Cím:	Megoldásvázlatok a 2014/4. sz. emelt szintű gyakorló feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2014/május, 258 - 266. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Számítsuk ki számológép használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{2\sqrt[]{2}}{3-2\sqrt[]{2}}-\frac{2\sqrt[]{2}}{3+2\sqrt[]{2}}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =(0\mathrm{,}{2}^{-1}\cdot {3125}^{0\mathrm{,}4}-\sqrt[3]{{64}^2}-1):\mathrm{27,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c}& {\displaystyle =-4\cdot \text{sin}\frac{67\pi }{6}\cdot \text{lg}0\mathrm{,}01.}\hfill \end{array}}$ (11 pont)   Megoldás. A nagy négyzetgyök alatt végezzük el a kivonást: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a}& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{2\sqrt[]{2}}{3-2\sqrt[]{2}}-\frac{2\sqrt[]{2}}{3+2\sqrt[]{2}}}=\sqrt[]{\frac{2\sqrt[]{2}\left(3+2\sqrt[]{2}\right)-2\sqrt[]{2}\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}{\left(3-2\sqrt[]{2}\right)\left(3+2\sqrt[]{2}\right)}}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt[]{\frac{6\sqrt[]{2}+8-6\sqrt[]{2}+8}{9-8}}=\sqrt[]{16}=4.}\hfill \end{array}}$ Alkalmazzuk a negatív és a törtkitevőkre tanult definíciókat: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle b}& {\displaystyle =({0\mathrm{,}2}^{-1}\cdot {3125}^{0\mathrm{,}4}-\sqrt[3]{{64}^2}-1):27=\frac{(\frac{1}{5}{)}^{-1}\cdot {\left(5^5\right)}^{\frac{2}{5}}-{64}^{\frac{2}{3}}-1}{27}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{5\cdot 5^2-{\left(2^6\right)}^{\frac{2}{3}}-1}{27}=\frac{125-16-1}{27}=4.}\hfill \end{array}}$ Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\frac{67\pi }{6}=\text{sin}\left(\frac{7\pi }{6}+5\cdot 2\pi \right)=\text{sin}\frac{7\pi }{6}=-\text{sin}\frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt és a logaritmus definícióját felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle c=-4\cdot \text{sin}\frac{67\pi }{6}\cdot \text{lg}0\mathrm{,}01=-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \text{lg}{10}^{-2}=-4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-2\right)=-4.}\end{array}$   2. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{cos}{}^{2}x+4}{\text{sin}{}^{2}x-4}=\frac{-3\text{cos}{}^{2}x+3\text{sin}x-4}{\text{cos}{}^{2}x+3}\mathrm{.}}\end{array}$ (12 pont)   Megoldás. Tudjuk, hogy $\text{cos}{}^{2}x=1-\text{sin}{}^{2}x$, ezért a jobb oldalon álló tört nevezője: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}{}^{2}x+3=4-\text{sin}{}^{2}x\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis az egyenletet a következő alakban is írhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{cos}{}^{2}x+4}{\text{sin}{}^{2}x-4}=\frac{3\text{cos}{}^{2}x-3\text{sin}x+4}{\text{sin}{}^{2}x-4}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $-1\le \text{sin}x\le 1$, azért a törtek minden valós $x$ esetén értelmezettek lesznek, hiszen a nevezőjük nem lesz nulla. A két oldal nevezője egyenlő, ezért akkor lesz a két tört egyenlő, ha a számlálók is egyenlők: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{cos}{}^{2}x+4}& {\displaystyle =3\text{cos}{}^{2}x-3\text{sin}x+\mathrm{4,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 0}& {\displaystyle =2\text{cos}{}^{2}x-3\text{sin}x\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ismét alkalmazhatjuk, hogy $\text{cos}{}^{2}x=1-\text{sin}{}^{2}x$, ekkor a következő, $\text{sin}x$-re másodfokú egyenletet kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}{}^{2}x+3\text{sin}x-2=0.