Cím: Beszámoló az 51. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiáról
Szerző(k):  Pelikán József [0-0] 
Füzet: 2010/szeptember, 322 - 323. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idei Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát július 2‐14. között Kazahsztánban, az ország rohamosan fejlődő új fővárosában, Asztanában rendezték meg. A zsűri a verseny lebonyolítása előtt a régi főváros, Almaty közelében ülésezett.
A versenyen 97 ország 523 diákja indult. A verseny közben azonban Észak-Korea csapatát szabálytalan versenyzés miatt kizárták, így a versenyen végül 96 ország 517 versenyzőjének eredménye került kiértékelésre.
A legtöbb ország a megengedett maximális létszámú, 6 fős csapattal szerepelt; az alábbi listában az országnév után zárójelben tüntettem fel az adott ország versenyzőinek számát, ha ez hatnál kevesebb volt.
A résztvevő országok: Albánia (4), Amerikai Egyesült Államok, Argentína, Ausztrália, Ausztria, Azerbajdzsán, Banglades (5), Belgium, Belorusszia, Bolívia (4), Bosznia-Hercegovina, Brazília, Bulgária, Ciprus, Costa Rica (3), Csehország, Dánia, Dél-Afrika, Dél-Korea, Ecuador, El Salvador (3), Elefántcsontpart (5), Észtország, Finnország, Franciaország, Fülöp-Szigetek (3), Görögország, Grúzia, Guatemala (2), Hollandia, Honduras (1), Hong Kong, Horvátország, India, Indonézia, Irán, Írország, Izland, Izrael (5), Japán, Kambodzsa, Kanada, Kazahsztán, Kína, Kirgizisztán, Kolumbia (4), Kuba (1), Kuwait (5), Lengyelország, Lettország, Litvánia, Luxemburg (3), Macedónia, Magyarország, Malajzia, Marokkó, Mexikó, Moldova, Mongólia, Montenegro (4), Nagy-Britannia, Németország, Nigéria (5), Norvégia, Olaszország, Oroszország, Örményország, Pakisztán (5), Panama (2), Paraguay (4), Peru, Portugália, Puerto Rico (2), Románia, Spanyolország, Sri Lanka, Svájc, Svédország, Szaud-Arábia, Szerbia, Szingapúr, Szíria, Szlovákia, Szlovénia, Tadzsikisztán, Tajvan, Thaiföld, Törökország, Trinidad és Tobago (5), Tunézia (2), Türkmenisztán, Új-Zéland, Ukrajna, Üzbegisztán, Venezuela (2), Vietnam.
Először vett részt Elefántcsontpart csapata. A versenyen szokás szerint mindkét napon négy és fél óra alatt 3‐3 feladatot kellett megoldani. (A feladatokat alább közöljük.) Mindegyik feladat helyes megoldásáért 7 pont járt, így egy versenyző maximális teljesítménnyel 42 pontot szerezhetett. A verseny befejezése után megállapított ponthatárok szerint aranyérmet a 27‐42 pontot elért, ezüstérmet a 21‐26 pontos, míg bronzérmet a 15‐20 ponttal rendelkező tanulók szereztek. Dicséretben részesültek azok a versenyzők, akiknek 15-nél kevesebb pontjuk volt, de egy feladatot hibátlanul megoldottak.
A magyar csapatból

