Cím: Emelt szintű gyakorló feladatsor
Szerző(k):  Gerőcs László 
Füzet: 2010/szeptember, 326 - 328. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Juli néni két területen termesztett burgonyát, amelyek közül az egyik kétszer akkora volt, mint a másik. A burgonya betakarításához segítségül hívta rokonait, barátait. Az első napon az egész csapat a nagyobb területen dolgozott. A második napon a csapat fele átment a kisebb területre, a csapat másik fele tovább végezte a munkát a nagyobb területen, és így ezt a második nap végére be is fejezték. A kisebb területen nem végeztek, így a harmadik napon 12 embernek kellett dolgoznia ahhoz, hogy itt is befejezzék a betakarítást. Tudjuk, hogy mindhárom napon ugyanannyi ideig dolgoztak, és az emberek teljesítményét egyenlőnek vehetjük. Hány fős csapat dolgozott a betakarításnál?  (11 pont)

 
2. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyik a P(4;2) pontban érinti az y=12x egyenest, valamint érinti az y tengelyt.  (13 pont)
 
3. a) Egy 12 cm belső sugarú, egyenes henger alakú fazékban 18 cm magasan áll a leves. Ezt a levest egy téglatest alakú műanyag edénybe szeretnénk önteni és hűtőszekrénybe helyezni. Az edény belső élei 26 cm, 22 cm és 16 cm hosszúak. Belefér-e a leves ebbe az edénybe?  (5 pont)
b) Egy 10 cm sugarú, 8 cm magas egyenes henger alakú gyertyát felolvasztunk, és olyan kisebb, 6 cm-es sugarú, egyenes henger alakú gyertyákat szeretnénk önteni belőle, melyek felszínének mérőszáma egyenlő térfogatuk mérőszámával. Hány darab kis gyertyát tudunk így készíteni?  (8 pont)
 
4. Egy iskolák közötti csapatverseny döntőjébe 4 iskola jutott, iskolánként 3 fős csapattal. A verseny előtt a résztvevők felsorakoztak egy fotózáshoz.
a) Hányféleképpen állhattak sorba a versenyzők, ha azt akarták, hogy az azonos iskolába járó diákok egymás mellett álljanak?  (4 pont)
b) A 12 résztvevő között 4 lány és 8 fiú volt. Hányféleképpen állhattak sorba a versenyzők a fotózáshoz, ha azt akarták, hogy a 4 lány középen álljon egymás mellett?  (4 pont)
c) Egy másik, iskolák közötti csapatversenyen 4 fős csapatok vettek részt (egy iskola csak egy csapattal nevezhetett). E verseny kezdetén a résztvevők bemutatkoztak egymásnak; minden diák minden olyan diákkal kezet fogott, aki nem iskolatársa, így összesen 336 kézfogásra került sor. A versenyt követő búcsúesten minden diák minden diákkal koccintott egy pohár üdítővel. Hány koccintásra került sor ekkor?  (6 pont)
 

II. rész
 

 
5. Egy ország öt nagyvárosában (A, B, C, D és E-ben) összesen 27 bevásárlóközpont működik. A-ban 7, B-ben 3, C-ben 3, D-ben 6 és E-ben 8. Közülük 12-ben van mozi, 16-ban van étterem, és 13-ban van autómosó szolgáltatás. 3 olyan bevásárlóközpont van, ahol mindhárom szolgáltatást nyújtják.
a) A mozival rendelkező bevásárlóközpontok közül 5-ben nincs autómosó, az étteremmel rendelkezők közül pedig 5-ben van mozi. 9 olyan bevásárlóközpont van, melyekben e szolgáltatások közül csak étterem van. Hány olyan bevásárlóközpont van az öt városban, melyben pontosan két szolgáltatást nyújtanak e három közül?  (10 pont)
b) Mutassuk meg, hogy ha a 27 bevásárlóközpont között 16 olyan van, amelyben csak egy szolgáltatást nyújtanak, akkor legalább 3 város rendelkezik olyan bevásárlóközponttal, melyben csak egy szolgáltatás van a fentiek közül.  (6 pont)
 
6. Egy szekrényhez erősített, lehajtható munkaasztalt látunk az ábrán. A BD lehajtható munkalapot az XC fémkar segítségével mozgathatjuk. Az A pontban levő szegecs a szekrény BF oldalába van erősítve, ezen a szegecsen csúszhat a fémkar. Tudjuk, hogy BC=36 cm, AB=48 cm. Felhajtott helyzetben a D és az X pontok egybeesnek az F ponttal. Lehajtott helyzetben a D és a G pontok, valamint az X és az A pontok is egybeesnek.
 
 

a) Milyen hosszú az asztal BD oldala?  (8 pont)
b) Milyen távol lesz az X pont a szekrény BF oldalától, ha az asztallapot B körül α=60∘-kal lehajtjuk?  (8 pont)
 
7. A derékszögű koordinátarendszer rácspontjaiba beírtuk a természetes számokat az ábrán látható módon. (A rácspont olyan pont, melynek mindkét koordinátája egész szám.)
 
 

a) Milyen koordinátájú pontban van a 2010?  (9 pont)
b) Milyen szám szerepel a P(54;72) koordinátájú pontban?  (7 pont)
 
8. Egy 1240 m hosszú alagút bejáratának keresztmetszetét látjuk az ábrán egy koordinátarendszerbe helyezve, ahol az egység mindkét tengelyen 1 m. Az alagút oldalfalai 6,2 m magasak. Az alagút tetejét jó közelítéssel az
f(x)=-0,2x2+1,2|x|+6,2
függvény grafikonjának egy darabja írja le.
 
 

a) Határozzuk meg az f(x) függvény e részének értelmezési tartományát és értékkészletét.  (8 pont)
b) Az alagút szellőzőrendszerét úgy szeretnék megtervezni, hogy 800 m3-enként legyen egy szellőző. Hány szellőzőt kell tervezni?  (8 pont)
 
9. Négy különböző prímszámról az alábbiakat tudjuk: összegük 77, négyzeteik összege: 4527. Mennyi e négy prímszám szorzata?  (16 pont)
 
Gerőcs László