}\end{array}$ Alkalmazzuk a megoldóképletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\text{sin}x\right)}_{1;2}=\frac{-3\pm \sqrt[]{9+16}}{4}=\frac{-3\pm 5}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Két lehetőséget kapunk: I. $\text{sin}x=-2$. Ez nem ad megoldást. II. $\text{sin}x=\frac{1}{2}$. Ekkor ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x_1}& {\displaystyle =\frac{\pi }{6}+2k_1\pi \mathrm{,}\text{ ahol}{k}_1\in \text{Z}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x_2}& {\displaystyle =\frac{5\pi }{6}+2k_2\pi \mathrm{,}\text{ahol}{k}_2\in \text{Z}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   3. Egy háromjegyű szám négyszereséhez $36$-ot kell adnunk, hogy a számjegyeiből a fordított sorrendben alkotott háromjegyű számot kapjuk. Melyik volt az eredeti háromjegyű szám?  (14 pont)   Megoldás. Az eredeti háromjegyű számot jelöljük $\overline{abc}$-vel, ahol $a$, $b$, $c$ a szám számjegyeit jelöli. Mivel $\overline{abc}$ és $\overline{cba}$ is háromjegyű szám, azért $a\ne 0$, $c\ne 0$. A feladat szövege alapján a következő egyenletet írhatjuk fel: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\cdot \overline{abc}+36=\overline{cba}\mathrm{.}}\end{array}$ Vegyük figyelembe a helyiértékeket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 4\cdot \left(100a+10b+c\right)+36}& {\displaystyle =100c+10b+a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 400a+40b+4c+36}& {\displaystyle =100c+10b+a\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 399a+30b+36}& {\displaystyle =96c\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel a jobb oldal legnagyobb értéke $96\cdot 9$, azaz 864 lehet, azért az $a$ értéke vagy 1, vagy 2 lehet. I. eset: $a=1$. Ekkor az egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 399\cdot 1+30b+36}& {\displaystyle =96c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 30b+435}& {\displaystyle =96c\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A bal oldal osztható 5-tel, ezért a jobb oldalon az eddigi feltételeink alapján csak a $c=5$ jöhetne szóba. Fejezzük ki a $b$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{96\cdot 5-435}{30}=1\mathrm{,}5.}\end{array}$ Ebben az esetben nem kaptunk megfelelő háromjegyű számot. II. eset: $a=2$. Ekkor az egyenlet: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 399\cdot 2+30b+36}& {\displaystyle =96c\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 30b+834}& {\displaystyle =96c\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel a bal oldal 834-nél nem kisebb, csak a $c=9$ jöhet szóba. Ekkor a $b$-t is megkapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle b=\frac{96\cdot 9-834}{30}=1.}\end{array}$ Vagyis a feladat egyedüli megoldása a 219. (Valóban: $4\cdot 219+36=912$.)   4. Csúcsainak koordinátáival adott egy háromszög: $A\left(1;2\right)$, $B\left(13;2\right)$, $C\left(5;10\right)$. Számítással igazoljuk ebben a háromszögben, hogy az $MK$ szakasz $K$ ponthoz közelebbi harmadoló pontja az $ABC$ háromszög $S$ súlypontja lesz. ($M$ a magasságpontot, $K$ a háromszög köré írt kör középpontját jelöli.)  (14 pont)   Megoldás. Készítsünk ábrát. Mivel $AB$ oldal párhuzamos az $x$ tengellyel, azért az $M$ magasságpont rajta van a $C$ csúcsra illeszkedő $y$ tengellyel párhuzamos egyenesen. Ez azt jelenti, hogy az $M$ pont első koordinátája egyenlő a $C$ csúcs első koordinátájával, ami 5. Írjuk fel az $A$ csúcsra illeszkedő magasság egyenletét. Ez a magasság merőleges a $BC$ egyenesre, ezért a $C$-ből $B$-be mutató vektor az egyik normálvektora lesz. A megadott koordinátákkal ez a $\left(8;-8\right)$ vektor, aminek vehetjük a nyolcadát, hiszen az is merőleges lesz a kérdéses magasságra. Az $A\left(1;2\right)$ pontra illeszkedő, $\text{n}\left(1;-1\right)$ normálvektorú egyenes egyenlete: $x-y=-1$. Mivel az $M$ pont erre az egyenesre is illeszkedik, és az első koordinátáját már ismerjük, azért a második koordinátát is megkapjuk behelyettesítéssel: $M\left(5;6\right)$.     