 
Nagy Donát (Szeged, Radnóti Miklós Gimn., 11. o.t.) 29 ponttal és
Nagy János (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) 28 ponttal aranyérmet,
Éles András (Debrecen, Fazekas Mihály Gimn., 12. o.t.) 25 ponttal és
Dankovics Attila (Budapest, Veres Péter Gimn., 11. o.t.) 21 ponttal ezüstérmet,
Bodor Bertalan (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) 15 ponttal pedig bronzérmet szerzett.
Mészáros András (Győr, Révai Miklós Gimn., 12. o.t.) 11 ponttal dicséretben részesült.
A magyar csapat vezetője Pelikán József (ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék), helyettes vezetője Dobos Sándor (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn.) volt. Kós Géza (MTA SZTAKI, ELTE TTK) a problémakiválasztást előkészítő bizottság meghívott tagjaként vett részt az olimpián.
Az országok (nem-hivatalos) pontversenyében Magyarország a 13‐14. helyen végzett. A csapatverseny élmezőnyének sorrendje így alakult (megszerzett pontszámaikkal):
1. Kína 197, 2. Oroszország 169, 3. USA 168, 4. Dél-Korea 156, 5‐6. Kazahsztán és Thaiföld 148, 7. Japán 141, 8. Törökország 139, 9. Németország 138, 10. Szerbia 135, 11‐12. Olaszország és Vietnam 133, 13‐14. Magyarország és Kanada 129, 15. Ausztrália 128, 16‐17. Irán és Románia 127, 18. Peru 124, 19. Tajvan 123, 20. Hong Kong 121, 21. Bulgária 118, 22‐23. Szingapúr és Ukrajna 117, 24. Lengyelország 116, 25. Nagy-Britannia 114, 26. Üzbegisztán 112, 27. Belorusszia 110, 28. Azerbajdzsán 109, 29. Új-Zéland 106, 30‐31. Franciaország és Indonézia 105.
Szeretnék köszönetet mondani a versenyzők tanárainak. Az alábbi felsorolásban minden tanár neve után monogramjukkal jelöltem azokat a diákokat, akik tanítványaik.
Beleznay Ferenc (NJ), Csete Lajos (MA), Dobos Sándor (BB, DA, ND, NJ), Fazakas Tünde (BB), Hraskó András (BB, NJ), Juhász Péter (DA), Kovács Péter (ÉA), Mike János (ND), Pósa Lajos (BB, DA, ÉA, MA, NJ), Rácz Mihályné (DA), Remeténé Orvos Viola (ÉA), Schultz János (ND), Surányi László (BB, NJ), Zábrádiné Schmierer Emília (MA).
Ugyancsak szeretnék külön köszönetet mondani Dobos Sándornak, mint a központi olimpiai előkészítő szakkör vezetőjének.
Az idei versenyen az 1. és 4. feladat kimondottan könnyű volt, viszont a 3. és a 6. feladat mellett az 5. is meglehetősen nehéznek bizonyult. Ez magyarázza, hogy az aranyérem alsó határa (27 pont) minden eddigi diákolimpia közül ezen az olimpián volt a legalacsonyabb.
Kazahsztán hatalmas területű, természeti szépségekben igen gazdag ország. Láttunk hatalmas hegyeket, tavakat és természetesen sztyeppét is. Kiemelkedő esemény volt a nomád lovasok bemutatója.
A következő diákolimpiát Hollandiában, Amszterdamban rendezik, 2011. július 12‐24. között.
 
Az 51. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai1
 

Első nap
 

1. feladat. Határozzuk meg az összes olyan f:R→R függvényt, amelyre az f([x]y)=f(x)[f(y)] egyenlőség teljesül minden x,y∈R-re. (Itt [z] a legnagyobb olyan egész számot jelöli, amely kisebb vagy egyenlő z-nél.)
 
2. feladat. Legyen I az ABC háromszög beírt körének középpontja, Γ pedig a háromszög körülírt köre. Az AI egyenes másik metszéspontja a Γ körrel legyen D. Legyen E a BDC^ körív egy pontja, F pedig a BC szakasz egy pontja, amelyekre teljesül
BAF∢=CAE∢<12BAC∢.
Legyen továbbá G az IF szakasz középpontja. Bizonyítsuk be, hogy a DG és EI egyenesek a Γ körön metszik egymást.
 
3. feladat. Legyen N a pozitív egész számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan g:N→N függvényt, amelyre (g(m)+n)(m+g(n)) teljes négyzet minden m,n∈N-re.
 
Második nap
 

4. feladat. Legyen P egy pont az ABC háromszög belsejében. Az AP, BP és CP egyenesek másik metszéspontja az ABC háromszög Γ körülírt körével legyen rendre K, L és M. A Γ körhöz C pontban húzott érintő messe az AB egyenest az S pontban. Tegyük fel, hogy SC=SP. Bizonyítsuk be, hogy MK=ML.
 
5. feladat. A B1, B2, B3, B4, B5, B6 dobozok mindegyikében kezdetben egy érme van. Kétféle megengedett lépés van:
1. típusú lépés: Választunk egy Bj nemüres dobozt, ahol 1≤j≤5. Elveszünk egy érmét a Bj dobozból, és hozzáadunk két érmét a Bj+1 dobozhoz.
2. típusú lépés: Választunk egy Bk nemüres dobozt, ahol 1≤k≤4. Elveszünk egy érmét a Bk dobozból, és kicseréljük a Bk+1 (esetleg üres) doboz tartalmát a Bk+2 (esetleg üres) doboz tartalmával.
Állapítsuk meg, hogy ilyen lépések valamilyen véges sorozata segítségével elérhető-e, hogy a B1, B2, B3, B4, B5 dobozok mindegyike üres legyen, a B6 doboz pedig pontosan 201020102010 érmét tartalmazzon. (Definíció szerint abc=a(bc).)
 
6. feladat. Legyen a1,a2,a3,... pozitív valós számok egy sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan s pozitív egész, amellyel
an=max{ak+an-k∣1≤k≤n-1}
teljesül minden n>s egészre. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan ℓ és N pozitív egészek, amikre ℓ≤s, és an=aℓ+an-ℓ minden n≥N-re.
1Az olimpia honlapja: http://www.imo2010org.kz/.