Cím:	A 2014. évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny elméleti feladatainak megoldása
Szerző(k):	Vigh Máté
Füzet:	2014/szeptember, 364 - 366. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 2014. évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny elméleti feladatainak megoldása1   1.A. A hűtőgép által időegységenként elvont hő megegyezik a hővezetéssel oda visszakerülő hővel, ez utóbbi pedig a hőmérsékletkülönbséggel arányos. Ebből és a hűtőgép Carnot-hatásfokából megkaphatjuk, hogy $T_2\text{'}\approx 122$ K. (Feltételezzük, hogy a hűtógép a maximális fokozaton mindkét esetben ugyanakkora teljesítménnyel működik.)   1.B. A diódán áthaladó töltés: $Q=\frac{{\mu }_{0}m}{2rR}$.   1.C. Az állónak tekinthető hidrogénmagoknak ütköző protonok akkor képesek a $p^{+}+p^{+}\to p^{+}+n^0+{\pi }^{+}$ folyamatot létrehozni, ha a beeső protonok mozgási energiája legalább $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}=\frac{{\left(m_p+m_n+m_{\pi }\right)}^2-4m_p^2}{2m_p}{c}^2\approx 292\text{MeV. }}\end{array}$   2.1.   A Földnek a tengelye körüli forgásából származó sajátperdülete $5\mathrm{,}9\cdot {10}^{33}\frac{{\text{kg m}}^2}{\text{s}}$. A Földnek a Föld‐Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli keringéséből származó $N_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">pálya</span>}}^{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Föld</span>}}$ pályaperdülete a sajátperdületnél kb. 16-szor kisebb. A Hold pályaperdülete $2\mathrm{,}8\cdot {10}^{34}\frac{{\text{kg m}}^2}{\text{s}}$, sajátperdülete pedig kb. százezerszer kisebb.   2.2. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\Delta E^{\text{Föld}}}{\Delta E^{\text{Hold}}}\approx \frac{\Omega }{\omega }\approx \frac{\text{1 hónap}}{\text{1 nap}}\approx \mathrm{30,}}\end{array}$ az árapálykeltő erők tehát elsősorban a Föld mozgási energiáját csökkentik, sokkal nagyobb mértékben, mint a Holdét.   2.3. A Föld mozgási energiája évente kb. ${10}^{19}$ J-lal csökken.   2.4. A Föld forgásának és a Hold keringésének szinkronizálódásakor a földi nap új hossza a jelenleginek kb. 47-szerese lesz.   2.5. A teljes szinkronizáció befejeződésekor a Föld és a Hold közötti távolság kb. 550 ezer km lesz.   3.1. Egy $Q$ töltésű, $M$ tömegű (homogén tömeg- és töltéseloszlású) forgó golyó mágneses momentuma és a sajátperdülete közötti arányossági tényező: $\gamma =Q/\left(2M\right)$.   3.2. A homogén mágneses mezőbe helyezett forgó, töltött golyó mágneses dipólmomentuma időben így változik: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;"><span style="font-style: italic;">m</span></span>}\left(t\right)=m_0\left({\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \text{cos}\left(\gamma B_{0}t\right)\text{sin}\phi }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{sin}\left(\gamma B_{0}t\right)\text{sin}\phi }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\phi }\hfill \end{array}}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   3.3. A müon mágneses momentumának a kezdeti irányával bezárt szöge: $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha \left(t\right)=\text{arccos}(1+\text{sin}{}^2\phi \left(\text{cos}\left({\gamma }_{\mu }{B}_{0}t\right)-1\right))\mathrm{.}}\end{array}$   3.4. A kérdéses $w$ paraméter értéke $1/\left(4\pi \right)$.   3.5. $B_0=2\pi /\left({\gamma }_{\mu }\tau \right)$, ahol ${\gamma }_{\mu }$ a müon megadott giromágneses faktora, $\tau$ pedig az oszcilláció periódusideje. A közölt ábráról leolvasható, hogy $\tau \approx 5\cdot {10}^{-8}$ s, így $B_0=0\mathrm{,}15$ T.   3.6. A közölt ábráról leolvasható, hogy a beütésszám az első minimumnál kb. 4000 volt, majd 0,5 mikroszekundummal később mintegy 3200-ra csökkent. A csökkenés üteméből és az exponenciális bomlástörvényből megkapható, hogy a müonok felezési ideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{\mu }\approx \frac{0\mathrm{,}5\mu \text{s}\cdot \text{ln}2}{-\text{ln}\frac{3200}{4000}}\approx 1\mathrm{,}6\mu \text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ (A táblázatokban megtalálható pontosabb érték $1\mathrm{,}52\mu \text{s}$.)   3.7. Az oszcilláló, de közben exponenciálisan csökkenő beütésszám: $\begin{array}{c}{\displaystyle N\left(t\right)\sim 2^{-t/T_{\mu }}\left(1+\frac{1}{3}\text{sin}{}^2\phi \left(\text{cos}\left({\gamma }_{\mu }{B}_{0}t\right)-1\right)\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek alsó és felső burkolója: $\begin{array}{c}{\displaystyle N_{\underset{}{\overset{}{\text{min}}}}\sim 2^{-t/T_{\mu }}\left(1-\frac{1}{3}\right)\mathrm{,}\text{illetve}{N}_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\sim 2^{-t/T_{\mu }}\left(1-\frac{\text{cos}\left(2\phi \right)}{3}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A kettő hányadosa pl. a $t=0$-nál leolvasható $N_{\text{min}}\approx 4000$ és $N_{\underset{}{\overset{}{\text{max}}}}\approx 7000$ adatokból számolva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{7000}{4000}=\frac{1-\frac{\text{cos}\left(2\phi \right)}{3}}{1-\frac{1}{3}}\mathrm{,}\text{ahonnan}\text{cos}\left(2\phi \right)=-\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek szerint $\phi$ vagy ${60}^{\circ }$-hoz vagy ${120}^{\circ }$-hoz közeli érték lehet. 1A feladatok szövege a májusi számunkban jelent meg.