Mivel $AB$ oldal párhuzamos az $x$ tengellyel, azért a $K$ középpont rajta van az $AB$ szakasz $y$ tengellyel párhuzamos felező merőlegesén. Vagyis a $K$ pont első koordinátája egyenlő az $A$ és a $B$ csúcs első koordinátáinak számtani közepével, ami 7. Írjuk fel a $BC$ oldal felező merőlegesének egyenletét. Ez az egyenes párhuzamos az $A$-ra illeszkedő magassággal, ezért normálvektoraik megegyeznek. Meghatározzuk a $BC$ oldal felezőpontjának koordinátáit a megadott csúcsokkal: $\left(9;6\right)$. Vagyis a felező merőleges egyenes egyenlete: $x-y=3$. Mivel a $K$ pont erre az egyenesre is illeszkedik, és az első koordinátáját már ismerjük, azért a második koordinátát is megkapjuk: $K\left(7;4\right)$. Az $M$ és a $K$ ismeretében írjuk fel az $MK$ szakasz $K$-hoz közelebbi $S\text{'}$ harmadolópontjának koordinátáit: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\text{'}\left(\frac{2\cdot 7+5}{3};\frac{2\cdot 4+6}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Vagyis a keresett harmadolópont: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\text{'}\left(\frac{19}{3};\frac{14}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Végezetül számoljuk ki az $ABC$ háromszög $S$ súlypontjának koordinátáit: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\left(\frac{1+13+5}{3};\frac{2+2+10}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A háromszög súlypontja: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\left(\frac{19}{3};\frac{14}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel az állítást igazoltuk. Megjegyzés. Általában is igazolható, hogy az $M$, $K$, $S$ pontok egy egyenesre, az Euler-egyenesre illeszkednek, és az $S$ az $MK$ szakaszon a $K$-hoz közelebbi harmadoló pont. Most azonban nem hivatkozhattunk erre, mert a feladat kérése az volt, hogy számítással ebben a megadott háromszögben igazoljuk az állítást.   II. rész     5. Az ábrán látható építményt három derékszögű vonalzóból úgy raktuk össze, hogy az azonos hosszúságú befogójuknál illeszkedjenek egymáshoz, a további befogók pedig az asztallapon legyenek.     A középső vonalzó egyenlő szárú, az egyik szélsőnek a hosszú, a másiknak a rövid befogója érintkezik az asztallappal. Az ábrán látható $A$, $B$ és $C$ pontok egy egyenesre illeszkednek, és $AB=BC=8$ cm. $a)$ Adjuk meg az $ADE$, $BDE$ és $CDE$ derékszögű háromszögek területének arányát. $b)$ Milyen magasan van az asztallap fölött az $E$ pont?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Készítsünk vázlatrajzot. Az $ADE$ derékszögű háromszögben: $\text{tg}{30}^{\circ }=\frac{m}{AD}$. Vagyis az $AD$ hossza kifejezhető az $m$ segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle AD=\frac{m}{\text{tg}{30}^{\circ }}=m\sqrt[]{3}\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonlóan adódik a $BDE$ és a $CDE$ derékszögű háromszögekben a $BD$ és a $CD$ szakaszok hossza: $BD=m$, $CD=\frac{m}{\sqrt[]{3}}$.     