Kezdőlap


Cím:	Szélerőművek hatásfoka
Szerző(k):	Gnädig Péter
Füzet:	2013/április, 246 - 249. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Bernoulli-törvény, Folytonossági (kontinuitási) egyenlet

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szélerőművek hatásfoka

A szélerőművek (szélkerekek, szélturbinák) a gyorsan áramló levegő mozgási energiáját, pontosabban annak bizonyos hányadát mechanikai munkavégzéssé, majd azt elektromos energiává alakítják át. Vajon mekkora lehet ez a hányad, vagyis mekkora lehet a szélkerekek hatásfoka?
Azt gondolhatnánk, hogy ha a szélkerék majdnem teljesen megállítja a levegő mozgását, vagyis majdnem nullára csökkenti annak mozgási energiáját, akkor a hatásfok akár 100%-ot megközelítő érték is lehet. Az alábbiakban megmutatjuk,

hogy nem ez a helyzet: a szélkerekek hatásfoka legfeljebb

\frac{16}{27} \approx 0, 593 = 59, 3 %

lehet. Ez a korlát (az ún. Betz-limit¹) független a szélkerék méretétől, alakjától és technikai kialakításától. A hatásfok elvi határa fizikai alapelvekből következik, és hasonló szerepet játszik a szélerőműveknél, mint a Carnot-hatásfok a hőerőgépeknél.
Vizsgáljuk meg a levegő áramlását abban a térrészben (ún. áramcsőben), amelyet a szélkerék

A

nagyságú keresztmetszetén áthaladó áramvonalak jelölnek ki (1. ábra). Tételezzük fel, hogy az áramlás időben állandó (stacionárius), réteges (lamináris), továbbá az áramcső vízszintes (tehát a gravitáció nem játszik lényeges szerepet), és az áramló levegő sűrűsége (

ϱ

) mindenhol (jó közelítéssel) ugyanakkora.

1. ábra

Jelöljük a levegő sebességét az áramcső két ,,végénél'' (vagyis a szélkeréktől távol)

v_{1}

-gyel és

v_{2}

-vel, a szélkeréknél érvényes áramlási sebesség pedig legyen

v_{sz}

. Nyilván

v_{1} > v_{sz} > v_{2}

, így ‐ az anyagmegmaradás miatt ‐ az áramcső keresztmetszete a belépő oldalon kisebb, a kilépő oldalon pedig nagyobb kell legyen, mint a szélkerék által lefedett terület, ahogy ezt az ábra is mutatja.
Számítsuk ki, mekkora energiát nyerhet a szélkerék egységnyi idő alatt a levegő mozgási energiájából, vagyis hogy mekkora a felvett teljesítménye. Ezt kétféle módon is meghatározhatjuk.

(i)

Δ t

idő alatt felvett energia a

Δ m

tömegű levegő mozgási energiájának csökkenésével egyenlő:

\begin{matrix} Δ E = \frac{Δ m}{2} (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}), \end{matrix}

ahol

Δ m

az áramcső bármely keresztmetszetén, így pl. a szélkeréknél átáramló levegő tömege, tehát

\begin{matrix} Δ m = ϱ A v_{sz} Δ t, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} 1 Δ E = \frac{1}{2} ϱ (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) v_{sz} A Δ t . \end{matrix}

(1)

(i i)

A felvett energiát úgy is kiszámíthatjuk, hogy a levegő időegységre eső lendületváltozását (vagyis a lapátokra ható

F

erőt) megszorozzuk a levegő

Δ x

elmozdulásával a lapátoknál (mintha a szél egy merev korongot tolna egy kicsit odébb):

\begin{matrix} F = \frac{Δ m (v_{1} - v_{2})}{Δ t}, Δ x = v_{sz} Δ t, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} Δ E = F \cdot Δ x = ϱ A v_{sz}^{2} (v_{1} - v_{2}) Δ t . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) képletek összevetéséből azt az érdekes eredményt kapjuk, hogy a szél sebessége a szélkeréknél a be- és kiáramló levegő sebességének számtani közepe:

\begin{matrix} v_{sz} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} . \end{matrix}

(3)

A szélkerék által felvett teljesítmény (1) és (3) felhasználásával

\begin{matrix} P_{sz} = \frac{Δ E}{Δ t} = \frac{1}{4} ϱ A (v_{1} + v_{2}) (v_{1}^{2} - v_{2}^{2}) . \end{matrix}

Viszonyítsuk ezt a teljesítményt a

\begin{matrix} P_{be} = \frac{1}{2} A ϱ v_{1}^{3} \end{matrix}

teljesítményhez (időegységenként ekkora mozgási energiával rendelkezne a

v_{1}

sebességgel érkező levegő, ha a szélkerék

A

keresztmetszetén sebességváltozás nélkül haladna keresztül).
A hatásfok:

\begin{matrix} η = \frac{P_{sz}}{P_{be}} = \frac{1}{2} (1 + λ) (1 - λ^{2}), \\ ahol λ = \frac{v_{2}}{v_{1}} . \end{matrix}

2. ábra

A relatív sebességcsökkenés (

λ

) függvényében

η

különböző értékeket vehet fel, de mindenképpen kisebb, mint a szélsőérték, ami a

λ_{0} = \frac{1}{3}

-hoz tartozó

\frac{16}{27}

-es Betz-féle korlát (2. ábra)²
Mi a szemléletes magyarázata annak, hogy a legnagyobb hatásfok nem

λ = 0

-hoz (a levegő teljes leállásához) tartozik, amikor

η = 50 %

lenne? Az, hogy a hatásfokot két tényező határozza meg: mekkora tömegű levegő halad át a szélkeréken, s ennek a levegőnek mennyivel csökken le a sebessége, vele együtt a mozgási energiája. Ha

v_{2} = 0

lenne, akkor a sebességcsökkenés a lehető legnagyobb, de a levegő mennyisége (3) alapján csak a fele a teljes keresztmetszeten elvben átjuttatható mennyiségnek. Ha viszont

v_{2} = \frac{1}{3} v_{1}

, akkor ugyan a mozgási energiának csak

\frac{8}{9}

része adódik át, viszont a tömeg a kerékhez érkező teljes légtömegnek nem 1/2-e, hanem 2/3-a, azaz kb. 67 százaléka, és

\frac{8}{9} \cdot 67 % \approx 59 % > 50 % .

A Betz-korlát a hatásfok felső határa, amelyet (a levegő és a szélkerék súrlódása, a levegő belső súrlódása, valamint a radiális, vagyis a szélkerék sugarának irányába eső mozgás energia-járulékának figyelembe vétele miatt) a gyakorlatban még egy kicsit csökkentenünk kell.

\begin{matrix} (G. P.) \end{matrix}

¹A hatásfok felső korlátját Albert Betz (1885‐1968) német fizikus ismerte fel 1919-ben; ekkor védte meg ,,a legkisebb veszteségű hajócsavarokról'' írt PhD-disszertációját Göttingenben.

²A szélsőérték helyét és nagyságát az $η (λ)$ függvény grafikus vagy numerikus elemzésével, illetve differenciálszámítás segítségével lehet meghatározni.