont, a másik megoldás a keresett F(6;0) pont koordinátáját adja. Ezzel a hatszög mind a hat csúcsának koordinátáját megadtuk.
9. Legyen a) Mennyi a limn→∞A határérték? b) Adjuk meg azokat az n egész számokat, amelyek esetén az A is egész szám. c) Oldjuk meg az A=3 egyenletet. (16 pont)
Megoldás. a) Alkalmazzuk a megfelelő átalakításokat és használjuk a határértékre vonatkozó tételeket: | limn→∞6n2-15n-92n2-9n-5=limn→∞6-15n-9n22-9n-5n2=6-0-02-0-0=3. |
b) A számláló és a nevező zérushelyeinek megkeresése után írjuk szorzatalakban a másodfokú kifejezéseket. A 6n2-15n-9=0 gyökei: n1=3, n2=-12. A 2n2-9n-5=0 gyökei: n3=5, n4=-12. Most már az is látható, hogy n értéke nem lehet 5, és nem lehet -12, mert ekkor a nevező értéke nulla lenne. Írjuk fel a szorzatalakokat és végezzük el az egyszerűsítéseket: | A=6n2-15n-94n2-18n-10=6(n-3)(n+12)2(n-5)(n+12)=3(n-3)n-5. | A kapott törtet alakítsuk a következő módon: | A=3(n-3)n-5=3n-9n-5=3(n-5)+6n-5=3+6n-5. | Ez akkor lesz egész, ha n-5 osztója a 6-nak. A következő lehetőségeket kapjuk: n-5-6-3-2-11236 n-123467811 A210-39654
A táblázat második sorában láthatók a megfelelő n értékek. c) A=6n2-15n-92n2-9n-5=6 egyenlet bal oldalán álló kifejezés a szorzattá bontások után egyszerűsíthető. Ekkor a következő egyenletet kapjuk: | 3(n-3)n-5=6,⇐3n-9=6(n-5)=6n-30,⇐n=7. | Ez valóban megoldása az egyenletnek. Megjegyzés. Ha egyszerűsítés nélkül szorzunk a 2n2-9n-5 nevezővel, akkor egy másodfokú egyenletet kapunk. Ennek két gyöke a 7, illetve a -12. Természetesen az értelmezési tartomány miatt csak a 7 lesz a megoldás.
|