Ezek segítségével a területeket is fel tudjuk írni. Mivel a területek arányát kell megadnunk, azért most kényelmesebb a területek kétszeresével számolnunk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{ Az <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></math> területének kétszerese: }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow><mo>⋅</mo><mrow><mroot><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></math> területének kétszerese: }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></math>.}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>C</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></math> területének kétszerese: }}\hfill & {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mo stretchy="false">=</mo><mrow><mfrac><mrow><mrow><msup><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mrow><mroot><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></mrow></mfrac></mrow></math>. }}\hfill \end{array}}$ Ezek alapján a területek aránya: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_1:T_2:T_3=\sqrt[]{3}:1:\frac{1}{\sqrt[]{3}}=3:\sqrt[]{3}:1.}\end{array}$ $b)$ Az ábrán látható jelöléseket használva (és felhasználva, hogy az $AD$, $BD$ és $CD$ szakaszok hosszát ki tudjuk fejezni az $m$ segítségével) alkalmazzuk az $ABD$ és a $CBD$ háromszögre a koszinusz-tételt az $ABD$ háromszögre: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(m\sqrt[]{3}\right)}^2}& {\displaystyle =8^2+m^2-2\cdot 8\cdot m\cdot \text{cos}\epsilon \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3m^2}& {\displaystyle =64+m^2-16m\cdot \text{cos}\epsilon \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     A $CBD$ háromszögre: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\left(\frac{m}{\sqrt[]{3}}\right)}^2}& {\displaystyle =8^2+m^2-2\cdot 8\cdot m\cdot \text{cos}\left({180}^{\circ }-\epsilon \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{m^2}{3}}& {\displaystyle =64+m^2-16m\cdot \text{cos}\left({180}^{\circ }-\epsilon \right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{m^2}{3}}& {\displaystyle =64+m^2+16m\cdot \text{cos}\epsilon \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Adjuk össze a koszinusz-tétellel felírt két egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{10m}^2}{3}=128+{2m}^2\mathrm{,}{m}^2=96.}\end{array}$ Így megkaptuk a keresett magasságot: $m=\sqrt[]{96}\approx 9\mathrm{,}8$. Vagyis az $E$ pont az asztallapja fölött kb. 9,8 cm magasan van.   6. Tekintsük az $f\left(x\right)=x^2$ hozzárendelésű függvény grafikonjára illeszkedő, az $\begin{array}{c}{\displaystyle A_n\left(-n;f\left(-n\right)\right)\mathrm{,}{B}_n\left(n;f\left(n\right)\right)\mathrm{,}{C}_n\left(n+1;f\left(n+1\right)\right)\mathrm{,}{D}_n\left(-n-1;f\left(-n-1\right)\right)}\end{array}$ pontok által meghatározott húrtrapézokat ($n$ pozitív egész számot jelöl). Az $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ körülírt körének sugara legyen $r_n$. $a)$ Adjuk meg az $r_1+r_2+r_3$ összeget. $b)$ Határozzuk meg a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{r_1^2+r_2^2+\text{...}+r_n^2}{n^3}$ határértéket.  (16 pont)   Megoldás. $a)$ A feladat szövegét értelmezve készítsünk egy ábrát.     Az $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ húrnégyszög körülírt körének középpontja: $K_1\left(0;k_1\right)$. Tudjuk, hogy $r_1=K_1{B}_1=K_1{C}_1$. A koordinátákkal kifejezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-k_1\right)}^2}}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(2-0\right)}^2+{\left(4-k_1\right)}^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 1+1-2k_1+k_1^2}& {\displaystyle =4+16-8k_1+k_1^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k_1}& {\displaystyle =3.