Cím:	Megoldásvázlatok a 2012/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2012/április, 208 - 214. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldásvázlatok a 2012/3. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz   I. rész     1. A gyógyszertárakban a meghűlésre kapható, forró vízben feloldható port egyforma kis zacskókban hatosával és tízesével kartondobozokban árusítják. A hatos dobozok ára 1130 Ft, a tízeseké 1640 Ft. Mivel a dobozok anyagköltsége csak minimálisan tér el, ezért azt feltételezzük, hogy ezek ára a méretüktől függetlenül ugyanannyi, és a port tartalmazó zacskók árát is azonosnak gondoljuk. Mennyibe kerülne ekkor egy tizennégyes kiszerelésű doboz?  (11 pont)   Megoldás. Legyen egy zacskó ára $x$ Ft, egy doboz ára $y$ Ft. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 6x+y}& {\displaystyle =\mathrm{1130,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 10x+y}& {\displaystyle =1640.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A második egyenletből kivonjuk az elsőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4x=\mathrm{510,}x=127\mathrm{,}5.}\end{array}$ Visszahelyettesítéssel kapjuk: $y=365$. Vagyis egy zacskó 127,5 Ft-ba, egy doboz pedig 365 Ft-ba kerül a feltételezéseink alapján. Ekkor a tizennégyes kiszerelésű doboz ára: $14x+y=14\cdot 127\mathrm{,}5+365=2150$. Vagyis 2150 Ft-ba kerülne a tizennégyes kiszerelésű doboz.   2. Oldjuk meg a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{lg}\left(1-x\right)\cdot \sqrt[]{x^2-3x-28}\cdot \text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=0.}\end{array}$ (13 pont)     Megoldás. A logaritmus miatt: $x\in \left]-\infty ;1\right]$, a négyzetgyök miatt: $x^2-3x-28\ge 0$, azaz $x\in \left]-\infty ;-4\right]\cup \left[7;\infty \right[$. Vagyis a feladat értelmezési tartománya: $x\in \left]-\infty ;-4\right]$. A tényezők zérushelyeit külön-külön megvizsgáljuk. Az első tényező zérushelye a 0, de ez nincs benne az értelmezési tartományban. A második tényező zérushelyei a $-4$ és a 7, de a feladat értelmezési tartományának csak a $-4$ felel meg. A harmadik tényező zérushelyei: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi></math> egész szám), ahonnan:}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \mathrm{.}}\end{array}$ A feladat értelmezési tartománya miatt azonban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\pi }{3}+k\pi \le -\mathrm{4,}k\le \frac{-4-\frac{\pi }{3}}{\pi }\approx -1\mathrm{,}607<-2.}\end{array}$ A megoldás: $x_1=-4$, $x_2=\frac{\pi }{3}+k\pi$, ahol $k<-2$ egész szám.   3. Bettina megvásárolta a legújabb mozaik púdert. A mellékelt kép mutatja a 4 cm-es sugarú henger alakú tégelyt felülnézetben. $a)$ A minta közepén látható ötszög szabályos, és az ezekhez kapcsolódó ötszögekkel ismét egy nagyobb szabályos ötszög alakul ki. Hogyan aránylana egymáshoz ennek a két szabályos ötszögnek az oldala, ha a tégelyben látható $16$ síkidom területe egyenlő nagyságú lenne? $b)$ Adjuk meg az előző feltételek teljesülése mellett a középen látható kis, szabályos ötszög oldalának hosszát milliméter pontossággal.   (13 pont)       Megoldás.   $a)$ Mivel a kis síkidomok területe egyenlő, ezért a két szabályos ötszög területének aránya: $\frac{1}{6}$. Tudjuk, hogy a területek a hasonlóság arányának négyzetével arányosak. Legyen a kis ötszög oldalának hossza $a$', a nagy ötszög oldalának hossza pedig $a$. Ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{a\text{'}}{a}\right)}^2=\frac{1}{6}\mathrm{,}\text{vagyis}\frac{a\text{'}}{a}=\sqrt[]{\frac{1}{6}}\approx 0\mathrm{,}4082.