}\hfill \end{array}}$ Vagyis $K_1\left(0;3\right)$, és $r_1=K_1{B}_1=\sqrt[]{5}$. Az $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ húrnégyszög körülírt körének középpontja: $K_2\left(0;k_2\right)$. Tudjuk, hogy $r_2=K_2{B}_2=K_2{C}_2$. A koordinátákkal kifejezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{{\left(2-0\right)}^2+{\left(4-k_2\right)}^2}}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(3-0\right)}^2+{\left(9-k_2\right)}^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4+16-8k_2+k_2^2}& {\displaystyle =9+81-18k_2+k_2^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k_2}& {\displaystyle =7.}\hfill \end{array}}$ Vagyis $K_2\left(0;7\right)$, és $r_2=K_2{B}_2=\sqrt[]{13}$. Az $A_3{B}_3{C}_3{D}_3$ húrnégyszög körülírt körének középpontja: $K_3\left(0;k_3\right)$. Tudjuk, hogy $r_3=K_3{B}_3=K_3{C}_3$. A koordinátákkal kifejezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{{\left(3-0\right)}^2+{\left(9-k_3\right)}^2}}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(4-0\right)}^2+{\left(16-k_3\right)}^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 9+81-18k_3+k_3^2}& {\displaystyle =16+256-32k_3+k_3^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k_3}& {\displaystyle =13.}\hfill \end{array}}$ Vagyis $K_3\left(0;13\right)$, és $r_3=K_3{B}_3=5$. Ezek alapján: $r_1+r_2+r_3=\sqrt[]{5}+\sqrt[]{13}+5\approx 10\mathrm{,}84$. $b)$ Az előző részben látottak alapján járunk el most is. Az $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ húrnégyszög körülírt körének középpontja: $K_n\left(0;k_n\right)$. Tudjuk, hogy $r_n=K_n{B}_n=K_n{C}_n$. A koordinátákkal kifejezve: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{{\left(n-0\right)}^2+{\left(n^2-k_n\right)}^2}}& {\displaystyle =\sqrt[]{{\left(n+1-0\right)}^2+{\left(n^2+2n+1-k_n\right)}^2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle n^2+n^4-2{n^{2}k}_n+k_n^2}& {\displaystyle =n^2+2n+1+{\left(n^2+2n+1\right)}^2-2k_n\left(n^2+2n+1\right)+k_n^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(4n+2\right)k_n}& {\displaystyle ={4n}^3+6n^2+6n+\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k_n}& {\displaystyle =\frac{{2n}^3+3n^2+3n+1}{2n+1}=\frac{\left(2n+1\right)\left(n^2+n+1\right)}{2n+1}=n^2+n+1.}\hfill \end{array}}$ Vagyis $K_n\left(0;n^2+n+1\right)$, és $r_n^2={\left(n-0\right)}^2+{\left(n^2-n^2-n-1\right)}^2=n^2+{\left(n+1\right)}^2$. Most már felírhatjuk a tört számlálójában szereplő összeget: $\begin{array}{c}{\displaystyle r_1^2+r_2^2+\text{...}+r_n^2=\left(1^2+2^2\right)+\left(2^2+3^2\right)+\text{...}+\left(n^2+{\left(n+1\right)}^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A zárójeles kifejezések első tagjai 1-től $n$-ig a négyzetszámok összegét adják, a második tagjai pedig 1-től $\left(n+1\right)$-ig a négyzetszámok összegénél 1-gyel kisebb összeget adnak: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle r_1^2+r_2^2+\text{...}+r_n^2}& {\displaystyle =\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(2n+3\right)}{6}-1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\left(n+1\right)\left(2n^2+n+2n^2+7n+6\right)-6}{6}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4n^3+8n^2+6n+4n^2+8n+6-6}{6}=\frac{2n^3+6n^2+7n}{3}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ezt a képletet és a határértékre vonatkozó tételeket felhasználva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{r_1^2+r_2^2+\text{...}+r_n^2}{n^3}=\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{2n^3+6n^2+7n}{3n^3}=\underset{n\to \infty }{\overset{}{\text{lim}}}\frac{2+\frac{6}{n}+\frac{7}{n^2}}{3}=\frac{2}{3}\mathrm{.}}\end{array}$   7. Egy terepasztalon az ábrán látható folt egy tó alakját mutatja. Ha ezt a síkidomot 1 cm egységű koordinátarendszerbe helyezzük, akkor a határvonalát az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=x^4-2x^2+x+3}\end{array}$ és a $\begin{array}{c}{\displaystyle g\left(x\right)={-x}^2+x+15}\end{array}$ hozzárendeléssel adott függvények grafikonja adja.     $a)$ Milyen messze van egymástól a grafikonok metszéspontja? $b)$ Mekkora a folt területe?  (16 pont)   Megoldás. $a)$ Szükségünk van a két függvény grafikonjának a metszéspontjaira. Ezért a következő egyenletet kell megoldanunk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^4-2x^2+x+3}& {\displaystyle ={-x}^2+x+\mathrm{15,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^4-x^2-12}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Vagyis $x_1=-2$, $x_2=2$. Ezeken a helyeken a közös függvényértéket visszahelyettesítéssel kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(-2\right)=g\left(-2\right)=\mathrm{9,}f\left(2\right)=g\left(2\right)=13.}\end{array}$ A metszéspontok: $M_1\left(-2;9\right)$, $M_2\left(2;13\right)$. Ezek távolsága: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_1{M}_2=\sqrt[]{{\left(-2-2\right)}^2+{\left(9-13\right)}^2}=\sqrt[]{32}\approx 5\mathrm{,}7.}\end{array}$ A két metszéspont kb. 5,7 cm-re van egymástól. $b)$ A $g\left(x\right)$ függvény és az $f\left(x\right)$ függvény $\left[-2;2\right]$ intervallumban pozitív, így a görbe alatti területek különbségét véve megkapjuk a kérdéses területet1. Ezt határozott integrállal tudjuk meghatározni: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle T}& {\displaystyle =\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left({-x}^2+x+15\right)dx-\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^2+x+3\right)dx=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}\left(-x^4+x^2+12\right)dx=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[-\frac{x^5}{5}+\frac{x^3}{3}+12x\right]}_{-2}^2=-\frac{2^5}{5}+\frac{2^3}{3}+24+\frac{{\left(-2\right)}^5}{5}-\frac{{\left(-2\right)}^3}{3}+24=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}-\frac{32}{5}+\frac{8}{3}+48=-\frac{64}{5}+\frac{16}{3}+48=40\mathrm{,}5\dot{3}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Vagyis a folt területe kb. 40,53 cm${}^2$.   8. Adjuk meg a $p$ valós paraméter értékét úgy, hogy az $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle xy+x+y+2=\mathrm{0,}}\\ \hfill {\displaystyle x-p=y\left(px+1\right)}\end{array}}}\end{array}$ egyenletrendszernek pontosan egy valós $\left(x;y\right)$ számpár legyen a megoldása.  (16 pont)   Megoldás. Mindkét egyenletből kifejezzük az $xy$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=-x-y-\mathrm{2,}\text{illetve}pxy=x-y-p\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $p=0$, akkor a fenti egyenletből az $x=y$ adódna, de ezt behelyettesítve a másik egyenletbe nem kapunk megoldást. Ha $p\ne 0$, akkor $xy=\frac{x-y-p}{p}$. A kapottak alapján: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{x-y-p}{p}}& {\displaystyle =-x-y-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x-y-p}& {\displaystyle =-px-py-2p\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(p-1\right)y}& {\displaystyle =-x-px-p\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $p=1$, akkor pontosan egy számpár a megoldása az egyenletrendszernek: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-\frac{1}{2}\mathrm{,}y=-3.