}\end{array}$ $b)$ A kör területe: $t_{\text{kör}}=4^2\cdot \pi =16\pi$. Mivel a mozaik púder mintája 16 egyenlő területű síkidomból áll, ezért a középen látható szabályos ötszög területe: $t=\pi$. A feladatunk ezek alapján a $\pi$ területű szabályos ötszög oldalhosszának meghatározása. A szabályos ötszöget a középpontjából öt ${72}^{\circ }$-os szárszögű egyenlőszárú háromszögre bonthatjuk. Ennek az alapja legyen $2x$, ekkor az alaphoz tartozó magasság $m=\frac{x}{\text{tg}{36}^{\circ }}$. Ezekkel felírjuk a területet: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\cdot \frac{x}{\text{tg}{36}^{\circ }}=\frac{\pi }{5}\mathrm{,}\text{amiből:}2x=\sqrt[]{\frac{4}{5}\cdot \pi \cdot \text{tg}{36}^{\circ }}\approx 1\mathrm{,}4.}\end{array}$ Vagyis a kis, szabályos ötszög oldalának hossza kb. 1,4 cm.       4. Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}2x-2\text{cos}{}^{2}x=1}\end{array}$ egyenletet.  (14 pont)   Megoldás. Az ismert azonosságok segítségével alakítsuk az egyenletet: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 2{\left(2\text{sin}x\text{cos}x\right)}^2-2\text{cos}{}^{2}x=\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8\text{sin}{}^{2}x\text{cos}{}^{2}x-3\text{cos}{}^{2}x-\text{sin}{}^{2}x=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8\left(1-\text{cos}{}^{2}x\right)\text{cos}{}^{2}x-3\text{cos}{}^{2}x-\left(1-\text{cos}{}^{2}x\right)=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8\text{cos}{}^{4}x-6\text{cos}{}^{2}x+1=\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\left(\text{cos}{}^{2}x\right)}_{\mathrm{1,2}}=\frac{6\pm \sqrt[]{36-32}}{16}=\frac{6\pm 2}{16}\mathrm{,}{\left(\text{cos}{}^{2}x\right)}_1=\frac{1}{2}\mathrm{,}{\left(\text{cos}{}^{2}x\right)}_2=\frac{1}{4}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ Vagyis: ${\left(\text{cos}x\right)}_{11}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}$, ${\left(\text{cos}x\right)}_{12}=-\frac{\sqrt[]{2}}{2}$, ${\left(\text{cos}x\right)}_{21}=\frac{1}{2}$, ${\left(\text{cos}x\right)}_{22}=-\frac{1}{2}$.     A megoldások összevonva:  ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle x_1}& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}+k_1\cdot \frac{\pi }{2}\mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ahol }{k}_1\in \text{Z}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_2}& {\displaystyle =\frac{\pi }{3}+k_2\cdot \pi \mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ahol }{k}_2\in \text{Z}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_3}& {\displaystyle =\frac{2\pi }{3}+k_3\cdot \pi \mathrm{,}}\hfill & {\displaystyle \text{ ahol }{k}_3\in \text{Z}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   II. rész     5. Az $y=x^2-4x+8$ egyenletű parabolához a $0$ és a $4$ abszcisszájú pontjában is érintőt húzunk. $a)$ Mekkora a két érintő hajlásszöge? $b)$ Mekkora a két érintő és a parabola által meghatározott síkidom területe?   (16 pont)   Megoldás. $a)$ A 0 abszcisszájú parabolapont: $A\left(0;8\right)$, a 4 abszcisszájú parabolapont: $B\left(4;8\right)$. A parabola érintőjének meredeksége: $y\text{'}=2x-4$. A parabola $A$ pontjában az érintő meredekség: $m_1=-4$. Ezek alapján az $A$ pontbeli $e_1$ érintő egyenlete $y-8=-4x$, azaz $y=-4x+8$. A parabola $B$ pontjában az érintő meredekség: $m_2=4$. Ezek alapján a $B$ pontbeli $e_2$ érintő egyenlete $y-8=4\left(x-4\right)$, azaz $y=4x-8$. A két érintő metszéspontjának koordinátáit az $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =}\hfill & \hfill {\displaystyle -4x+\mathrm{8,}}\\ \hfill {\displaystyle y}& {\displaystyle =}\hfill & \hfill {\displaystyle 4x+8.}\end{array}}}\end{array}$ egyenletrendszer megoldásával kapjuk. A metszéspont: $C\left(2;0\right)$.     A két érintő hajlásszöge az $ACB\sphericalangle$. Az $ABC$ egyenlőszárú háromszög szárszögét kell meghatároznunk. Az $ACF$ derékszögű háromszögben ($F$ az $AB$ felezőpontja) a $C$-nél lévő szög nyilvánvalóan a keresett szög fele.   Erre a $\phi$ szögre felírható a derékszögű háromszögben a tangens: $\text{tg}\phi =\frac{2}{8}$, azaz $\phi \approx {14\mathrm{,}036}^{\circ }$. A két érintő hajlásszöge: $2\phi \approx {28\mathrm{,}1}^{\circ }$. $b)$ A keresett $T$ területet megkapjuk, ha a $\left[0;4\right]$-on a parabola alatti $t$ területből elvesszük a $\left[0;2\right]$-on az $e_1$ érintő alatti $t_1$, és a $\left[2;4\right]$-on az $e_2$ érintő alatti $t_2$ területet. Az adatok alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=t_2=\frac{2\cdot 8}{2}=8.}\end{array}$ A parabola alatti területet integrál segítségével határozzuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(x^2-4x+8\right)dx={\left[\frac{x^3}{3}-4\cdot \frac{x^2}{2}+8x\right]}_0^4=\frac{4^3}{3}-4\cdot \frac{4^2}{2}+8\cdot 4=\frac{64}{3}\mathrm{.}}\end{array}$ A keresett terület: $T=t-\left(t_1+t_2\right)=\frac{64}{3}-16=\frac{16}{3}$.   6. Egy szivattyú óránként $4\mathrm{,}8\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ vizet tud kiemelni a kútból. A vizet henger alakú medencébe eresztik, melynek teteje $154\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>}$-es körlap. Ez a körlap fedi a medence 12 cm-es vastagságú oldalfalát is. $a)$ Hány centimétert emelkedik 2,5 óra alatt a víz a medencében? $b)$ A $15$ perc alatt kiemelt vízmennyiséget $25$ literes és $60$ literes edényekbe töltik. Melyik edényből hány darab lehetett, ha pontosan megteltek ezzel a vízmennyiséggel?   (16 pont)   Megoldás.   $a)$ A fedőlap területe segítségével meghatározható a henger alakú medence $R$ sugarának hossza: $154=R^2\cdot \pi$, amiből $R=\sqrt[]{\frac{154}{\pi }}\approx 7\mathrm{,}00$ (m). Mivel az oldalfal 12 cm-es vastagságú, ezért a henger belső sugara: $r=6\mathrm{,}88$ m. 2,5 óra alatt $2\mathrm{,}5\cdot 4\mathrm{,}8=12\text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></mrow></math>}$ vizet emel ki a szivattyú. Ennek a vízmennyiségnek legyen $m$ a magassága a henger alakú medencében. A térfogatot felírva a következő összefüggést kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 12=6\mathrm{,}{88}^2\cdot \pi \cdot m\mathrm{,}\text{vagyis}m=\frac{12}{6\mathrm{,}{88}^2\cdot \pi }\approx 0\mathrm{,}081.}\end{array}$ Mindössze 8,1 cm-t emelkedik a medencében a vízszint 2,5 óra elteltével. $b)$ Mivel óránként 4,8 m${}^3$ vizet tudunk kiszivattyúzni, ezért 15 perc alatt ennek negyedét, azaz 1200 litert. Legyen a 25 literes edények száma $x$, a 60 litereseké pedig $y$. Ekkor: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 25x+60y=\mathrm{1200,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 5x+12y=\mathrm{240,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\frac{240-12y}{5}=48-\frac{12}{5}y\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $x$, $y$ darabszámot jelent, így $y$ csak olyan 5-tel osztható természetes szám lehet, ami mellett $x$ is természetes szám. A lehetséges értékpárokat táblázatba rendeztük:   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{10}}& \hfill {\displaystyle \text{15}}& \hfill {\displaystyle \text{20}}\\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{48}}& \hfill {\displaystyle \text{36}}& \hfill {\displaystyle \text{24}}& \hfill {\displaystyle \text{12}}& \hfill {\displaystyle \text{0}}\\ \hline\end{array}}$   7. Egy téglalap alakú telek két szomszédos oldalán az egyik csúcstól $10$ méterre, illetve $24$ méterre kijelölünk egy-egy pontot. A pontokat összekötő vonallal levágott derékszögű háromszögbe szeretnénk egy medencét építeni. Az egyik terv szerint a legnagyobb kör alakút, a másik terv szerint a legnagyobb, egy teljes oldalával a derékszögű háromszög átfogójához csatlakozó téglalap alakú medencét kellene megépíteni. Melyik esetben és mennyivel lenne nagyobb a vízfelület?  (16 pont)   Megoldás. Az ábra a két tervről készített vázlatot mutatja.     Az első esetben a háromszög beírt köréről van szó. Pitagorasz-tétellel kapjuk a harmadik oldal hosszát: $c=\sqrt[]{{24}^2+{10}^2}=26$. A háromszög területe a két befogóval meghatározható: $t=\frac{10\cdot 24}{2}=120$. Alkalmazhatjuk a terület felírására a $t=\varrho \cdot s$ képletet is, ahol $\varrho$ a beírt kör sugarának a hossza, az $s$ pedig a háromszög kerületének a fele. Vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle s=\frac{10+24+26}{2}=\mathrm{30,}\text{így}\varrho =\frac{t}{s}=\frac{120}{30}=4.