}\end{array}$ Ha $p\ne 1$, akkor $y=\frac{-x-px-p}{p-1}$. Ezt visszahelyettesítjük az eredeti egyenletrendszer első egyenletébe: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x\left(-x-px-p\right)}{p-1}+x+\frac{-x-px-p}{p-1}+2=0.}\end{array}$ Szorozzunk $\left(p-1\right)$-gyel, végezzük el a beszorzásokat, összevonásokat és rendezzük a következő alakra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(p+1\right)x^2+\left(p+2\right)x+\left(2-p\right)=0.}\end{array}$ Ha $p=-1$, akkor pontosan egy számpár a megoldása az egyenletrendszernek: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=-\mathrm{3,}y=-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $p\ne -1$, akkor az egyenlet másodfokú. Egyféle $x$-et akkor kapunk, ha a diszkrimináns nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle D={\left(p+2\right)}^2-4\left(p+1\right)\left(2-p\right)=5p^2-4=0.}\end{array}$ Ez $p_1=-\frac{2}{\sqrt[]{5}}$, vagy $p_2=\frac{2}{\sqrt[]{5}}$ esetén következik be. Tehát a $p$ lehetséges értékei: $-1$, $-\frac{2}{\sqrt[]{5}}$, $\frac{2}{\sqrt[]{5}}$, 1.   9. Az egységsugarú gömbbe olyan kúpot írunk, amelyben a tengely és az alkotó szöge $\alpha$. Adjuk meg a kúp felszínét és térfogatát $\text{sin}\alpha$ függvényében.  (16 pont)   Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot a térbeli ábra tengelyre illeszkedő síkmetszetéről.     A kerületi és a középponti szögek közötti összefüggést használva, ha $ACT\sphericalangle =\alpha$, akkor $AKT\sphericalangle =2\alpha$. Az $ATK$ derékszögű háromszögben: $\begin{array}{c}{\displaystyle r=\frac{r}{1}=\text{sin}2\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Az $ATC$ derékszögű háromszögben $\text{sin}\alpha =\frac{r}{a}$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{r}{\text{sin}\alpha }=\frac{\text{sin}2\alpha }{\text{sin}\alpha }=\frac{2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }=2\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Az $ATC$ derékszögű háromszögben $\text{tg}\alpha =\frac{r}{m}$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle m=\frac{r}{\text{tg}\alpha }=\frac{\text{sin}2\alpha }{\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }}=\frac{2\text{sin}\alpha \text{cos}{}^2\alpha }{\text{sin}\alpha }=2\text{cos}{}^2\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Most már felírhatjuk a felszínt és a térfogatot $\alpha$ segítségével. A feladat kérésének megfelelően a kapott kifejezéseket úgy alakítjuk, hogy csak szinusz szögfüggvény maradjon bennük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A}& {\displaystyle =\pi r\left(r+a\right)=\pi \text{sin}2\alpha \left(\text{sin}2\alpha +2\text{cos}\alpha \right)=2\pi \text{sin}\alpha \text{cos}\alpha \left(2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +2\text{cos}\alpha \right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi \text{sin}\alpha \text{cos}{}^2\alpha \left(\text{sin}\alpha +1\right)=4\pi \text{sin}\alpha \left(1-\text{sin}{}^2\alpha \right)\left(\text{sin}\alpha +1\right)\mathrm{.}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V}& {\displaystyle =\frac{r^2\pi m}{3}=\frac{2\pi \text{sin}{}^{2}2\alpha \text{cos}{}^2\alpha }{3}=\frac{8\pi \text{sin}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha \text{cos}{}^2\alpha }{3}=\frac{8\pi \text{sin}{}^2\alpha {\left(1-\text{sin}{}^2\alpha \right)}^2}{3}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ 1Az $f$ és $g$ függvények grafikonja közötti terület a $\left[-2;2\right]$ intervallumban: $\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{-2}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)-f\left(x\right)dx\mathrm{.}}\end{array}$