}\end{array}$ A kör alakú medence esetén a vízfelület nagysága: $t_{\text{kör}}=4^2\cdot \pi \approx 50\mathrm{,}3$ (m${}^2)$. A második terv esetén a maximális területű $KLMN$ téglalapot keressük. Az ábra jelöléseinek felhasználásával írjuk fel a keresett területet $x$ függvényében. (Az ábrán látható, hogy $CM=x$.) ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T\left(x\right)}& {\displaystyle =T_{ABC}-T_{MLC}-T_{LBK}-T_{AMN}=T_{ABC}-T_{MLC}-T_{A\text{'}BL}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{10\cdot 24}{2}-\frac{x\cdot 2\mathrm{,}4x}{2}-\frac{\left(10-x\right)\left(24-2\mathrm{,}4x\right)}{2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =120-\left(120-12x-12x+1\mathrm{,}2x^2\right)-1\mathrm{,}2x^2=-2\mathrm{,}4x\left(x-10\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A kapott másodfokú függvény hozzárendelésében a másodfokú tag együtthatója negatív, a két zérushelye pedig 0 és 10, így $x=5$-nél maximuma van. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle T\left(5\right)=-2\mathrm{,}4\cdot 5\cdot \left(5-10\right)=60.}\end{array}$ Vagyis a téglalap alakú medence esetén a vízfelület nagysága 60 m${}^2$. Ebben az esetben kb. 9,7 m${}^2$-rel nagyobb vízfelületet kapunk, mint a kör alakú terv kivitelezése esetén.   8. Egy hatszög három csúcsának koordinátája valamilyen sorrendben a következő: $\left(-1;-1\right)$; $\left(2;8\right)$; $\left(7;3\right)$. Határozzuk meg a hiányzó csúcsok koordinátáit, ha tudjuk, hogy az ismeretlen pontok mindegyike az adott három csúccsal húrtrapézt alkot.  (16 pont)   Megoldás. Az adott pontok: $A\left(-1;-1\right)$; $B\left(2;8\right)$; $C\left(7;3\right)$. A feladat szövegéből következik, hogy a keresett pontok illeszkednek az $ABC$ háromszög köré írt körére. Először ennek a körnek írjuk fel az egyenletét: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2+ax+by+c=0.}\end{array}$ Mivel erre a körre illeszkedik az $A$, $B$ és $C$ csúcs is, így felírható a következő egyenletrendszer: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 1+1-a-b+c}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4+64+2a+8b+c}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 49+9+7a+3b+c}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}\text{azaz}\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle -a-b+c}& {\displaystyle =-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2a+8b+c}& {\displaystyle =-\mathrm{68,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 7a+3b+c}& {\displaystyle =-58.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ A $c$ kiküszöbölésével kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3a+9b}& {\displaystyle =-\mathrm{66,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 8a+4b}& {\displaystyle =-\mathrm{56,}}\hfill \end{array}}\text{amiből}\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2a+6b}& {\displaystyle =-\mathrm{44,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 2a+b}& {\displaystyle =-\mathrm{14,}}\hfill \end{array}}\mathrm{,}\text{azaz:}b=-\mathrm{6,}a=-\mathrm{4,}c=-12.}\end{array}$ A keresett $k$ kör egyenlete: $x^2+y^2-4x-6y-12=0$. Az $A$, $B$, $C$ pontokhoz háromféleképpen tudunk negyediket elhelyezni, hogy húrtrapézt határozzanak meg. Ezeket $D$-vel, $E$-vel, $F$-fel jelöljük. I. eset: A $D$ pont rajta van a $B$ pontra illeszkedő $AC$-vel párhuzamos $e$ egyenesen (és természetesen a $k$ körön is).   Az $e$ egy irányvektora $\overrightarrow{AC}\left(8;4\right)$, így egy normálvektora: $\overrightarrow{n_e}\left(1;-2\right)$. Az $e$ egyenes egyenlete: $x-2y=-14$. A $k$ és az $e$ egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen a $B$ pont, a másik megoldás a keresett $D\left(-2;6\right)$ pont koordinátáját adja. II. eset: Az $E$ pont rajta van az $A$ pontra illeszkedő $BC$-vel párhuzamos $f$ egyenesen   (és természetesen a $k$ körön is). Az $f$ egy irányvektora $\overrightarrow{BC}\left(5;-5\right)$, így egy normálvektora: $\overrightarrow{n_f}\left(1;1\right)$. Az $f$ egyenes egyenlete: $x+y=-2$.       A $k$ és az $e$ egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen az $A$ pont, a másik megoldás a keresett $E\left(-2;0\right)$ pont koordinátáját adja. III. eset: Az $F$ pont rajta van a $C$ pontra illeszkedő $AB$-vel párhuzamos $g$ egyenesen (és természetesen a $k$ körön is). A $g$ egy irányvektora $\overrightarrow{AB}\left(3;9\right)$, így egy normálvektora: $\overrightarrow{n_g}\left(3;-1\right)$. A $g$ egyenes egyenlete: $3x-y=18$. A $k$ és az $e$ egyenlete által kapott egyenletrendszer egyik megoldása természetesen a $C$ pont, a másik megoldás a keresett $F\left(6;0\right)$ pont koordinátáját adja. Ezzel a hatszög mind a hat csúcsának koordinátáját megadtuk.   9. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{6n^2-15n-9}{4n^2-18n-10}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Mennyi a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}A$ határérték? $b)$ Adjuk meg azokat az $n$ egész számokat, amelyek esetén az $A$ is egész szám. $c)$ Oldjuk meg az $A=3$ egyenletet.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Alkalmazzuk a megfelelő átalakításokat és használjuk a határértékre vonatkozó tételeket: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{6n^2-15n-9}{2n^2-9n-5}=\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{6-\frac{15}{n}-\frac{9}{n^2}}{2-\frac{9}{n}-\frac{5}{n^2}}=\frac{6-0-0}{2-0-0}=3.}\end{array}$ $b)$ A számláló és a nevező zérushelyeinek megkeresése után írjuk szorzatalakban a másodfokú kifejezéseket. A $6n^2-15n-9=0$ gyökei: $n_1=3$, $n_2=-\frac{1}{2}$. A $2n^2-9n-5=0$ gyökei: $n_3=5$, $n_4=-\frac{1}{2}$. Most már az is látható, hogy $n$ értéke nem lehet 5, és nem lehet $-\frac{1}{2}$, mert ekkor a nevező értéke nulla lenne. Írjuk fel a szorzatalakokat és végezzük el az egyszerűsítéseket: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{6n^2-15n-9}{4n^2-18n-10}=\frac{6\left(n-3\right)(n+\frac{1}{2})}{2\left(n-5\right)(n+\frac{1}{2})}=\frac{3\left(n-3\right)}{n-5}\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott törtet alakítsuk a következő módon: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{3\left(n-3\right)}{n-5}=\frac{3n-9}{n-5}=\frac{3\left(n-5\right)+6}{n-5}=3+\frac{6}{n-5}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez akkor lesz egész, ha $n-5$ osztója a 6-nak. A következő lehetőségeket kapjuk:   ${\displaystyle \begin{array}{|ccccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{1}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{6 }}\\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>n</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{7}}& \hfill {\displaystyle \text{8}}& \hfill {\displaystyle \text{11 }}\\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}& \hfill {\displaystyle \text{1}}& \hfill {\displaystyle \text{0}}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math>}}& \hfill {\displaystyle \text{9}}& \hfill {\displaystyle \text{6}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}& \hfill {\displaystyle \text{4 }}\\ \hline\end{array}}$   A táblázat második sorában láthatók a megfelelő $n$ értékek. $c)$ $A=\frac{6n^2-15n-9}{2n^2-9n-5}=6$ egyenlet bal oldalán álló kifejezés a szorzattá bontások után egyszerűsíthető. Ekkor a következő egyenletet kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3\left(n-3\right)}{n-5}=\mathrm{6,}\Leftarrow 3n-9=6\left(n-5\right)=6n-\mathrm{30,}\Leftarrow n=7.}\end{array}$ Ez valóban megoldása az egyenletnek.   Megjegyzés. Ha egyszerűsítés nélkül szorzunk a $2n^2-9n-5$ nevezővel, akkor egy másodfokú egyenletet kapunk. Ennek két gyöke a 7, illetve a $-\frac{1}{2}$. Természetesen az értelmezési tartomány miatt csak a 7 lesz a megoldás.     ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Számadó László</span>}}\hfill \end{array}}$